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Die Forward Rate oder Terminzins gibt, wie der Name schon vermuten lässt, die zukünftige Verzinsung in der t. Periode in die noch weiter liegende Zukunft t + 1 an. Demnach handelt es sich immer um eine einperiodische Verzinsung.
Beispiel
Beispiel 41:
Die schon aus den anderen Beispielen bekannte Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur sei wie folgt:$\\$
| Jahr | Geld-/Kapitalmarktzins |
| 1 | 0,09 |
| 2 | 0,10 |
| 3 | 0,11 |
| 4 | 0,12 |
Berechne die Forward Rate von der Periode 1 zur Periode 2.
Retrograde Berechnung der Forward Rate
Die nächste Tabelle zeigt die retrograde Berechnung der Forward Rate FR1,2 zweier Finanzgeschäfte mit ein- und zweijähriger Laufzeit.
$\\$
| Jahr | 0 | 1 | 2 |
| Kredit, mit dem am Ende 1 € abbezahlt wird | 0,9091 | - 0,0909 | -1 |
| Geldanlage und ihre Rückführung | - 0,9091 | 0,9909 | |
| Positiver Saldo in t = 1 | 0 | 0,9000 |
Tab. 52: Retrograde Berechnung Forward Rate
$\\$
1€ ist bspw. in der 2. Periode bei der heutigen Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur exakt $\ {1 \over 1,10} = 0,9091\ €$ in der 0. Periode wert. Dieses Geld wird demnach heute in der Periode t=0 als Kredit aufgenommen.
So ist z.B. 1€ in der Periode t = 2 bei der heute gültigen Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur genau $\ {1 \over 1,06} = 0,943396\ € $ in der 0. Periode wert. Man nimmt also dieses Geld heute – d.h. in t = 0 – als zweijährigen Kredit auf. Der Zinsaufwand (der negative Eintrag) im 1. Jahr ist damit 0,9091 · 0,10 = 0,0909.
Damit das Zahlungssaldo in der 0. Periode gleich null ist, werden die 0,9091€ sofort wieder für ein Jahr zu einem Zins von 9% angelegt. Daher erhält man ein Jahr später 0,9909€ (der positive Eintrag), also den Betrag plus den Habenzinsen.
Somit bleibt in der 1. Periode, von der einjährigen Geldanlage abzüglich der Zinsen aus der zweijährigen Kreditaufnahme, ein Saldo von insgesamt 0,9000€ übrig. $$ 0,9909 – 0,0909 = 0,9000€ $$.
Wie verzinst sich nun dieses Geld ein Jahr später, also in t = 2, um auf 1 € anzuwachsen?
Dies lässt sich mit der Forward Rate FR1,2 von t = 1 nach t = 2, also mit FR1,2 = ( ${ i \over 0,933968}$ - 1) · 100 beantworten.
Erneut kann man sehen, dass die Forward Rate von der Zukunft t = 1 in noch eine entferntere Zukunft verzinst.
Schema zur Berechnung der Forward Rates
Methode
Um die Forward Rate zu berechnen gibt es drei Varianten:
- Retrograd in Zahlungsplänen, welche explizit die notwendigen Geldanlagen, Zinszahlungen und Zinserträge modellieren. Ab FR2,3 ist dafür jedoch ein Gleichungssystem vonnöten.
- Über die zugehörigen Zerobondabzinsfaktoren:
FRt,t+1 = (${ZBAF_{0,t} \over ZBAF_{0,t+1}}$ -1) - Rekursiv mit der Formel:
FR1,2 = $( {1+i_{02} \over 1+i_{01}-i_{02}}-1) \cdot 100 $,
FR2,3 = $( {1+i_{03} \over (1+i_{01}-i_{03}) \cdot(1+i_{12})-i_{03}} -1) \cdot 100 $,
FR3,4 = $( {1+i_{04} \over [(1+i_{01}-i_{04}) \cdot(1+i_{12})-i_{04}] \cdot (1 +i_{23})-i_{04}} -1) \cdot 100 $.
Wir rechnen nach.
