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Wir stellen uns nun folgende Frage:
Wie viel ist 1 € der Periode t = n heute, also in t = 0, wert, wenn man die Zinsstruktur von heute zu Grunde legt?
Die Antwort führt auf den Begriff der Zerobondabzinsfaktoren. Es gibt zwei unterschiedliche Methoden, diese auszurechnen:
- über die retrograde Methode,
- direkt über formelmäßige Berechnung.
Berechnung der Zerobondabzinsfaktoren
Beispiel
Wenden wir uns zunächst der retrograden Methode zu, wir berechnen z.B. den dreijährigen Zerobondabzinsfaktor ZBAF0,3.
$\\$
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
| dreijähriger Kredit | 0,9009 | - 0,0991 | - 0,0991 | - 1 |
| zweijährige Geldanlage | - 0,0901 | 0,0090 | 0,0991 | |
| einjährige Geldanlage | - 0,0827 | 0,0901 | 0 | |
| ZBAF | 0,7282 | 0 |
Tab. 40: Retrograde Berechnung des dreijährigen ZBAFs
Hier stelt sich nun die Frage, wie hoch der Kredit in t=0 sein muss, damit man diesen mit Zins und Tilgung in t=3 in Höhe von 1€ abbezahlen kann. Bei unserer gegebenen Zinsstruktur rechnet man also:
$\ {1 \over 1,11} = 0,9009 €$
Der Kredit hat somit Zinszahlungen in t=1 und t=2 in Höhe von 0,11 · 0,9009 = 0,0991€ zur Folge.
Jetzt muss dafür gesorgt werden, dass in der Zeit t=2 das Zahlungssaldo gleich 0 ist. Also brauchen wir in t=2 einen Betrag von 0,0991€, der durch eine zweijährige Geldanlage in t=0 finanziert werden soll. Diese muss also eine Höhe von $\ { 0,0991 \over 1,1 } = 0,0901 € $ haben und führt in t=1 zu Zinsertragen von 0,0901 · 0,1 = 0,0090€. Somit bleibt in t=1 ein Restbetrag von 0,0901€, welcher erbracht werden muss und durch eine Geldanlage in t=0 in Höhe von $\ {0,0901 \over 1,09} = 0,0827 €$.
Wird in t=0 ein Geldbetrag in Höhe von 0,9009€ aufgenommen, minus der Geldanlagen von 0,0901€ und 0,0827€ bleibt am Ende ein Zahlungssaldo von +0,7282€ über.
Die Zinszahlungen des Kredits werden komplett durch Zinserträge und Tilgungszahlungen der beiden Geldanlagen finanziert, so dass in t = 1 und t = 2 kein zusätzliches Geld benötigt wird. Die Zahlungssalden sind demnach jeweils 0. Legt man die Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur in t = 0 zugrunde, so ist umgerechnet der 1€ in t=3 heute 0,7282€ wert.
Die Pläne der weiteren Zerobondabzinsfaktoren sehen wie folgt aus:
$\\$
| Jahr | 0 | 1 | 2 |
| zweijähriger Kredit | 0,9091 | - 0,0909 | - 1 |
| einjährige Geldanlage | - 0,0834 | 0,0909 | |
| ZBAF | 0,7282 | 0 |
Tab. 41: Retrograde Berechnung des zweijährigen ZBAFs
$\\$
$\\$
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| vierjähriger Kredit | 0,8929 | - 0,1071 | - 0,1071 | - 0,1071 | - 1 |
| dreijährige Geldanlage | - 0,0965 | 0,0106 | 0,0106 | 0,1071 | |
| zweijährige Geldanlage | - 0,0878 | 0,0088 | 0,0965 | 0 | |
| einjährige Geldanlage | - 0,0805 | 0,0878 | 0 | ||
| ZBAF | 0,6281 | 0 |
Tab. 42: Retrograde Berechnung des vierjährigen ZBAFs
Formel zur Berechnung der Zerobondabzinsfaktoren
Da das Berechnen der retrograden Zerobondabzinsfaktoren (ZBAF) augenscheinlich sehr aufwendig ist, gibt es eine Formel, welche deutlich schneller zu einer Lösung führt.
Merke
$ ZBAF_{0,t} = {1-{i_{01} \cdot \sum_{j=1}^{t-1}ZBAF_{0,j}} \over 1+i_{01}} $
So erhält man schneller seine Ergebnisse:
$\begin{align} ZBAF_{0,1} & = {1 \over {1+0,09}} = 0,9174
\\ ZBAF_{0,2} & = {1 - {0,10 \cdot 0,9174} \over {1,10}} = 0,8257
\\ ZBAF_{0,3} & = {1 - {0,11 \cdot (0,9174 + 0,8257)} \over {1,11}} = 0,7282
\\ ZBAF_{0,4} & = {1 - {0,12 \cdot (0,9174 + 0,8257 + 0,7282)} \over {1,12}} = 0,6281\end{align}$
Die Formel bietet also eine schöne Kontrollmöglichkeit, seine Ergebnisse der retrograden Methode zu kontrollieren.
Stellt sich die Frage, wozu nun die Zerobondabzinsfaktoren dienen? Die Antwort darauf scheint auch relative offensichtlich, denn der Kapitalwert einer Investition lässt sich so viel leichter und schneller mit deren Hilfe bestimmen.
Dies zeigt die folgende Tabelle:
Berechnung des Barwerts mittels Zerobondfaktoren
| Jahr | ZBAF | Zahlungen aus Investition | Barwert der Zahlungen |
| 0 | 1 | - 1.750€ | - 1.750€ |
| 1 | 0,9174 | 1.150€ | 1.055,05€ |
| 2 | 0,8257 | 350€ | 288,99€ |
| 3 | 0,7282 | - 450€ | - 327,67€ |
| 4 | 0,6281 | 3.000€ | 1.884,23€ |
| Barwert der Investition | 1.150,60€ |
Tab. 43: Barwert mit Hilfe von Zerobondabzinsfaktoren ermittelt
Wenn bspw. 1€ in t=2 heute 0,8257€ wert sind, dann haben 350 € in t = 2 heute einen Wert von 288,99€.
Wie man sieht, ist das Ergebnis das gleiche, wie zuvor bei der retrograden Methode. Es können auch minimale Unterschiede im Bereich von Cent auftreten, welche dann auf Rundungsfehler zurückzuführen sind.
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