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Deskriptive Statistik - Lorenzkurve

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Deskriptive Statistik

Lorenzkurve

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Um die Lorenzkurve zu veranschaulichen, rechnen wir mit unserem Beispiel 46 "Gehälter der Fußballprofis".

Als ersten Schritt ist es ratsam, die Gehälter der jeweiligen Profis in einer Tabelle von klein zu groß zu ordnen:

SpielerABCDEFThomasManuelLeonRoberto
Gehalt20.00020.00020.00020.00020.00020.00040.00060.000200.000300.000

Danach berechnet man die relativen Anteile der einzelnen Gehälter am gesamten Gehaltsvolumen U=720.000€ und anschließend werden diese kumuliert:

SpielerABCDEFThomasManuelLeonRoberto
Gehalt20.00020.00020.00020.00020.00020.00040.00060.000200.000300.000
rel. Anteil0,02780,02780,02780,02780,02780,02780,05560,08330,27780,4167
kumul. Anteil0,02780,05560,08330,11110,13890,16670,22220,30560,58331

An dem Wert 16,67% kann man ablesen, dass die sechs Spieler mit den Standardverträgen 16,67% des gesamten Gehaltvolumens ausmachen. Mit dem Gehalt der beiden Kapitäne werden 30,56% erreicht, bzw. die Gehälter der beiden Superstars Leon und Roberto fast 70% des Gesamtvolumens ausmachen.
Man kann also eine klare Konzentration der Gehälter auf die beiden Stars feststellen. Die besten 20% der Spieler erhalten aus fast 70% des gesamten Gehaltsvolumens.

Lorenzkurve zeichnen

Um die festgestellte Konzentration  graphisch darzustellen, wird die sogenannte Lorenzkurve verwendet. Dafür berechnen wir noch die Anteile des Spielers an der Gesamtzahl von n = 10 und kumulieren sie wieder:

Die fett markierten Punkte sind dann jene der Lorenzkurve.

SpielerABCDEFThomasManuelLeonRoberto
Gehalt20.00020.00020.00020.00020.00020.00040.00060.000200.000300.000
Anteil0,02780,02780,02780,02780,02780,02780,05560,08330,27780,4167
kumul. Anteil0,02780,05560,08330,11110,13890,16670,22220,30560,58331
Anteil am Team0,10,10,10,10,10,10,10,10,10,1
kumul. Anteil0,10,20,30,40,50,60,70,80,91

Die Werte der kumulierten Anteile bilden die Punkte der Lorenzkurve, welche eingezeichnet werden:

Lorenzkurve
Abb.26: Lorenzkurve

Merke

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Die Lorenzkurve steigt unterhalb der Hauptdiagonalen an. Dies liegt daran, dass die Gehälter von klein nach groß sortiert werden.

Die Lorenzkurve wird von links nach rechts immer steiler.

Konzentrationsmessung anhand der Lorenzkurve

Wie oben schon erwähnt, machen 80% des Teams lediglich 30% des Gehaltvolumens aus. Ist die Konzentration des Umsatzes nun groß oder klein?

  • Läge keine Konzentration vor, wenn also jeder Spieler denselben Anteil am gesamten Gehaltsvolumen hätte (also 10% davon), so wäre die Lorenzkurve gleich der Hauptdiagonalen.

  • Folglich ist die Konzentration umso größer, je weiter die Lorenzkurve nach unten rechts gezogen wird. (Abb.27 linke Grafik)

  • Wenn eine absolute Konzentration auf einen Spieler vorliegt, entfällt das gesamte Gehaltsbudget auf nur einen einzigen Spieler. Für unser Beispiel würde das bspw. bedeutet, dass Roberto ein Gehalt von 720.000€ verdienen würde und alle anderen aus dem Team umsonst spielen würden. (Abb.27 rechte Grafik)
Lorenzkurve vers Konzentration
Abb.27: Lorenzkurve verschiedener Konzentration

In diesem Lernvideo wiederholen wir Konzentrationsmaße, mit besonderem Fokus auf die relativen Konzentrationsmaße. Auf den angesprochenen Gini-Koeffizienten werden wir im Anschluss nochmals detailliert eingehen.