Kursangebot | Investitionsrechnung | Forward Rates nach der Marktzinsmethode

Investitionsrechnung

Forward Rates nach der Marktzinsmethode

Eine Forward Rate (auch Terminzins genannt) gibt die Verzinsung von der Zukunft (genauer: Periode t) in die noch weiter liegende Zukunft (genauer: Periode $t + 1$) an.

Sie ist also immer eine einperiodische Verzinsung.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 41:

Die Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur sei gegeben durch:
Jahr Geld- und Kapitalmarktzins
10,05
20,06
30,07
40,08
Berechne die Forward Rate von der Periode 1 zur Periode 2.

Retrograde Berechnung der Forward Rate

In der folgenden Tabelle geht es also um die retrograde Berechnung einer Forward Rate $\ FR_{1,2} $ über zwei Finanzgeschäfte mit ein- und zweijähriger Laufzeit

Jahr 0 1 2
Kredit, mit dem am Ende 1 € abbezahlt wird0,94339-0,0566-1
Geldanlage und ihre Rückführung-0,943390,99057 
Positiver Saldo in t = 100,933966 

Tab. 52: Retrograde Berechnung Forward Rate

So ist z.B. $1 $€ in der Periode $t = 2$ bei der heute gültigen Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur genau $\ {1 \over 1,06} = 0,943396\ € $ in der nullten Periode wert. Man nimmt also dieses Geld heute – d.h. in $t = 0$ – als zweijährigen Kredit auf.

Der Zinsaufwand (also Eintrag mit „minus“) im 1. Jahr ist damit $$\ 0,943396 \cdot 0,06 = 0,0556 $$ Um in der 0. Periode auf 0 € als Zahlungssaldo zu kommen, legt man die 0,943396 € direkt wieder an (Eintrag mit „minus“), und zwar ein Jahr lang. Man erhält deswegen ein Jahr später den Betrag zzgl. Habenzinsen: $\ 0,943396 \cdot 1,05 = 0,99057\ € $ (Eintrag mit „plus“).

In Periode 1 erhält man also Geld aus der einjährigen Geldanlage (0,99057 €) und zahlt Zinsen für die zweijährige Kreditaufnahme (-0,9566 €).

Es bleibt Geld übrig in Höhe von $+0,99057 – 0,0566 = 0,933966$ €.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Frage:Wie verzinst sich dieses Geld, um ein Jahr später (d.h. in $t = 2$) auf $1 €$ anzuwachsen?

Antwort: Mit der Forward Rate $\ FR_{1,2} $ von $t = 1$ nach $t = 2$, also mit $\ FR_{1,2} ={ i \over 0,933968}-1) \cdot 100 $.

Man sieht hier nochmals, dass die Forward Rate eine Verzinsung von der Zukunft ($t = 1$) in die nach weiter weg liegende Zukunft ($\ t^o = 2 $) ist.

Schema zur Berechnung der Forward Rates

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Forward Rates:

Es gibt insgesamt drei Möglichkeiten, um eine Forward Rate auszurechnen.

  1. retrograd in Zahlungsplänen, die explizit die notwendigen Geldanlagen, Zinszahlungen und Zinserträge modellieren.
    Ab $\ FR_{2,3} $ ist hierzu allerdings ein Gleichungssystem notwendig oder
  2. über die zugehörigen Zerobonabzinsfaktoren:
    $\ FR_{t,t+1} =({ZBAF_{0,t} \over ZBAF_{0,t+1}} -1) $ oder
  3. rekursiv über die Formeln
    $\ FR_{1,2} =( {1+i_{02} \over 1+i_{01}-i_{02}}-1) \cdot 100 $,
    $\ FR_{2,3} =( {1+i_{03} \over (1+i_{01}-i_{03}) \cdot(1+i_{12})-i_{03}} -1) \cdot 100 $,
    $\ FR_{3,4} =( {1+i_{04} \over [(1+i_{01}-i_{04}) \cdot(1+i_{12})-i_{04}] \cdot (1 +i_{23})-i_{04}}) \cdot 100 $.

