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Deskriptive Statistik - Wölbung

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Deskriptive Statistik

Wölbung

Inhaltsverzeichnis

Die Wölbung einer Verteilung behandelt die Frage, wie spitz oder flach eine Verteilung ist – genauer: inwieweit die Merkmalswerte in der Mitte oder an den Enden der Verteilung sich konzentrieren. So haben z.B. die Kurven der beiden u.e. Verteilungen unterschiedliche Wölbungen, in der folgenden Abbildung ist die helle Verteilung stärker gewölbt (also spitzer) als die dunkle (die weniger gewölbt und also flacher ist).

Zwei unterschiedlich gewölbte Verteilungen
Zwei unterschiedlich gewölbte Verteilungen

Berechnung der Wölbung

Maßzahlen für die Wölbung sind das

  • Momentenwölbungsmaß und das
  • Quartilswölbungsmaß.

Das Momentenwölbungsmaß $\ w_M $ ist definiert als
$$\ w_M = {m_4 \overline x \over {n \cdot s^4}}- 3 = {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^4 \over (\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^2)^2} -3 $$
Hier ist für die Zahlen aus der Aufgabe mit den Bearbeitungszeiten der Statistik-Klausuren $\ w_M = {(1-7)^4+(2-7)^4+...+(12-7)^4) \over [(1-7)^2+(2-7)^2+...+(12-7)^2 ]^2} -3= - 2,909 $.

Es gilt die Regel:

  •  $\ w_M < 0 $ bedeutet, dass die Verteilung flacher ist als die Glockenkurve der Normalverteilung,
  • $\ w_M > 0 $ heißt, dass die Verteilung spitzer ist als jene der Glockenkurve der Normalverteilung

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Merke: Die Kennzahl $\ w_M $ liegt im Bereich zwischen –2 und +  $\ \infty $, also $\ –2 < w_M < + \infty $.

Das Quartilswölbungsmaß $\ w_Q $ bezeichnet man durch $$\ w_Q= {1-(x_{0,75}-x_{0,25}) \over x_{0,8}-x_{0,2}} $$ Für das vorliegende Beispiel erhält man $\ w_Q = {1 -(9-3) \over (10-2)}= 0,25 $.

Merke

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Merke:

  • Das Quartilswölbungsmaß liegt zwischen 0 und 1: $\ 0 \leq w_q \leq 1 $
  • Für die Normalverteilung ist $\ w_Q $ ca. bei 0,2, diese Zahl wird als Referenzwert benutzt.

Damit entwickelt man als Regel: Wenn $\ w_Q $ größer als 0,2 ausfällt, dann ist die zugrunde liegende Verteilung stärker gewölbt als jene der Normalverteilung – andernfalls ist sie flacher. Der Quartilsabstand $\ x_{0,75} – x_{0,25} $ und der Quintilsabstand $\ x_{0,8} – x_{0,2} $ liegen enger beieinander, wenn die Enden der Verteilung stärker besetzt sind.