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Aufgabe 1:

Ein Unternehmen stellt die Produkte A, B, C, D und E her. Die Verkaufpreise, die variablen Kosten sowie die Absatzhöchstmenge können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden. Darüber hinaus sind in der Tabelle die jeweiligen benötigten Produktionszeiten auf den nacheinander zu durchlaufenden Anlagen 1 und 2 angegeben. Die Anlage 1 steht 875 ZE, die Anlage 2 steht 2.500 ZE zur Verfügung.

a) Ermitteln Sie das Produktionsprogramm mit dem maximalen GesamtDeckungsbeitrag und geben Sie zusätzlich diesen Gesamtdeckungsbeitrag an.

b) Gegen Inkaufnahme zusätzlicher Kosten kann die Kapazität der beiden Anlagen um jeweils 200 ZE erhöht werden. Wie hoch dürfen diese Kosten pro Zeiteinheit maximal sein, damit die Kapazitätserhöhung für das Unternehmen positiv ist (also den Gesamtdeckungsbeitrag erhöht)?

Produkt

Preis

variable

Zeit-bedarf

Zeitbe-darf

Absatzhöchst-menge

 

 

Stück-kosten

Anlage 1

Anlage 2

des Produkts

A

20

5

3

1

100

B

35

15

5

3

80

C

16

8

4

8

130

D

10

2,5

1

5

175

E

20

12

5

7

30

Lösung:

a) Zunächst zur Vorgehensweise bei einer Deckungsbeitragsrechnung zur Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms:

LAMBERT-KOCHREZEPT RELATIVE DECKUNGSBEITRAGSRECHNUNG

1. Zunächst schaut man, ob überhaupt ein Engpass besteht und wenn ja, wie viele.

kein Engpass: absolute Deckungsbeitragsrechnung

genau ein Engpass: relative Deckungsbeitragsrechnung

mehrere Engpässe: lineare Optimierung.

2. Dann müssen die Preise und die variablen Stückkosten ermittelt werden.

3. Danach berechnet man die absoluten Deckungsbeiträge als Differenz aus Preis und variablen Stückkosten. Eliminiere jene Produkte, deren absoluter Deckungsbeitrag kleiner 0 ist.

4. Schließlich dividiert man den absoluten Deckungsbeitrag durch den jeweiligen Produktionskoeffizienten. Wichtig hierbei: der Produktionskoeffizient gibt die Beanspruchung der knappen Kapazität durch das jeweilige Produkt an.

5. Hiernach werden die Produkte nach Maßgabe ihrer relativen Deckungsbeiträge geordnet.

6. Schließlich wird vom erstbesten Produkt maximal viel produziert und die Beanspruchung der knappen Kapazität ermittelt. Danach schaut man, wie viel Kapazitätseinheiten noch übrig sind.

7. Diese übrigen Kapazitätseinheiten werden für die Produktion des zweitbesten Produkts verwendet. Wiederhole den Schritt 6 für das zweitbeste, drittbeste Produkt etc.

MERKE:

Wenn gar kein Engpass existiert, so werden all jene Produkte produziert, die einen positiven absoluten Deckungsbeitrag ergeben. Denn jede Mengeneinheit, bei der der Preis größer ist als die variablen Stückkosten, erhöht den Gesamtgewinn bzw. reduziert den Verlust.

In der vorliegenden Aufgabe berechnet man also zunächst, ob Anlage 1 ein Engpass ist. Hierzu werden die maximal möglichen Produktionsmengen mit den Produktionskoeffizienten multipliziert und dann für alle Produkte aufaddiert:

3·100 + 5·80 + … + 5·30 =1.545 ZE. Es werden also, wenn das maximal mögliche Produktionsprogramm realisiert werden soll, 1.545 Zeiteinheiten auf der Anlage 1 benötigt. Zur Verfügung stehen aber nur 875 Zeiteinheiten. Bei Anlage 1 liegt also ein Engpass vor.

Dann Anlage 2: 1·100 + 3·80 + … + 7·30 =2.465 ZE. Da auf der Anlage 2 aber 2.500 ZE zur Verfügung stehen, kann das maximal mögliche Produktionsprogramm auf der zweiten Anlage produziert werden. Sie stellt daher keinen Engpass dar. Im Rahmen der relativen Deckungsbeitragsrechnung sind also lediglich die Produktionskoeffizienten der ersten Anlage einzubeziehen.

Produkt

Preis

variable

absoluter

 

 

Stückkosten

Deckungsbeitrag

A

20

5

15

B

35

15

20

C

16

8

8

D

10

2,5

7,5

E

20

12

8

Da sämtliche Stückdeckungsbeiträge positiv sind, wird kein Produkt eliminert. Danach rechnet man die relativen Deckungsbeiträge aus und ermittelt anhand dessen die Rangfolge:

Produkt

absoluter

Produktions-

relativer

Rang-

Produktions-

Benötigte

noch freie

 

DB

koeffizient

DB

folge

programm

Kapazität

Kapazität

A

 15

3

2

B

20

5

4

 3

C

8

4

2

 4

D

7,5

1

7,5

1

E

 8

5

 1,6

 5

Wichtig ist, den Unterschied zu kennen zwischen dem absoluten und dem relativen Deckungsbeitrag.

