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Investitionsrechnung

Berechnung des Kapitalwerts mit Zerobondabzinsfaktoren

Wir stellen uns nun folgende Frage:
Wie viel ist 1 € der Periode t = n heute, also in t = 0, wert, wenn man die Zinsstruktur von heute zu Grunde legt?

Die Antwort führt auf den Begriff der Zerobondabzinsfaktoren. Es gibt zwei unterschiedliche Methoden, diese auszurechnen:

  • über die retrograde Methode,
  • direkt über formelmäßige Berechnung.

Beispiel zur Berechnung der Zerobondabzinsfaktoren

Wenden wir uns zunächst der retrograden Methode zu, wir berechnen z.B. den dreijährigen Zerobondabzinsfaktor $\ ZBAF_{0,3} $ .

Jahr 0 1 2 3
dreijähriger Kredit 0,9346 -0,0654 -0,0654 -1
zweijährige Geldanlage -0,06172 0,0037 0,0654  
einjährige Geldanlage -0,0585 0,0617 0  
Zerobondabzinsfaktor 0,814121 0    


Tab. 40: Retrograde Berechnung des dreijährigen Zerobondabzinsfaktors 

Wie hoch ist der Kredit, den man in $t = 0$ aufnehmen muss, um diesen, mit Zins und Tilgung, in $t = 3$ in Höhe von genau $1 €$ abzubezahlen? Die Antwort ist bei der vorliegenden Zinsstruktur $\ {1 \over 1,07} = 0,9346 $ €. Dieser Kredit führt zu Zinszahlungen in $t = 1$ und $t = 2$ von $0,07 · 0,9346 = 0,0654$.

Nun soll ein Zahlungssaldo von 0 in $t = 2$ hergestellt werden. Hierfür muss der Betrag von $0,0654 €$, den wir in $t = 2$ benötigen, durch eine zweijährige Geldanlage in $t = 0$ finanziert werden. Diese muss die Höhe $\ { 0,0654 \over 1,06 } = 0,0617 $ haben, was wiederum in $t = 1$ Zinserträge von $0,06 · 0,0617 = 0,0037$ erbringt. Es verbleibt ein Restbetrag in $t = 1$ von $0,0617 €$, der aufgebracht werden muss durch eine Geldanlage in $t = 0$ von $\ {0,0617 \over 1,05} = 0,0588  €$.

Insgesamt gilt:

Geschieht die Geldaufnahme von $0,9346 € $abzüglich der Geldanlagen von $0,06172 €$ und $0,0588 €$ so führt dies zu einem Zahlungssaldo in $t = 0$ von $+0,814121 €$.

Die Zinszahlungen des Kredits werden komplett durch Zinserträge und Tilgungszahlungen der beiden Geldanlagen finanziert, so dass in $t = 1$ und $t = 2$ kein zusätzliches Geld benötigt wird. Der Zahlungssaldo ist also jeweils Null. Damit ist $1 €$ umgerechnet auf $t = 3 $heute, also in $t = 0$, genau $0,814121 €$ wert, wenn man die Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur in $t = 0$ zugrunde legt.

Die Pläne für den zweijährigen und den vierjährigen Zerobondabzinsfaktor sehen wie folgt aus:

Jahr 0 1 2
zweijähriger Kredit 0,9434 -0,0566 -1
einjährige Geldanlage -0,0539 0,0566  
Zerobondabzinsfaktor 0,8895 0  


Tab. 41: Retrograde Berechnung des einjährigen Zerobondabzinsfaktors

Jahr 0 1 2 3 4
vierjähriger Kredit 0,9259 -0,074 -0,074 -0,074 -1
dreijährige Geldanlage -0,0692 0,0048 0,0048 0,074  
zweijährige Geldanlage -0,0653 0,0039 0,0692 0  
einjährige Geldanlage -0,0622 0,0563 0    
Zerobondabzinsfaktor 0,7292 0      


Tab. 42: Retrograde Berechnung des vierjährigen Zerobondabzinsfaktors

Formel zur Berechnung der Zerobondabzinsfaktoren 

Die Zerobondabzinsfaktoren (ZBAF) jeweils retrograd auszurechnen, ist offensichtlich sehr mühsam. Deshalb geben wir eine Formel an, mit der man schneller zur Lösung kommt.

$\ ZBAF_{0,1} $ = und $\ ZBAF_{0,t} = {1-{i_{01} \cdot \sum_{j=1}^{t-1}ZBAF_{0,j}} \over 1+i_{01}} $

Damit kommt man schneller zum Ziel:

$\ ZBAF_{0,1} = {1 \over {1+0,05}} = 0,9524 $
$\ ZBAF_{0,2} = {1-{0,06 \cdot 0,9524} \over {1,06}} = 0,8895 $
$\ ZBAF_{0,3} = {1-{0,07 \cdot (0,9524+0,8895)} \over {1,07}} = 0,8141 $ und
$\ ZBAF_{0,4} = {1-{0,08 \cdot (0,9524+0,8895+0,8141)} \over {1,08}} = 0,7292 $.

Die Formel ist also eine willkommene Kontrollmöglichkeit, um die Ergebnisse der retrograden Methode zu überprüfen.

FRAGE: Wozu dienen nun die Zerobondabzinsfaktoren?
ANTWORT: Der Kapitalwert einer Investition lässt sich leichter und schneller mit ihrer Hilfe ausrechnen.

Dies zeigt die folgende Tabelle:

Berechnung des Barwerts mittels Zerobondfaktoren

Jahr Zerobondabzinsfaktoren Zahlungen aus der Investition Barwerte dieser Zahlungen
0 1 -1000 -1000
1 0,9524 800 761,92
2 0,8895 200 177,9
3 0,8141 -300 -244,23
4 0,7292 2000 1458,4
  Barwert der Investition   1153,99


Tab. 43: Barwert mit Hilfe von Zerobondabzinsfaktoren ermittelt

Wenn z.B. 1 € in $t = 2$ heute $0,8895 €$ wert sind, dann sind $200 €$ in $t = 2$ heute entsprechend $177,9 €$ wert.

Man erhält also dasselbe Ergebnis wie bei der retrograden Methode – die $0,03 €$. Unterschied sind auf Rundungsungenauigkeiten zurück zu führen.