Wir rechnen nach. Die Zerobonabzinsfaktoren sind

$\ ZBAF_{0,1} = {1 \over 1+i_01} = {1 \over 1,05} = 0,95238 $ sowie
$\ ZBAF_{0,2} = {1-i_{02} \cdot ZBAF_{01} \over 1+i_{02}}= {1-0,06 \cdot 0,95238 \over 1 +0,06} = 0,889488 $.

Die Forward-Rate vom Zeitpunkt 1 zum Zeitpunkt 2 berechnet sich dann mit Hilfe dieser Zero-Bond Abzinsfaktoren als

$\ FR_{1,2} =({ZBAF_{0,1} \over ZBAF_{0,2}}-1) \cdot 100 ={0,95238 \over 0,889488}- 1 \cdot 100 = 7,07\ \% $

sowie mit der rekursiven Formel sehr viel schneller als

$\ FR_{1,2} = {1+i_{02} \over 1+i_{01}-i_{02}} - 1 = {1+0,06 \over 1+0,05-0,06} - 1= 0,0707 = 7,07\ \% $.

Die Berechnung der Forward Rate von 2 nach 3 ist sehr viel aufwändiger, da ein lineares Gleichungssystem erforderlich ist.

Jahr 0 1 2 3
dreijähriger Kredit, der in t = 3    
mit 1 € abbezahlt wird0,934580,06542-0,06542-1
zweijähriges Finanzgeschäft in Höhe G 2 in t = 0    
Zins von 0,06 · G2 in t = 1    
und Tilgung von 1,06 · G2 in t = 2G 20,06 · G2-1,06 · G2 
einjähriges Finanzgeschäft in Höhe G1 in t = 0    
und Abbezahlung in t = 1 mit 1,05 · G1G11,05 · G1  
Salden00  

Tab. 53: Herleitung der Forward Rate von 2 nach 3 über Gleichungssystem

$1 €$ in $t = 3$ ist heute (genauer: in $t = 0$) genau $ \frac{1}{1,07} = 0,934579 €$ wert (genauer: Es muss ein Kredit in dieser Höhe aufgenommen werden). Die Zinsaufwendungen sind folglich $\ 0,934579 \cdot 0,07 = 0,06542 $ in den Perioden $t = 2$ und $t = 3$.

Der Zahlungssaldo in $t = 0$, der $0 €$ sein soll, muss sich nun als Summe aus diesem dreijährigen sowie einem zweijährigen Geschäft $\ G_2 $ und einem einjährigen Geschäft $\ G_1 $ ergeben $\ 0,934579 + G_2 + G_1 = 0 $ ist damit die erste Gleichung.

Wenn $\ G_1 $ positiv (negativ) ist, handelt es sich um eine Geldaufnahme (Geldanlage). Dasselbe gilt für $\ G_2 $.

Das zweijährige Geschäft $\ G_2 $ führt zu einer Zinszahlung (bzw. zu einem Zinsertrag) von $\ –0,06 \cdot G_2 $ in t = 1 und zu einer Rückführung in Höhe von $\ –1,06 \cdot G_2 $ in t = 2

Dadurch, dass der Vorfaktor 0,06 bzw. 1,06 negativ ist, stellen wir sicher, dass

  • im Falle von $\ G_2 > 0 $ (Geldaufnahme) es zu Zinsauszahlung kommt $\ –0,06 \cdot G_2 im Falle von $\ G_2 0 \text{ und}\ 1,06 \cdot G_2 > 0 $ in t = 1 und t = 2.

Dieselbe Überlegung gilt für $\ G_2 $ und $\ –1,05 \cdot G_1 $.