Die Zerobondabzinsfaktoren sind:
$\ ZBAF_{0,1} = {1 \over 1 + i_01} = {1 \over 1,09} = 0,9174$
$\ ZBAF_{0,2} = {1 - (i_{02} \cdot ZBAF_{01}) \over 1+i_{02}} = {1 - (0,1 \cdot 0,9174) \over 1 +0,1} = 0,8257$.
Die Forward-Rate von t = 1 zu t = 2 berechnet sich dann mit Hilfe dieser Zerobondabzinsfaktoren als
$\ FR_{1,2} =({ZBAF_{0,1} \over ZBAF_{0,2}}-1) \cdot 100 ={0,9174\over 0,8257} - 1 \cdot 100 = 11,11% $
oder mit der rekursiven Formel:
$\ FR_{1,2} = {1+i_{02} \over 1+i_{01}-i_{02}} - 1 = {1+0,1 \over 1+0,09-0,1} - 1= 0,1111 = 11,11% $.
Die Berechnung der Forward Rate von 2 nach 3 ist erheblich aufwändiger, weil ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden muss.
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
| dreijähriger Kredit, der in t = 3 mit 1 € abbezahlt wird | 0,9009 | - 0,0991 | - 0,0991 | - 1 |
| zweijähriges Finanzgeschäft in Höhe G2 in t = 0 Zins von 0,10 · G2 in t = 1 und Tilgung von 1,1 · G2 in t = 2 | G2 | - 0,10 · G2 | - 1,10 · G2 | |
| einjähriges Finanzgeschäft in Höhe G1 in t = 0 und Abbezahlung in t = 1 mit 1,09 · G1 | G1 | - 1,09 · G1 | ||
| Salden | 0 | 0 |
Tab. 53: Herleitung der Forward Rate von 2 nach 3 über Gleichungssystem
Heute in t = 0 ist der 1€ aus t=3 exakt $ \frac{1}{1,11} = 0,9009 €$ wert (bzw. in t=0 muss ein Kredit von 0,9009€ aufgenommen werden). Die Zinsen belaufen sich also in den Perioden t = 2 und t = 3 auf $ 0,9009 \cdot 0,11 = 0,0991$.
Der Zahlungssaldo in der 0. Periode soll gleich 0€ sein, ergo muss die Summe aus dem drei-, sowie zwei- und einjährigem Geschäft null ergeben, also 0,9009 + G2 + G1 = 0
Ist G1 positiv (negativ), wird Geld aufgenommen (angelegt), selbiges gilt für G2.
Das zweijährige Geschäft G2 führt zu einer Zinszahlung (oder einem Zinsertrag) von –0,10 · G2 in t = 1 und zu einer Rückführung in Höhe von –1,10 · G2 in t = 2.
Dadurch, dass der Vorfaktor 0,10 bzw. 1,10 negativ ist, stellen wir sicher, dass für den Fall, dass G2 > 0 (Geldaufnahme) es zu Zinsauszahlung kommt G2· (–0,10) und G2 · (- 1,10) in t = 1 bzw. t = 2.
Für den Fall G2 < 0 (Geldanlage): G2· (–0,10) (Zinsertrag) in t = 1 und in t = 2 G2 · (- 1,10) (Rückführung) .
Gleicher Gedanke gilt für G1 und G1 · (–1,09).
Für Periode 1 erhalten wir - 0,0991 + (- 0,10 · G2) + (– 1,09 · G1) = 0
Also die Zinsauszahlung aus dem dreijährigen Kredit plus der Zinsaus- oder –einzahlung aus dem zweijährigen Finanzgeschäft plus der Zinsaus- oder –einzahlung aus dem einjährigen Finanzgeschäft ergibt einen Zahlungssaldo in t = 1 von 0 €.
Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem von
(I) 0,9009 + G1 + G2 = 0
(II) – 0,0991 - (1,09 · G1) - (0,10 · G2) = 0
welches es zu lösen gilt.
