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Deskriptive Statistik - Lorenzkurve

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Deskriptive Statistik

Lorenzkurve

Zur Verdeutlichung der Lorenzkurve wird mit dem in der Einführung erwähnten Beispiel  46 "Verkäufer von Tennisschlägern" weitergerechnet.

Zunächst empfiehlt es sich, die Geschäfte nach ihrem Umsatz (in Tsd. €) zu ordnen, und zwar von unten nach oben:

Geschäft 1 2 3 4 5 6 Michael Ivan Steffi Boris
Umsatz 500 500 500 500 500 500 600 700 1.700 2.000

Alsdann werden die Anteile der Geschäfte am Gesamtumsatz, hier also U= 8.000,00 €, ermittelt und danach kumuliert:

Geschäft 1 2 3 4 5 6 M I S B
Umsatz 500 500 500 500 500 500 600 700 1.700 2.000
Anteil 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,075 0,0875 0,2125 0,25
kumul. Anteil 0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,3125 0,375 0,45 0,5375 0,75 1

So besagt z.B. die Zahl 37,5 %, dass die kleinsten sechs Geschäfte zusammen 37,5 % des Umsatzes erzielen. Ebenso sieht man, dass die kleinsten acht Geschäfte 53,75 % des Gesamtumsatzes erzielen. Anders ausgedrückt, entfällt fast die Hälfte des Ertrags (genauer: 46,25 %) auf zwei Geschäfte, nämlich Boris und Steffi.
Es liegt also eine deutliche Konzentration auf die Läden 9 und 10 vor. Die „größten” 20 % der Geschäfte erzielen beinahe 50 % des Umsatzes!

Lorenzkurve zeichnen

Die Konzentration zu visualisieren, wird durch die Lorenzkurve geleistet. Hierzu werden zunächst noch die Anteile der Geschäfte an der Gesamtzahl von n = 10 errechnet und kumuliert:
Die fett markierten Punkte sind dann jene der Lorenzkurve.

Geschäft 1 2 3 4 5 6 M I S B
Umsatz 500 500 500 500 500 500 600 700 1.700 2.000
Anteil 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,075 0,0875 0,2125 0,25
kumul. Anteil 0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,3125 0,375 0,45 0,5375 0,75 1
Anteil Geschäft 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
kumul. Anteil 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Die Zeilen mit den kumulierten Anteilen ergeben die Punkte der Lorenzkurve und werden eingezeichnet:

Lorenzkurve
Lorenzkurve

Merke

Merke:

  • Die Lorenzkurve steigt unterhalb der Hauptdiagonalen an. Dies liegt daran, dass die Geschäfte von klein nach groß sortiert werden.
  • Die Lorenzkurve wird von links nach rechts immer steiler.

Konzentrationsmessung anhand der Lorenzkurve

Man sieht an der gestrichelten Linie wieder die 50 % - Marke – die ersten sieben Geschäfte erzielen weniger als die Hälfte des Umsatzes (nämlich 45 %), bei den ersten acht Geschäften ist die Hälfte des Umsatzes bereits überschritten (und 53,75 % erreicht). Ist die Konzentration des Umsatzes nun groß oder klein?

  • Wenn keine Konzentration vorliegt, d.h. wenn im vorliegenden Beispiel jedes Geschäft den gleichen Umsatzanteil hätte, konkret 10 %, also 800.000 €, dann wäre die Lorenzkurve gleich der Hauptdiagonalen.
  • Je weiter die Lorenzkurve nach unten rechts gezogen wird, umso größer ist die Konzentration
Lorenzkurve bei größerer Konzentration
Lorenzkurve bei größerer Konzentration
  • Wenn eine absolute Konzentration auf ein einziges Geschäft vorliegt, d.h. dass im vorliegenden Fall z.B. das Geschäft Boris den gesamten Umsatz in Höhe von 8 000.000 € einfährt und die restlichen Geschäfte nichts erwirtschaften, dann sieht die Lorenzkurve folgendermaßen aus:
Lorenzkurve bei maximaler Konzentration
Lorenzkurve bei maximaler Konzentration