LAMBERT-METHODE ABSOLUTER UND RELATIVER DECKUNGSBEITRAG.

Der absolute Deckungsbeitrag sagt aus, wie viel Euro das einzelne Produkt pro produziertem Stück zur Deckung der fixen Kosten beiträgt. So erhöht bspw. ein einzelnes produziertes Stück B den Gesamtgewinn der Unternehmung um 20 €. Der relative Deckungsbeitrag von 4 €/ZE besagt hingegen, dass wenn man eine ZE zur Produktion von B benutzt, man dann einen Gewinnbeitrag von 4 € realisiert.

Man produziert also maximal viel vom erstbesten Produkt, hier also von D. Maximal viel bedeutet, dass man 175 ME realisiert. Hierfür benötigt man 175 ·1 = 175 ZE auf der Anlage 1. Da insgesamt 875 ZE zur Verfügung stehen, können noch 875 – 175 = 700 ZE benutzt werden. Dies führt auf folgenden Zwischenstand:

Produkt

absoluter

Produktions-

relativer

Rang-

Produktions-

Benötigte

noch freie

 

DB

koeffizient

DB

folge

programm

Kapazität

Kapazität

A

 15

3

2

B

20

5

4

 3

C

8

4

2

 4

D

7,5

1

7,5

1

175

175

700

E

 8

5

 1,6

 5

Die noch zur Verfügung stehenden Einheiten können nun für das zweitbeste Produkt verwendet werden, nämlich Produkt A. Da man hier 100 ME realisieren möchte, benötigt man 100 ·3 = 300 ZE. Übrig bleiben 400 ZE, die für die Produktion der restlichen Produkte verwendet werden können.

Produkt

absoluter

Produktions-

relativer

Rang-

Produktions-

Benötigte

noch freie

 

DB

koeffizient

DB

folge

programm

Kapazität

Kapazität

A

 15

3

2

100

300

400

B

20

5

4

 3

C

8

4

2

 4

D

7,5

1

7,5

1

175

175

700

E

 8

5

 1,6

 5

Die noch vorhandenen Zeiteinheiten auf der Maschine reichen für 400/5 = 80 ME von Produkt B (dem drittbesten Produkt) gerade aus, danach ist die Kapazität vollkommen ausgeschöpft.

Produkt

absoluter

Produktions-

relativer

Rang-

Produktions-

Benötigte

noch freie

 

DB

koeffizient

DB

folge

programm

Kapazität

Kapazität

A

 15

3

2

100

300

400

B

20

5

4

 3

80

400

0

C

8

4

2

 4

0

D

7,5

1

7,5

1

175

175

700

E

 8

5

 1,6

 5

0

Das markierte Produktionsprogramm ist damit auch optimal. Es lässt sich ein Deckungsbeitrag insgesamt realisieren von DBmax = 100·15 + 80·20 + 175·7,5 = 4.412,50 €.

b) Da die Anlage 2 nicht knapp war, spielt auch die Erhöhung ihrer Kapazität keine Rolle. Wohl ist die Erhöhung der Kapazität der ersten Anlage sinnvoll, denn das Produktionsprogramm lässt sich erweitern und damit der Gewinn vergrößern. Stehen nämlich 200 ZE noch zusätzlich zur Verfügung, so ließen sich noch zusätzlich vom viertbesten Produkt (also C) noch weitere 200/4 = 50 ME herstellen.

Produkt

absoluter

Produktions-

relativer

Rang-

Produktions-

Benötigte

noch freie

 

DB

koeffizient

DB

folge

programm

Kapazität

Kapazität

A

 15

3

2

100

300

600

B

20

5

4

 3

80

400

200

C

8

4

2

 4

50

200

0

D

7,5

1

7,5

1

175

175

900

E

 8

5

 1,6

 5

0

Das markierte Produktionsprogramm würde einen Deckungsbeitrag von DBmax = 100·15 + 80·20 + 50·8 + 175·7,5 = 4.812,50 €. Dies ergibt daher eine Steigerung des Gewinns von 4.812,50 – 4.412,50 = 400 € (was sich auch ausrechnen lässt als „zusätzlich produzierte Menge von C ·Stückdeckungsbeitrag von C“ = 50 ·8 = 400 €). Da der Gewinn um 400 € steigt, verursacht durch 200 zusätzliche Zeiteinheiten, steigt der Gewinn pro zusätzlicher Zeiteinheit um 400 €/200 ZE = 2 €/ZE. Daher ist man maximal bereit, einen Betrag von 2 € pro zusätzlicher Zeiteinheit zu bezahlen.

Aufgabe 2:

Folgende Daten liegen von dem Unternehmen Zing AG für Oktober 2008 vor.

Angaben

A

B

C

Produkt/

Absatzmenge

4.000

5.000

15.000

variable Gemeinkosten je kg in €

0,8

0,3

0,5

Einzelkosten je kg in €

6,2

2,7

3,5

Maschinenbelegung in Minuten je kg

12

8

6

Nettoerlös gesamt in €

36.000

20.000

115.000

Die Fixkosten betragen 30.000 €.

