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Exponentielle Glättung

WebinarTerminankündigung:
 Am 19.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Die Methode der exponentiellen Glättung (= exponential smoothing) ragt aus den Zeitreihen-Modellen ein wenig heraus und wird deshalb hier auch gesondert behandelt. Sie ist ein heuristisches Verfahren, ihr liegt kein explizit formuliertes Zeitreihen-Modell zugrunde. Anders hingegen parametrische Zeitreihen-Modelle wie Box-Jenkins-Verfahren oder die Spektralanalyse, die allerdings beide im Rahmen dieser einführenden Analyse nicht behandelt werden.

Die Exponentielle Glättung mit erster Ordnung prognostiziert den Wert der $\ (t + 1) $. Periode $\ \hat y_{t+1}= 0 \leq \alpha \leq 1 $ nach der Formel

  • $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $,
  • $\ \hat y_{t+1} = \alpha \cdot y + (1 - \alpha) \cdot \hat y_t $ (Einschrittprognose),
  • $\ \hat y_{t+1} = \hat y_t + \alpha \cdot (y_t - \hat y_t) $ (partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode).

Es bezeichnen

  • $\ y_t $ den wahren Wert der t. Periode
  • $\ \hat y_t $ (sprich: „y-t-Dach“) den in der (t-1). Periode prognostizierten Wert der Folgeperiode, also jenen für die t. Periode
  • $\ \alpha $ den Glättungsparameter, der sich zwischen 0 und 1 bewegt.
    • wenn $\ \alpha $ nahe bei 0 liegt, wird der für die t. Periode prognostizierte Wert stärker gewichtet als der wahre Wert der t. Periode,
    • bei $\ \alpha $ nahe bei 1 genau umgekehrt.

Wir unterscheiden also den prognostizierten Wert (mit Dach) und den wahren Wert (ohne Dach). Wichtig ist außerdem die Festlegung des Startwertes, d.h. $\ \hat y_1 $. Oftmals nimmt man hier $\ \hat y_1 = y_1 $ oder das arithmetische Mittel der vorhandenen Beobachtungswerte.

Merke

Merke:

  • Zur ersten Formel: wenn man direkt den Prognosewert für die (t + 1)-te Periode haben möchte in Abhängigkeit der wahren Werte $\ y_1, y_2, ..., y_t $ und des Startwertes $\ \hat y_1 $, so geht dies über die Formel $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $
  • Zur zweiten Formel: die Ein-Schritt-Prognose $\ \hat y_{t+1} $ ist in der Methode der exponentiellen Glättung ein gewogenes arithmetisches Mittel aus dem (wahren) Zeitreihen-Wert $\ y_t $ der Periode t und dem für die Periode t prognostizierten Wert $\ \hat y_t $ (wobei diese Prognose in der Periode t-1 abgegeben wurde).
  • Zur dritten Formel: wenn man mit $\ y_t - \hat y_t $ die Fehlschätzung der t. Periode bezeichnet, so lässt sich die Prognose $\ \hat y_{t+1} $ auch berechnen als

$\ \hat y_{t+1} = \hat y_t + \alpha \cdot (y_t - \hat y_t) $, also als partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode.

Video zur exponentiellen Glüättung

Video: Exponentielle Glättung

Die Methode der exponentiellen Glättung ist ein heuristisches Verfahren

Hinweis zum Video: $\hat x_5= 6,767 $


Berechnung exponentielle Glättung am Beispiel

Beispiel

Beispiel: Hinweis zum Video: $\hat x_5= 6,767 $
Die Zeitreihenwerte der Perioden $\ t = 1, ..., 5 $ lauten

t 1 2 3 4 5
$\ y_t $ 4 5 7 9 13

Prognostiziere den Wert für die sechste Periode. Glättungsparameter sei $\ \alpha = 0,3 $, der Startwert ist $\ \hat y_1 = y_1 $.
Man berechnet nach unterschiedlichen Methoden den gleichen Wert:

Erste Formel
Die wahren Werte der ersten fünf Perioden werden zur Prognose der sechsten herangezogen. Mit $\ t = 5 $ und $\ n = 4 $ erhält man
$\ \hat y_6 = (1- \alpha)^i \cdot y_{5–i} + (1 - \alpha)^{n + 1} \cdot \hat y_1 $
$\ = \alpha \cdot y_5 + \alpha (1 - \alpha)y_4 + \alpha (1 - \alpha)^2 y_3 + \alpha (1 - \alpha)^3 y_2 + \alpha (1 - \alpha)^4 y_1 + (1 - \alpha)^5 \hat y_1 $
$\ = 0,3 \cdot 13 + 0,3 \cdot 0,7 \cdot 9 + 0,3 \cdot 0,7^2 \cdot 7 + 0,3 \cdot 0,7^3 \cdot 5 + 0,3 \cdot 0,7^4 \cdot 4 + 0,7^5 \cdot 4 = 8,2939 $

Zweite Formel
Man prognostiziert zunächst die Werte für die 2., 3., 4. und 5. Periode, um danach erst jenen für die 6. vorhersagen zu können:
$\ \hat y_2 = \alpha \cdot y_1 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_1 = 0,3 \cdot 4 + 0,7 \cdot 4 = 4 $
$\ \hat y_3 = \alpha \cdot y_2 + (1 - \alpha) \cdot \hat y_2 = 0,3 \cdot 5 + 0,7 \cdot 4 = 4,3 $
$\ \hat y_4 = 5,11 $, $\ \hat y_5 = 6,277 $, $\ \hat y_6 = 8,2939 $

Dritte Formel
Nach dem Vorgehen der Prognosefehler berechnet man

  • zunächst die Vorhersagewerte $\ \hat y_t $,
  • dann die Prognosefehler $\ \hat y_t - y_t $ und
  • benutzt nur jenen der 5. Periode, also $\ \hat y_5 - y_5 $:
  • und damit dann die Prognose für die 6. Periode:
    $\ \hat y_6 = \hat y_5 + \alpha \cdot (y_5 – \hat y_r) = 6,277 + 0,3 \cdot 6,723 = 8,2939 $
t 1 2 3 4 5
$\ y_t $ 4 5 7 9 13
$\ \hat y_t $ 4 4 4,3 5,11 6,277
$\ \hat y_t-y_t $ 0 1 2,7 3,89 6,723

Zum eigenen Nachrechnen seien die Prognosewerte angegeben

  • in Zeile drei der folgenden Tabelle für einen anderen Glättungsparameter $\ \alpha= 0,5 $ und Startwert $\ \hat y_1 = 4 $ wie oben sowie
  • in Zeile 4 der folgenden Tabelle 48 für einen anderen Startwert ŷ1, nämlich dem arithmetisches Mittel der fünf wahren Werte, also $\ \hat y_1 = -7,6 $ und alter Glättungsparameter von $\ \alpha = 0,3 $.
    t 1 2 3 4 5 6
    $\ y_t $  4 5 7 9 13  
    $\ \hat y_t( \alpha=0,5) $ 4 4 4,5 5,75 7,375 10,1875
    $\ \hat y_t(\hat y_1 = 7,6) $ 7,6 6,52 5,764 5,3848 5,4944 6,586


Multiple-Choice
Welche Aussage über den Glättungsparameter ist richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Exponentielle Glättung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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