Exponentielle Glättung

Die Methode der exponentiellen Glättung (= exponential smoothing) ragt aus den Zeitreihen-Modellen ein wenig heraus und wird deshalb hier auch gesondert behandelt. Sie ist ein heuristisches Verfahren, ihr liegt kein explizit formuliertes Zeitreihen-Modell zugrunde. Anders hingegen parametrische Zeitreihen-Modelle wie Box-Jenkins-Verfahren oder die Spektralanalyse, die allerdings beide im Rahmen dieser einführenden Analyse nicht behandelt werden.

Die exponentielle Glättung mit erster Ordnung prognostiziert den Wert der $\ (t + 1) $. Periode $\ \hat y_{t+1}= 0 \leq \alpha \leq 1 $ nach der Formel

1. Formel: $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $,
   Möchte man sofort den Prognosewert für die (t + 1)-te Periode in Abhängigkeit der wahren Werte $\ y_1, y_2, ..., y_t $ und des Startwertes $\ \hat y_1 $ haben, so nutzt man am besten diese Formel.
   
   
2. Formel: $\ \hat y_{t+1} = \alpha \cdot y + (1 - \alpha) \cdot \hat y_t $ (Einschrittprognose)
   Die Ein-Schritt-Prognose $\ \hat y_{t+1} $ ist in der Methode der exponentiellen Glättung ein gewogenes arithmetisches Mittel aus dem (tatsächlichen) Zeitreihen-Wert $\ y_t $ der Periode t und dem für die Periode t prognostizierten Wert $\ \hat y_t $ (wobei diese Prognose in der Periode t-1 abgegeben wurde).
   
   
3. Formel: $\ \hat y_{t+1} = \hat y_t + \alpha \cdot (y_t - \hat y_t) $ (partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode).
   Wenn man mit $\ y_t - \hat y_t $ die Fehlschätzung der t. Periode bezeichnet, so lässt sich die Prognose $\ \hat y_{t+1} $ mit dieser Formel bestimmen.
   
   

Bei allen Formeln steht $\ y_t $ den wahren Wert der t. Periode und $\ \hat y_t $ (sprich: „y-t-Dach“) den in der (t-1). Periode prognostizierten Wert der Folgeperiode, also jenen für die t. Periode.
$\ \alpha $ ist der Glättungsparameter, welcher immer zwischen 0 und 1 liegt. Ist $\ \alpha $ näher bei 0, wird der für die t. Periode prognostizierte Wert stärker gewichtet als der tatsächliche Wert der t. Periode, ist $\ \alpha $ näher 1 verhält es sich andersherum.

Wir differenzieren stets den prognostizierten Wert (mit Dach) vom wahren Wert (ohne Dach). Wichtig ist zudem die Festlegung des Startwertes, also $\ \hat y_1 $. Häufig verwendet man hier $\ \hat y_1 = y_1 $ oder das arithmetische Mittel der bekannten Beobachtungswerte.

Berechnung exponentielle Glättung am Beispiel

Prognostiziere den Wert für die sechste Periode. Glättungsparameter sei $\ \alpha = 0,4 $, der Startwert ist $ \hat y_1 = y_1 $.

Man berechnet nach unterschiedlichen Methoden den gleichen Wert:

1. Formel: Die wahren Werte der ersten fünf Perioden werden zur Prognose der sechsten herangezogen. Mit $\ t = 5 $ und $\ n = 4 $ erhält man
   
   $\begin{align} \hat y_6 & = (1- \alpha)^i \cdot y_{5–i} + (1 - \alpha)^{n + 1} \cdot \hat y_1
   \\ & = \alpha \cdot y_5 + \alpha (1 - \alpha)y_4 + \alpha (1 - \alpha)^2 y_3 + \alpha (1 - \alpha)^3 y_2 + \alpha (1 - \alpha)^4 y_1 + (1 - \alpha)^5 \hat y_1
   \\ & = 0,4 \cdot 14 + 0,4 \cdot 0,6 \cdot 10 + 0,4 \cdot 0,6^2 \cdot 8 + 0,4 \cdot 0,6^3 \cdot 6 + 0,4 \cdot 0,6^4 \cdot 5 + 0,6^5 \cdot 5
   \\ & = 10,3184 \end{align}$
   
   
2. Formel: Man prognostiziert zunächst die Werte für die 2., 3., 4. und 5. Periode, um danach erst jenen für die 6. vorhersagen zu können:
   $\begin{align} \hat y_2 & = \alpha \cdot y_1 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_1 = 0,4 \cdot 5 + 0,6 \cdot 5 = 5
   \\ \hat y_3 & = \alpha \cdot y_2 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_2 = 0,4 \cdot 6 + 0,6 \cdot 5 = 5,4
   \\ \hat y_4 & = 6,44
   \\  \hat y_5 & = 7,864
   \\ \hat y_6 & = 10,3184 \end{align}$
   
   
3. Dritte Formel
   Nach dem Vorgehen der Prognosefehler berechnet man
   • zunächst die Vorhersagewerte $\ \hat y_t $,
   • dann die Prognosefehler $\ \hat y_t - y_t $ und
   • benutzt nur jenen der 5. Periode, also $\ \hat y_5 - y_5 $:
   • und damit dann die Prognose für die 6. Periode:
     $\ \hat y_6 = \hat y_5 + \alpha \cdot (y_5 – \hat y_r) = 7,864 + 0,4 \cdot 6,136 = 10,3184$

Zum eigenen Nachrechnen seien die Prognosewerte angegeben

• in Zeile drei der folgenden Tabelle für einen anderen Glättungsparameter $\ \alpha= 0,5 $ und Startwert $\ \hat y_1 = 5 $ wie oben sowie
• in Zeile 4 der folgenden Tabelle für einen anderen Startwert ŷ₁, nämlich dem arithmetisches Mittel der fünf wahren Werte, also $\ \hat y_1 = 8,6 $ und alter Glättungsparameter von $\ \alpha = 0,4 $.
  
  

  t	1	2	3	4	5	6
  $\ y_t $	5	6	8	10	14
  $\ \hat y_t( \alpha = 0,5) $	5	5	5,5	6,75	8,375	11,1875
  $\ \hat y_t(\hat y_1 = 8,6) $	8,6	7,16	6,696	7,2176	8,3306	10,5983