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Stichprobentheorie - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen

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Stichprobentheorie

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen

Aufgabe 1

Es wird festgestellt, dass in einer einfachen Stichprobe von zehn deutschen Personen sechs Raucher dabei sind.

a) Schätzen Sie den Anteil der Raucher in der deutschen Bevölkerung.

b) Wie viele Raucher gibt es dann wahrscheinlich in der deutschen Bevölkerung bei 80 Mio. Bundesbürgern?

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Lösung:

Zu a): Wir wissen, dass sechs von zehn deutschen Personen Raucher sind. Dies sind also $6\over{10}$.

Erweitern wir den Bruch mit $10\over{10}$ so stellen wir fest,dass

60 von 100 deutschen Personen Raucher sind. Das heißt aber gerade $\frac{60}{100}=60\text{\%}.$

Somit ist a) beantwortet.

Zu b): Wenn wir a) berücksichtigen stellen wir fest, dass 80 Mio * 60 % = 48 Mio der deutschen Bevölkerung Raucher sind.

Aufgabe 2

Für folgende Stichprobe ist die Stichprobenstandardabweichung zu berechnen:

$x_i$51627385
$h_i$30712

 Die Größe $h_i$ bezeichnet die Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Ausprägungen vorkommen.

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Lösung:

Herleitung der nötigen Formeln

Hier liegt eine Häufigkeitstabelle vor. Nun werden wir eine allgemeine Formel herleiten, die es uns gestattet die Standardabweichung aus einer Häufigkeitstabelle zu berechnen. Für unerfahrene Leser ist es vorteilhaft, sich zunächst der Lösung der Aufgabe zu widmen und anschließend sich die Herleitung anzuschauen.

Zunächst seien $n_i$ die absolute Häufigkeit der Merkmalausprägungen, $x_i$ und j sei die Anzahl der Merkmalausprägungen $x_i$.

Für den Mittelwert erhalten wir in diesem Fall:
$\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^jx_in_i=\frac 1 n(x_1n_1+x_2n_2+...+x_jn_j)$,

wobei $n$ die Summe der absoluten Häufigkeiten ist, d.h.
$n=\sum _{i=1}^jn_i=n_1+n_2+...+n_{\mathit{j.}}$

Nun können wir die Formel für die Berechnung der Standardabweichung bestimmen.

Sie lautet $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^j(x_i-\overline x)^2n_i}.$
= $\sqrt{\frac 1{n-1}((x_1-\overline x)^2n_1+(x_2-\overline x)^2n_2+...+(x_j-\overline x)^2n_{\mathit{j.}})}.$

Jetzt sind wir in der Lage, die Aufgabe 2 zu lösen.

Zunächst bestimmen wir den Mittelwert $\overline x$

Anhand obiger Tabelle sehen wir, dass drei mal die 51, null mal die 62, sieben mal die 73 und zwölf mal die 85 vorkommt. Wir haben insgesamt 51 + 62 + 73 + 85 = 271 Ausprägungen.

Somit ist $\overline x=\frac{1}{22} \cdot {3\ast 51+0\ast 62+7\ast 73+12\ast 85} =76,54.$

i$x_i$$n_i$$x_i$$n_i$$\overline x$$x_{i}-\overline{x}$$(x_i-\overline x)^2n_i$
151315376,54-25,541.956,8748
2620076,54-14,540
373751176,54-3,5487,7212
485121.02076,548,46858,8592
$\sum _{i=1}^4(\mathit{Werte})$271221.684wird nicht ben.wird nicht ben.2.903,4552

Somit ist: $s=\sqrt{\frac 1{(22-1)}\ast 2.903,4552}\approx 11,758$.

Aufgabe 3

Zwei Maschinen produzieren Gegenstände X und Y. Eine Stichprobe von n = 7 ergab folgende Werte.

X in cm

Y in cm

49,8

49,9

49,8

49,6

49,9

49,9

50

49,9

50,1

50,2

50,1

50,2

50,3

50,3

Wie lautet die durchschnittliche Länge für X bzw. Y ?  

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Lösung:

Das arithmetische Mittel für X ist:
$\frac 1 7\text (49,8+49,8+49,9+50+50,1+50,1+50,3\text )\mathit{cm}=50\mathit{cm}$

Der arithmetische Mittel für Y ist:
$\frac 1 7(49,9+49,6+49,9+49,9+50,2+50,2+50,3)\mathit{cm}=50\mathit{cm}$

Somit ergibt sich als Schätzung für die durchschnittliche Länge der Gegenstände X bzw. Y
$\hat{\mu }_x=\overline X=50\mathit{cm}\mathit{bzw.}\hat{\mu }_y=\overline Y=50\mathit{cm}$.

Aufgabe 4

Wir betrachten die Notenverteilung in einer Klasse. Eine Stichprobe ergab folgende Werte:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl der Schüler

5

3

5

4

2

1

Wie groß ist die Standardabweichung? Rechne so, als sei es kardinalskaliert.

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Lösung:

Wir erhalten folgenden Mittelwert:
$\overline x=\frac 1{20}\text (1\ast 5+2\ast 3+3\ast 5+4\ast 4+5\ast 2+6\ast 1\text )=\frac{58}{20}=2,9$.

$x_i$

$n_i$

$x_in_i$

$\overline x$

$x_i-\overline x$

$(x_i-\overline x)^2n_i$

1

5

5

2,9

-1,9

18,05

2

3

6

2,9

-0,9

2,43

3

5

15

2,9

0,1

0,05

4

4

16

2,9

1,1

4,84

5

2

10

2,9

2,1

8,82

6

1

6

2,9

3,1

9,61

Summe

20

58

wird nicht ben.

wird nicht ben.

43,8

Als Standardabweichung ergibt sich:
$s=\sqrt{\frac 1{20-1}\sum _{i=1}^6(x_i-\overline x)^2n_i}.$
= $s=\sqrt{\frac 1{(20-1)}\ast 43,8}\approx 1,52.$