  • Berechnen Sie das Betriebsergebnis für den Monat Oktober 2008.

  • Berechnen Sie die Deckungsbeiträge je Stück.

  • Ermitteln Sie die relativen Deckungsbeiträge je Produkt. Wann erfolgen Entscheidungen aufgrund des relativen Deckungsbeitrages?

Zusätzlich könnte noch das Produkt D produziert und abgesetzt werden. Die variablen Stückkosten betragen hierfür 8 €.

Angenommen, es stellt sich heraus, dass die verfügbare Maschinenzeit einen Engpass darstellt. Die Produktion einer Einheit D beansprucht sechs Maschinenminuten. Wir nehmen an, dass bei Einführung des Produkts D nun auf eines der bisherigen Produkte gänzlich verzichtet wird.

  • Berechnen Sie die absolute kurzfristige Preisuntergrenze für das Produkt D in dieser Situation.

  • Angenommen, auf das Produkt B soll künftig vollständig verzichtet werden. Berechnen Sie dafür die notwendige Absatzmenge von D, damit sich das Betriebsergebnis nicht verschlechtert, wenn D zum Preis gemäß Aufgabe d) verkauft wird.

Lösung:

a) Für das Betriebsergebnis berechnet man die Deckungsbeiträge der einzelnen Produkte und zieht dann die Fixkosten hiervon ab.

Daten

A

B

C

Σ

Umsätze

36.000

20.000

115.000

variable Kosten

(0,8 + 6,2)·4.000

= 28.000

(2,7 + 0,3)·5.000

= 15.000

(3,5 + 0,5)·15.000

= 60.000

= DB

8.000

5.000

55.000

68.000 €

Fixkosten

30.000 €

Betriebsergebnis

38.000 €

b) Man berechnet die Deckungsbeiträge, indem die variablen Stückkosten von den Verkaufspreisen subtrahiert werden.

Sorten

Preis

variable Stückkosten

Deckungsbeitrag

A

9 (= 36.000/4000)

7 (= 0,8 + 6,2)

2

B

4 (= 20.000/5.000)

3 (=2,7 + 0,3)

1

C

7,67

4 (=3,5 + 0,5)

3,67

Alle Deckungsbeiträge sind positiv, deshalb sollte jedes Produkt auch hergestellt werden, wenn kein Engpass besteht.

c) Der relative Deckungbeitrag wird berechnet, wenn genau ein Engpass besteht. Man dividiert hierzu den absoluten Deckungsbeitrag durch den Produktionskoeffizienten des knappen Faktors:

relativer Deckungsbeitrag = absoluter Deckungsbeitrag/Produktionskoeffizient.

Sorte

DB

PK

relativer DB

RF

A

2

12

2/12=0,167

2

B

1

8

0,125

3

C

3,67

6

0,61

1

d) Man muss sich zunächst klarmachen, wie eine Preisuntergrenze bestimmt wird.

LAMBERT-REGEL:

Die Preisuntergrenze für D bemisst sich danach, dass die variablen Kosten gedeckt sind und zusätzlich die Opportunitätskosten des „Rauswurfs“.

Dies heißt hier:

PreisuntergrenzeD = variable KostenD + Opportunitätskosten

= 8 + 8∙(1/8)

= 8 + 1

= 9 €.

Wie berechnet man die Opportunitätskosten? Es ist klar, dass für das neu hinzukommende Produkt D nun das schlechteste Produkt (also B, da Rang 3 in der relativen Deckungsbeitragsrechnung) aus dem Programm heraus geworfen wird. Hierdurch werden sechs Minuten auf der Maschine frei. Pro Minute ließ sich mit B aber ein Deckungsbeitrag von 0,125 € erzielen, für acht Minuten, die frei werden pro rausgeworfenem Produkt von B daher 8∙1/8 = 1 €. Dies sind die Opportunitätskosten des Rauswurfs, die in der Preisuntergrenze für D Berücksichtung finden müssen.

e) Die Deckungsbeitrags-Veränderung durch die Verdrängung von B beträgt 1·5,000 = 5.000 €, denn es werden 5.000 ME von B weniger (!) produziert. In d) hatten wir Opportunitätskosten von 1 € berechnet. Wenn man die Deckungsbeitragssenkung (verursacht durch den Rauswurf von B) dividiert durch diese Opportunitskosten, also

MED = DB-VerdrängungB/OpportunitätskostenB

= 5.000/1

= 5.000 ME

rechnet, so erhält man, dass 5.000 ME von D verkauft werden müssen, damit sich das Betriebsergebnis nicht verschlechtert.

Machen wir hierzu die Probe:

Sorten

DB

Menge

Deckungsbeitrag

A

2

4.000

8.000

C

3,67

15.000

55000

D

9 – 8 = 1

5000

5000

Damit lautet das Betriebsergebnis

BE = Σ Deckungsbeiträge – Fixkosten

= 8.000 + 55.000 + 5.000 – 30.000

= 68.000 00 – 30.000

= 38.000 €.

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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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