Berechnung mit dem Einsetzungsverfahren
Löse (I) nach G1 auf:
$\begin{align} \text{(I)} \;\;\; 0 & = \;\;\: 0,9009+ G_1 + G_2
\\ \Leftrightarrow G_1 & = - 0,9009 - G_2 \end{align} $
Setze (G1) in (II) ein:
$\begin{align} 0 & = (–0,0991) - (1,09 \cdot G_1) - (0,10 \cdot G2)
\\ 0 & = (–0,0991) - [1,09 \cdot (- 0,9009 - G_2)] - (0,10 \cdot G_2)
\\ 0,0991 & = - [1,09 \cdot (- 0,9009 - G_2)] - (0,10 \cdot G_2)
\\ 0,0991 & = - (- 1,09 \cdot G_2 - 0,981981) - 0,10 \cdot G_2
\\ 0,0991 & = 1,09 \cdot G_2 + 0,981981 - 0,10 \cdot G_2
\\ 0,0991 & = 0,99 \cdot G_2 + 0,981981
\\ - 0,882881 & = 0,99 \cdot G_2
\\ G_2 & = - 0,8917899 \end{align} $
Setze (G2) in (I) ein:
$\begin{align} G_1 & = - 0,9009 - G_2
\\ G_1 & = - 0,9009 - (-0,8917899)
\\ G_1 & = - 0,0091101
\end{align} $
Also:
$\ G_1 = -0,0091€ $ (eine Geldanlage in t = 0)
$\ G_2 = -0,8918€ $ (eine Geldanlage in t = 0)
Man erhält damit folgende Zahlen: $\\$
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
| dreijähriger Kredit, der in t = 3 mit 1 € abbezahlt wird | 0,9009 | - 0,0991 | - 0,0991 | - 1 |
| zweijähriges Finanzgeschäft in Höhe G2= -0,8918€ in t = 0 Zins von 0,10 · -0,8918€ in t = 1 und Tilgung von 1,1 · -0,8918€ in t = 2 | - 0,8918 | 0,0892 | 0,9810 | |
| einjähriges Finanzgeschäft in Höhe G1= -0,0091 in t = 0 und Abbezahlung in t = 1 mit 1,09 · (-0,0091) | - 0,0091 | 0,0099 | ||
| Saldo | 0 | 0 | 0,8819 | - 1 |
Tab. 54: Unterschiedliche Finanzgeschäfte zur Konstruktion Forward Rate $\\$
Schließlich erhält man in t = 2 einen Zahlungssaldo von 0,8819€, die mit der Forward Rate FR2,3 auf den gewünschten 1€ in t = 3 aufgezinst werden:
$\ FR_{3,4} =( {1 \over 0,8819}-1) \cdot 100= 13,39\%\ $.
Viel schneller – und leichter – erhält man die Forward Rate $\ FR_{2,3} $ allerdings mit Hilfe der beiden Formeln:
$FR_{2,3} = ({ZBAF_2 \over ZBAF_3}-1) \cdot 100 = ({ 0,8257 \over 0,7282}-1) \cdot 100 = 13,39\%\ $
oder
$ \begin{align} FR_{2,3} &= ({1+i_{03} \over (1+i_{01}-i_{03}) \cdot (1+FR_{1,2})-i_{03}}-1) \cdot 100
\\&=({1+0,11 \over (1+0,09-0,11) \cdot (1+0,1111)-0,11}-1) \cdot 100 = 13,39\%\ \end{align} $.
Die Forward Rate von $t = 3$ nach $t = 4$ rechnet man unter Zuhilfenahme der Zerobondabzinsfaktoren oder mit der Rekursionsformel aus. Man erhält:
$ FR_{3,4} = ({0,7282 \over 0,6281}-1) \cdot 100 = 15,93\%\ $
oder rekursiv:
$ \begin{align} FR_{3,4} &= ( {1+i_{04} \over [(1+i_{01}-i_{04}) \cdot(1+i_{1,2})-i_{04}] \cdot (1 +i_{2,3})-i_{04}}) \cdot 100
\\ FR_{3,4} &= ({1,12\over [0,97 \cdot 1,1111 - 0,12] \cdot 1,1339 - 0,12} - 1) \cdot 100 = 15,93\%\ \end{align}$.
