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Zweitbeste Lösung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Abgabenordnung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Die beste Lösung – auch Optimallösung genannt – erhält man nach dem beschriebenen Simplex-Verfahren. Zur Erinnerung hier nochmals das Optimaltableau:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 9: Optimaltableau zur Vorbereitung der zweitbesten Lösung

Mittels Rückwärtsrechnung bestimmen wir nun die zweitbeste Lösung, die eine oder mehrere Ecken „weiter rechts“ oder „weiter links“ liegen kann. Es wird also eine Nichtbasisvariable in die Menge der Basisvariablen aufgenommen.

Dies erfolgt in mehreren Schritten:

Methode

KOCHREZEPT ZWEITBESTE LÖSUNG:


 
1. Bestimmung der Schlüsselzahlen in den Spalten der Nichtbasisvariablen

a. dividiere die Werte der rechten Seite durch die positiven Elemente der Spalte der Nichtbasisvariablen

b. der kleinste Quotient heißt Schlüsselzahl

c. markiere diese Schlüsselzahl

2. multipliziere den jeweils kleinsten Quotienten mit dem – negativen – Zielfunktionswert

a. bestimme jene Spalte, die das Minimum enthält

3. nimm die Variable, die man in Schritt 2 erhält, in die Menge der Basisvariablen auf. Wirf dafür jene Variable aus der Menge der Basisvariablen raus, die in der Zeile liegt, aus der die Variable entnommen wurde

4. Rechne mit diesen Informationen einen Simplex-Schritt.

In unserem ersten Beispiel aus Kapitel 1 ("Beste Lösung") bedeutet dies folgendes:

1. Schritt

Spalte y1: 60: 1 = 60, 100: 5 = 20, 1000: 100 = 10 (*)

Spalte y3: 50: 5 = 10 (*).

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5*

0

50

y4

0

0

100*

0

-250

1

1.000

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 10: Suche nach Schlüsselzahlen

2. Schritt

10·45 = 450 ... Minimum, 10·225 = 2.250. Die y1-Spalte wird also ausgewählt.

3. Schritt

Mache daher y1 zur Basisvariable und y4 zur Nichtbasisvariable. Das neue Pivot-Element ist 100.

4. Schritt

Der Simplex-Schritt liefert folgende Tableaus:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

1

0

-2,5

0,01

10

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 11: Vorbereitung für Pivotschritt

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

0

0

2,5

-0,01

50

y2

0

0

0

1

7,5

-0,05

50

x2

0

1

0

0

-7,5

0,05

100

y4

0

0

1

0

-2,5

0,01

10

0

0

0

0

-337,5

0,45

-18.000

Also ist die Ecke links von der Optimallösung, d.h. x1 = 50 und x2 = 100, also Punkt (4) in Abb. 4, die zweitbeste.

Merke

Im Simplex-Algorithmus durchläuft man nicht notwendig die zweitbeste Lösung im vorletzten Schritt, da die Ecken nicht nach der Reihenfolge der Werte der Zielfunktion abgesucht werden. Vielmehr sucht man – beginnend mit x1 = x2 = 0 die Ecken ab, die jeweils eine Verbesserung des Werts der Zielfunktion ergeben.
Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Zweitbeste Lösung

  • Mäxo Florack schrieb am 23.01.2015 um 13:17 Uhr
    Bei Schritt 3: Mache daher y1 zur Basisvariable und y4 zur Nichtbasisvariable. Das neue Pivot-Element ist 100. Was soll man genau darunter verstehen? Wie schaut denn dann das Tableau aus? Wir haben Y1 doch nie auf der linken Seite stehen? Ein Video zu diesem Schritt und vor Allem zum Dualen Simpel wären sehr hilfreich. Mit freundlichen Grüßen
  • Rempel schrieb am 07.12.2014 um 19:20 Uhr
    Ist x1 in der zweitbesten Lösung nicht 50?
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Zweitbeste Lösung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Operations Research.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Einleitung zu Lineare Programmierung
  • Maximierungsprobleme
    • Einleitung zu Maximierungsprobleme
  • Beste Lösung, Graphische Lösung
    • Aufstellen des Problems
    • Graphische Darstellung des Maximierungsproblems
  • Analytische Lösung
    • Vorbereitung
    • Schlupfvariablen
    • Aufstellen des Ausgangstableaus
    • Der Simplex-Algorithmus
    • Simplex-Austausch-Schritt
    • Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus
  • Entartung
    • Mehrdeutigkeit
    • Degeneration
  • Sensitivitätsanalyse
    • Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten
    • Änderungen der Restriktionen
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