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Deskriptive Statistik - Länge der Lorenzkurve

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Deskriptive Statistik

Länge der Lorenzkurve

Ein weiteres Konzentrationsmaß ist die Länge L der Lorenzkurve. Hierzu werden die Längen der Streckenabschnitte einfach aufaddiert. Es gilt
$$\ L= \sqrt {F(x_1)^2+ g(x_1)^2} + \sqrt {[F(x_2)-F(x_1)]^2 +[g(x_2)-g(x_1)]^2} $$ $$\ +...+ \sqrt {[F(x_m) - F(x_{m-1})]^2+[g(x_m)-g(x_{m-1})]^2} $$ oder kürzer
$$\ = \sum_{j=1}^{m-1} \sqrt {[F(x_{j+1})F(x_j)]^2[g(x_{j+1})-g(x_j)]^2} $$
Im vorliegenden Beispiel rechnet man
$\ = \sqrt {(0,1-0)^2+(0,0625-0)^2}+ \sqrt {(0,2-0,1)^2+(0,125-0,0625)^2}$ $\ +...+ \sqrt {(1-0,9)^2+(1-0,75)^2} = 1,4695 $
Die Länge L der Lorenzkurve liegt zwischen $ \sqrt {2} $ und $\ 2 $: $\ \sqrt {2} \leq L \leq 2 $.

  • Bei absoluter Konzentration auf einen einzigen Merkmalswert
    • ist $\ L = 1^2 + 1^2 = 2 $,
  • bei Gleichverteilung
    • gilt $\ L= \sqrt {1^2 + 1^2}= \sqrt {2} $