Risikotransformation durch Portefeuillebildung

Ein bemerkenswerter und wichtiger Aspekt ist hierbei, dass diese Regel nicht für die Streuung des Portefeuilles gilt. Die Gesamtstreuung kann sich sogar unter gewissen Umständen unter die niedrigste Streuung eines einzelnen Wertpapiers fallen. In unserem Fall also unter 3,4059%.

Portefeuillevarianz:

$\sigma^2_{PF}=x^2_A \sigma^2_A + x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B r_{A,B} $

Portefeuillevarianz:

$\sigma^2_{PF}= \sum_{i = 1}^m x^2_i \sigma^2_i + 2 \sum_{i \neq j} x_i x_j Cov(i, j) $

Man kann erkennen, dass sich einzig und allein durch die Kombination zweier Aktien A und B das Risiko insgesamt unzer das Risiko einer einzelnen Aktie drücken lässt. Dieser Effekt wird Diversifikationseffekt genannt.

Wie stark der Linie des möglichen Portefeuilles gekrümmt ist, ist abhängig vom Korrelationskoeffizienten r.

• Für r = 1 ist sie eine Verbindungsgerade zwischen den Punkten A und B. Es ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen. Das minimale Portefeuillerisiko erzielt man, indem man nur ein Wertpapier reinnimmt, nämlich jenes mit der geringeren Streuung.
  
  
• Für r = -1 ist die Linie der möglichen Portefeuilles ebenfalls keine Kurve, sondern die Verbindung zweier Geradenstücke. Es ist eine vollständige Diversifikation möglich. Das Portefeuillerisiko lässt sich vollkommen weg diversifizieren. Das heißt, es existiert eine Kombination $x_A $ und $x_B $, die zu $\sigma_{PF} = 0 $ führt. Es ist damit ein sicherer Ertrag ohne jedes Risiko möglich.

• Für -1 < r < + 1  ist die Linie der möglichen Portefeuilles eine geschwungene Kurve zwischen den beiden Extremwerten.

Auffinden des risikominimalen Portefeuilles

Fall a)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient echt zwischen -1 und +1 liegt, interessiert man sich für die Kombination aus Wertpapieren A und B, die das minimale Portefeuillerisiko bilden. Hierbei nutzt man aus, dass $\ x_A $ und $\ x_B $ sich zu 1 aufaddieren, d.h. $\ x_A + x_B = 1 $ bzw. $\ x_B - 1 = x_A $.

Man rechnet:
$\ \begin {align} \sigma^2_{PF} & = x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 x_A \cdot xB \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - xA) \cdot \sigma^2_B +2 x_A (1 - x_A) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \end {align}$

Die Ableitung nach dem Anteil des Wertpapiers A wird ausgerechnet:
$$\ \begin {align} & = 2 x_A \cdot \sigma^2_A - \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r - 4 x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \end {align}$$

Wenn man dies gleich null setzt und nach $\ x_A $ auflöst, so erhält man

$\ \begin {align} \ { \sigma^2_{PF} \over dx_a} = 0
& \Leftrightarrow \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r = 2 x_A \cdot \sigma^2_A - 4 x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\& \Leftrightarrow 2x_A = {\sigma^2_B-2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \over \sigma^2_A -2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r}
\\& \Leftrightarrow x_A = {\sigma_B \cdot (\sigma_B-2 \cdot \sigma_A \cdot r) \over 2 \cdot \sigma_A (\sigma_A - 2 \cdot \sigma_B \cdot r)} \end {align}$

Fall b)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient sogar -1 ist, muss man ein anderes Verfahren wählen, da die Funktion $\ \sigma^2_{PF}\ (x_A) $ nicht mehr differenzierbar ist an der Stelle des Minus.

Man geht daher so vor, dass man gleich Null setzt und nach $\ x_A $ auflöst:

$$\ \begin {align} \sigma^2_{PF} &= x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - x_A)^2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot (1 - x_A) \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot (-1)
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 – 2 \cdot x_A + x_A^2) \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A \cdot (1 - x_A)
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + \sigma^2_A - 2 \cdot \sigma^2_B \cdot x_A + x^2_A \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x^2_A
\\ & = x^2_A \cdot ( \sigma^2_A+ \sigma^2_B+2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B)- x_A \cdot (2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B) + \sigma^2_B
\\ & = x^2_A \cdot (\sigma_A + \sigma_B)^2 - x_A \cdot 2 \cdot \sigma_B \cdot (\sigma_B + \sigma_A) + \sigma^2_B = 0 \end {align}$$

Portfeuilleanteile: $\ x_A = {\sigma_B \over \sigma_A+ \sigma_B} $, $\ x_B = { \sigma_A \over \sigma_A+ \sigma_B} $

Ein Portefeuille A mit $( \mu_A, \sigma_A) $ dominiert ein anderes Portefeuille B mit $ ( \mu_B, \sigma_B) $,
wenn bei gleichem Risiko der erwartete Wert höher ist, das heißt $\sigma_A = \sigma_B $ und $\ \mu_A > \mu_B $ (Fall 1) oder,
wenn bei gleichem Erwartungswert das Risiko geringer ist, das heißt $ \mu_A = \mu_B $ und $\sigma_A > \sigma_B$ (Fall 2).

Wenn ein Portefeuille A nicht von einem anderen Portefeuille B dominiert wird, dann nennt man A effizient.