Inhaltsverzeichnis
1. Aufgabe
Anhand einer einfachen Stichprobe konnte ermittelt werden, dass sechs von zehn in Deutschland lebende Personen rauchen.
a) Schätzen Sie auf der gegebenen Grundlage die Anzahl rauchender Personen in der deutschen Bevölkerung.
b) In Deutschland leben derzeit ca. 83 Mio. Bürger. Wie hoch ist die Anzahl der Raucher insgesamt?
Vertiefung
Lösung:
Aufgabe a) lässt sich wie folgt beantworten: Bekannt ist, dass sechs von zehn in Deutschland lebende Personen Raucher sind. Daraus ergibt sich $6\over{10}$.
Wird der Bruch mit $10\over{10}$ erweitert, so wird ersichtlich, dass 60 von 100 Personen in Deutschland rauchen. Das heißt $\frac{60}{100}=60\text{\%}.$
b) Auf der Basis der gegebenen Grundlage kommt es zur folgender Rechnung: 83 Mio. * 60 % = 49,8 Mio. Demnach rauchen ca. 50 Mio. der deutschen Bürgerinnen und Bürger in Deutschland.
2. Aufgabe
Die Stichprobenstandardabweichung ist für die folgende Stichprobe zu ermitteln:
| $x_i$ | 51 | 62 | 73 | 85 |
| $h_i$ | 3 | 0 | 7 | 12 |
Die Größe $h_i$ bezieht sich auf die Häufigkeit und das Auftreten der einzelnen Ausprägungen.
Hinweis
Es ist sinnvoll sich zunächst auf die Lösung der Aufgabe zu konzentrieren und erst im Anschluss die Herleitung heranzuziehen.
Vertiefung
Lösung:
Benötigte Formeln herleiten:
hierzu existiert eine Häufigkeitstabelle. Durch die Herleitung einer allgemeinen Formel gelingt es anschließend die Standardabweichung einer Häufigkeitstabelle zu berechnen:
Dafür steht $n_i$ für die absolute Häufigkeit der Merkmalausprägungen, $x_i$ und j für die Anzahl der Merkmalausprägungen $x_i$.
Für den Mittelwert ergibt sich:
$\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^jx_in_i=\frac 1 n(x_1n_1+x_2n_2+…+x_jn_j)$.
Dabei ist $n$ die Summe der absoluten Häufigkeit:
$n=\sum _{i=1}^jn_i=n_1+n_2+...+n_{\mathit{j.}}$
Folglich kann daraus die Formel für die Berechnung der Standardabweichung hergeleitet werden. Diese lautet:
$s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^j(x_i-\overline x)^2n_i}.$
= $\sqrt{\frac 1{n-1}((x_1-\overline x)^2n_1+(x_2-\overline x)^2n_2+...+(x_j-\overline x)^2n_{\mathit{j.}})}.$
Auf der gegebenen Grundlage kann die zweite Aufgabe gelöst werden. Hierzu wird zunächst der Mittelwert bestimmt $\overline x.$
Anhand der abgebildeten Tabelle wird ersichtlich, dass drei mal die 51, null mal die 62, sieben mal die 73 und zwölf mal die 85 auftreten. Durch die Rechnung: 51 + 62 + 73 + 85 = 271 ergeben sich insgesamt 271 Ausprägungen.
Das Ergebnis lautet demnach: $\overline x=\frac{1}{22} \cdot {3\ast 51+0\ast 62+7\ast 73+12\ast 85} =76,54.$
| i | $x_i$ | $n_i$ | $x_i$$n_i$ | $\overline x$ | $x_{i}-\overline{x}$ | $(x_i-\overline x)^2n_i$ |
| 1 | 51 | 3 | 153 | 76,54 | -25,54 | 1.956,8748 |
| 2 | 62 | 0 | 0 | 76,54 | -14,54 | 0 |
| 3 | 73 | 7 | 511 | 76,54 | -3,54 | 87,7212 |
| 4 | 85 | 12 | 1.020 | 76,54 | 8,46 | 858,8592 |
| $\sum _{i=1}^4(\mathit{Werte})$ | 271 | 22 | 1.684 | wird nicht ben. | wird nicht ben. | 2.903,4552 |
Daraus ergibt sich: $s=\sqrt{\frac 1{(22-1)}\ast 2.903,4552}\approx 11,758$.
3. Aufgabe
Zwei Industriemaschinen produzieren die Gegenstände Y und Z. Eine Stichprobe von n = 7 ergab folgende Werte:
Y in cm | Z in cm |
|---|---|
49,8 | 49,9 |
49,8 | 49,6 |
49,9 | 49,9 |
50 | 49,9 |
50,1 | 50,2 |
50,1 | 50,2 |
50,3 | 50,3 |
Wie viel beträgt die durchschnittliche Länge für Y bzw. Z?
Vertiefung
Lösung
Das arithmetische Mittel für Y ist:
$\frac 1 7\text (49,8+49,8+49,9+50+50,1+50,1+50,3\text )\mathit{cm}=50\mathit{cm}$
...und für Z:
$\frac 1 7(49,9+49,6+49,9+49,9+50,2+50,2+50,3)\mathit{cm}=50\mathit{cm}$
Für die Schätzung der durchschnittliche Länge der beiden Gegenstände Y bzw. Z resultiert:
$\hat{\mu }_x=\overline X=50\mathit{cm}\mathit{bzw.}\hat{\mu }_y=\overline Y=50\mathit{cm}$.
4. Aufgabe
Die Stichprobe der Notenverteilung innerhalb einer Schulklasse weist folgende Werte auf:
Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
Anzahl der Schüler | 5 | 3 | 5 | 4 | 2 | 1 |
Wie hoch ist die Standardabweichung?
Orientiere dich dabei an einer kardinalskalierten Rechnung.
Vertiefung
Lösung:
Die Mittelwerte sind:
$\overline x=\frac 1{20}\text (1\ast 5+2\ast 3+3\ast 5+4\ast 4+5\ast 2+6\ast 1\text )=\frac{58}{20}=2,9$.
$x_i$ | $n_i$ | $x_in_i$ | $\overline x$ | $x_i-\overline x$ | $(x_i-\overline x)^2n_i$ |
1 | 5 | 5 | 2,9 | -1,9 | 18,05 |
2 | 3 | 6 | 2,9 | -0,9 | 2,43 |
3 | 5 | 15 | 2,9 | 0,1 | 0,05 |
4 | 4 | 16 | 2,9 | 1,1 | 4,84 |
5 | 2 | 10 | 2,9 | 2,1 | 8,82 |
6 | 1 | 6 | 2,9 | 3,1 | 9,61 |
| Summe | 20 | 58 | wird nicht ben. | wird nicht ben. | 43,8 |
Das bedeutet für die Standardabweichung:
$s=\sqrt{\frac 1{20-1}\sum _{i=1}^6(x_i-\overline x)^2n_i}.$
= $s=\sqrt{\frac 1{(20-1)}\ast 43,8}\approx 1,52.$
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