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Deskriptive Statistik - Exponentielle Glättung

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Deskriptive Statistik

Exponentielle Glättung

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Die Methode der exponentiellen Glättung (= exponential smoothing) ragt aus den Zeitreihen-Modellen ein wenig heraus und wird deshalb hier auch gesondert behandelt. Sie ist ein heuristisches Verfahren, ihr liegt kein explizit formuliertes Zeitreihen-Modell zugrunde. Anders hingegen parametrische Zeitreihen-Modelle wie Box-Jenkins-Verfahren oder die Spektralanalyse, die allerdings beide im Rahmen dieser einführenden Analyse nicht behandelt werden.

Die Exponentielle Glättung mit erster Ordnung prognostiziert den Wert der $\ (t + 1) $. Periode $\ \hat y_{t+1}= 0 \leq \alpha \leq 1 $ nach der Formel

  • $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $,
  • $\ \hat y_{t+1} = \alpha \cdot y + (1 - \alpha) \cdot \hat y_t $ (Einschrittprognose),
  • $\ \hat y_{t+1} = \hat y_t + \alpha \cdot (y_t - \hat y_t) $ (partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode).

Es bezeichnen

  • $\ y_t $ den wahren Wert der t. Periode
  • $\ \hat y_t $ (sprich: „y-t-Dach“) den in der (t-1). Periode prognostizierten Wert der Folgeperiode, also jenen für die t. Periode
  • $\ \alpha $ den Glättungsparameter, der sich zwischen 0 und 1 bewegt.
    • wenn $\ \alpha $ nahe bei 0 liegt, wird der für die t. Periode prognostizierte Wert stärker gewichtet als der wahre Wert der t. Periode,
    • bei $\ \alpha $ nahe bei 1 genau umgekehrt.

Wir unterscheiden also den prognostizierten Wert (mit Dach) und den wahren Wert (ohne Dach). Wichtig ist außerdem die Festlegung des Startwertes, d.h. $\ \hat y_1 $. Oftmals nimmt man hier $\ \hat y_1 = y_1 $ oder das arithmetische Mittel der vorhandenen Beobachtungswerte.

Merke

Merke:

  • Zur ersten Formel: wenn man direkt den Prognosewert für die (t + 1)-te Periode haben möchte in Abhängigkeit der wahren Werte $\ y_1, y_2, ..., y_t $ und des Startwertes $\ \hat y_1 $, so geht dies über die Formel $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $
  • Zur zweiten Formel: die Ein-Schritt-Prognose $\ \hat y_{t+1} $ ist in der Methode der exponentiellen Glättung ein gewogenes arithmetisches Mittel aus dem (wahren) Zeitreihen-Wert $\ y_t $ der Periode t und dem für die Periode t prognostizierten Wert $\ \hat y_t $ (wobei diese Prognose in der Periode t-1 abgegeben wurde).
  • Zur dritten Formel: wenn man mit $\ y_t - \hat y_t $ die Fehlschätzung der t. Periode bezeichnet, so lässt sich die Prognose $\ \hat y_{t+1} $ auch berechnen als

$\ \hat y_{t+1} = \hat y_t + \alpha \cdot (y_t - \hat y_t) $, also als partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode.

Video zur exponentiellen Glüättung

Video: Exponentielle Glättung

Hinweis zum Video: $\hat x_5= 6,767 $


Berechnung exponentielle Glättung am Beispiel

Beispiel

Beispiel: Hinweis zum Video: $\hat x_5= 6,767 $
Die Zeitreihenwerte der Perioden $\ t = 1, ..., 5 $ lauten

t 1 2 3 4 5
$\ y_t $ 4 5 7 9 13

Prognostiziere den Wert für die sechste Periode. Glättungsparameter sei $\ \alpha = 0,3 $, der Startwert ist $\ \hat y_1 = y_1 $.
Man berechnet nach unterschiedlichen Methoden den gleichen Wert:

Erste Formel
Die wahren Werte der ersten fünf Perioden werden zur Prognose der sechsten herangezogen. Mit $\ t = 5 $ und $\ n = 4 $ erhält man
$\ \hat y_6 = (1- \alpha)^i \cdot y_{5–i} + (1 - \alpha)^{n + 1} \cdot \hat y_1 $
$\ = \alpha \cdot y_5 + \alpha (1 - \alpha)y_4 + \alpha (1 - \alpha)^2 y_3 + \alpha (1 - \alpha)^3 y_2 + \alpha (1 - \alpha)^4 y_1 + (1 - \alpha)^5 \hat y_1 $
$\ = 0,3 \cdot 13 + 0,3 \cdot 0,7 \cdot 9 + 0,3 \cdot 0,7^2 \cdot 7 + 0,3 \cdot 0,7^3 \cdot 5 + 0,3 \cdot 0,7^4 \cdot 4 + 0,7^5 \cdot 4 = 8,2939 $

Zweite Formel
Man prognostiziert zunächst die Werte für die 2., 3., 4. und 5. Periode, um danach erst jenen für die 6. vorhersagen zu können:
$\ \hat y_2 = \alpha \cdot y_1 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_1 = 0,3 \cdot 4 + 0,7 \cdot 4 = 4 $
$\ \hat y_3 = \alpha \cdot y_2 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_2 = 0,3 \cdot 5 + 0,7 \cdot 4 = 4,3 $
$\ \hat y_4 = 5,11 $, $\ \hat y_5 = 6,277 $, $\ \hat y_6 = 8,2939 $

Dritte Formel
Nach dem Vorgehen der Prognosefehler berechnet man

  • zunächst die Vorhersagewerte $\ \hat y_t $,
  • dann die Prognosefehler $\ \hat y_t - y_t $ und
  • benutzt nur jenen der 5. Periode, also $\ \hat y_5 - y_5 $:
  • und damit dann die Prognose für die 6. Periode:
    $\ \hat y_6 = \hat y_5 + \alpha \cdot (y_5 – \hat y_r) = 6,277 + 0,3 \cdot 6,723 = 8,2939 $
t 1 2 3 4 5
$\ y_t $ 4 5 7 9 13
$\ \hat y_t $ 4 4 4,3 5,11 6,277
$\ \hat y_t-y_t $ 0 1 2,7 3,89 6,723

Zum eigenen Nachrechnen seien die Prognosewerte angegeben

  • in Zeile drei der folgenden Tabelle für einen anderen Glättungsparameter $\ \alpha= 0,5 $ und Startwert $\ \hat y_1 = 4 $ wie oben sowie
  • in Zeile 4 der folgenden Tabelle 48 für einen anderen Startwert ŷ1, nämlich dem arithmetisches Mittel der fünf wahren Werte, also $\ \hat y_1 = -7,6 $ und alter Glättungsparameter von $\ \alpha = 0,3 $.
    t 1 2 3 4 5 6
    $\ y_t $  4 5 7 9 13  
    $\ \hat y_t( \alpha=0,5) $ 4 4 4,5 5,75 7,375 10,1875
    $\ \hat y_t(\hat y_1 = 7,6) $ 7,6 6,52 5,764 5,3848 5,4944 6,586