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Bei der Wölbung einer Verteilung ist von Interesse, wie spitz zulaufend bzw. flach eine Verteilung verläuft. Anders formuliert, inwiefern sich die Merkmalswerte mittig konzentrieren oder mehr an den Enden. Betrachtet man die untenstehende Abbildung, so kann man erkennen, dass die orange Verteilung deutlich gewölbter (spitzer zulaufend) ist als die graue Verteilung (diese verläft flacher).
Berechnung der Wölbung
Maßzahlen für die Wölbung sind das Momentenwölbungsmaß $\ w_M $ und das Quartilswölbungsmaß $\ w_Q $.
Das Momentenwölbungsmaß $\ w_M $ ist definiert als
$\begin{align} w_M & = {m_4 \overline x \over {n \cdot s^4}}- 3
\\ & = {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^4 \over (\sum_{i=1}^n [x_i- \overline x)^2]^2} -3 \end{align}$
Angewendet auf unsere Aufgabe mit den Extratrainingsstunden der Fußballprofis gegibt sich für $\ w_M $:
$\begin{align} w_M & = {m_4 \overline x \over {n \cdot s^4}}- 3
\\ & = {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^4 \over (\sum_{i=1}^n [x_i- \overline x)^2]^2} -3
\\ & = {(1-6,533)^4+(2-6,533)^4+...+(12-6,533)^4) \over [(1-6,533)^2+(2-6,533)^2+...+(12-6,533)^2 ]^2} -3 \\ & = - 2,9173 \end{align}$
Die Verteilung verläuft flacher als die Glockenkurve der Normalverteilung, wenn gilt $\ w_M < 0 $. Ist $\ w_M > 0 $ verläuft die Verteilung spitzer zu als die Glockenkurve der Normalverteilung.
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Die Kennzahl $\ w_M $ liegt im Bereich zwischen –3 und + $\ \infty $, also $\ –3 < w_M < + \infty $.
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