In Periode 1 schließlich erhalten wir $\ –0,06542 – 0,06 \cdot G_2 – 1,05 \cdot G_1 = 0 $

  • d.h. die Zinsauszahlung aus dem dreijährigen Kredit
  • zusammen mit der Zinsaus- oder –einzahlung aus dem zweijährigen Finanzgeschäft,
  • zusammen mit der Zinsaus- oder –einzahlung aus dem einjährigen Finanzgeschäft ergibt einen Zahlungssaldo in t = 1 von 0 €.

Insgesamt ist also das lineare Gleichungssystem

(I) $\ 0,934579 + G_1 + G_2 = 0 $ und

(II) $\ –0,06542 – 1,05 \cdot G_1 – 0,06 \cdot G_2 = 0 $

zu lösen.

Berechnung nach dem Gaußschen Eliminitationsverfahren

Wir wenden hierfür das Gaußsche Eliminationsverfahren an:

Zeilen G 1 G 2 rechte Seite
I11-0,934579
II-1,05-0,060,06542
Zeilenumformungen G 1 G 2 rechte Seite
 11-0,934579
1,05 · I + II = II neu-1,05-0,060,06542
Zeilenumformungen G 1 G 2 rechte Seite
11-0,934579
II / 0,99 = II neu00,99-0,915888
Zeilenumformungen G 1 G 2 rechte Seite
I – II = I neu11-0,934579
 01-0,9251394
Zeilenumformungen G 1 G 2 rechte Seite
 100,0094396
 01-0,9251394


Also:

$\ G_1 = + 0,0094396 $ (also ein Kredit in der nullten Periode) und
$\ G_2 = -0,9251394\ € $ (also eine Geldanlage in t = 0).

Man erhält damit folgende Zahlen:

Jahr 0 1 2 3
dreijähriger Kredit, der in t = 3    
mit 1 € abbezahlt wird0,93458-0,06542-0,06542-1
zweijährige Geldanlage in Höhe G 2 = 0,9251    
Zins von 0,06 · 0,92514 in t = 1    
und Tilgung von 1,06 · 0,92514 in t = 2-0,925140,55510,98065 
einjähriger Kredit in Höhe G 1 = 0,0094396    
und Abbezahlung in t = 1 mit 1,05 · 0,0094390,00943960,00991  
Salden000,91523-1


Tab. 54: Unterschiedliche Finanzgeschäfte zur Konstruktion Forward Rate

Schließlich erhält man also in $t = 2$ einen Zahlungssaldo von $0,91523 €$, die mit der Forward Rate $\ FR_{2,3} $ auf den gewünschten $1 €$ in $t = 3$ aufgezinst werden: 

$\ FR_{3,4} =( {1 \over 0,91523}-1) \cdot 100= 9,26\ \% $.

Viel schneller – und leichter – erhält man die Forward Rate $\ FR_{2,3} $ allerdings mit Hilfe der beiden Formeln:

$\ FR_{2,3} =\left ( {ZBAF_2 \over ZBAF_3}-1 \right ) ? 100 =\left ( {0,889488 \over 0,81483}-1 \right) \cdot 100 = 9,26\ \% $ oder
$\ FR_{2,3} =\left ( {1+`i_{03} \over (1+i_{01}-i_{03}) \cdot (1+FR_{12})-i_{03}}-1\right) \cdot 100 $
$\ =\left ({1+0,07 \over (1+0,05-0,07) \cdot (1+0,0707)-0,07}-1 \right) \cdot 100 = 9,263\ \% $.

Die Forward Rate von $t = 3$ nach $t = 4$ rechnet man unter Zuhilfenahme der Zerobondabzinsfaktoren oder mit der Rekursionsformel aus. Man erhält

$\ FR_{3,4} = FR_{3,4} \cdot 100 =\left ({0,814083 \over 0,729189}-1 \right) \cdot 100 = 11,64\ \% $ bzw.,
wenn man rekursiv rechnet
$$\ \left( {0,814083 \over 0,729189}-1 \right) \cdot 100 =\left({1,08 \over [0,97 \cdot 1,0707-0,08] \cdot 1,09263-0,08}-1 \right) \cdot 100 = 11,64\ \% $$