Kursangebot | Investitionsrechnung | Risikotransformation durch Portefeuillebildung

Investitionsrechnung

Risikotransformation durch Portefeuillebildung

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Der Kerngedanke der Risikotransformation durch Portefeuillebildung ist, die zwei zuvor genannten Wertpapiere A und B zu mischen, d.h. ein so genanntes Portefeuille (= Portfolio) zu bilden. Es bezeichnet hierbei $\ x_A $ den Anteil der Aktie A, entsprechend $\ x_B $ den Anteil der Aktie B.

Erwartete Rendite der Wertpapiere

Die erwartete Rendite von Wertpapier A liegt bei 7 %, jene von Wertpapier B bei 5 %. Durch die Portefeuillebildung wird der Gesamterwartungswert des Portefeuilles $\ \mu_{PF} $ zwischen diesen beiden Werten liegen. Je höher $\ x_A $ ist, umso eher wird der Gesamterwartungswert $\ \mu_{PF} $ bei 7 % liegen, je höher $\ x_B $ ist umso eher wird der Gesamterwartungswert bei 5 % sein.

Merke

Der interessante und entscheidende Punkt ist, dass diese Gesetzmäßigkeit für die Streuung des Gesamtportefeuilles nicht gilt. Vielmehr lässt sich die Gesamtstreuung unter bestimmten Voraussetzungen unter die kleinste Streuung der einzelnen Wertpapiere, hier also unter 3,6742 %, drücken.

Portefeuille und Erwartungswert

Ein Portefeuille aus m Wertpapieren mit den Erwartungswerten $\ \mu_1,\ \mu_2,\ \ldots $ und den Anteilen $\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots x_m $ hat den Erwartungswert $$\ \mu_{PF} = \sum^m_{j=1} x_{j \mu}$$ Den Gesamterwartungswert $\ \mu_{PF} $ des Portefeuilles aus lediglich zwei Wertpapieren A und B schreiben wir nochmals explizit auf: $$\ \mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + x_B \cdot \mu_B $$ für den Fall, dass zwei Wertpapiere A und B mit den Anteilen $\ x_A,\ x_B $ beteiligt sind, die die Erwartungswerte $\ \mu_A $ und $\ \mu_B $ haben.

Merke

Der Grund, warum wir nicht von n Wertpapieren sprechen, sondern von m liegt einzig und allein darin begründet, dass der Buchstabe n für die Anzahl der Umweltzustände weiter vorn im Kapitel schon vergeben wurde. Es ist daher allein ein technischer Grund, kein inhaltlicher.

Varianz des Gesamtportefeuilles

Die Varianz des Gesamtportefeuilles ist abhängig von den einzelnen Anteilen $\ x_i $, von der Einzelstreuung $\ \sigma^2_1 $ und vom Korrelationskoeffizienten $\ r_{A,B} $:

Man kann dies allerdings auch schreiben als

Merke

Portefeuillevarianz: $\ \sigma^2_{PF}=x^2_A \sigma^2_A + x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B r_{A,B} $

wobei Cov (A,B) die Kovarianz der Renditeentwicklung der beiden Wertpapiere A und B angibt.

Für den Fall, dass wiederum m Wertpapiere gegeben sind, liest man diese Formel als

Merke

Portefeuillevarianz: $$\ \sigma^2_{PF}= \sum_{i = 1}^m x^2_i \sigma^2_i + 2 \sum_{i \neq j} x_i x_j Cov(i, j) $$

Streuung des Gesamtportefeuilles

Die Streuung des Gesamtportefeuilles erhält man schließlich wieder als $\ \sigma_{PF}= \sqrt{ \sigma^2_{PF}} $. So bedeutet z.B. eine Verteilung auf die beiden Wertpapiere im Umfang 70:30, d.h. $\ x_A = 70\ \%,\ x_B = 30\ \% $, dass der Gesamterwartungswert bei $\ \mu_{PF}= 0,7 \cdot 10 + 0,3 \cdot 6 = 8,8\ \% $ liegt. Die Gesamtvarianz ist $\ \sigma_{PF}^2 = 0,7^2 \cdot 13,5 + 0,3^2 \cdot 59,5 + 2 \cdot 0,7 \cdot 0,3 \cdot 3,6742 \cdot 7,7136 \cdot (-0,7851) = 2,62468 $,
das Gesamtrisiko liegt folglich bei 1,6201 %.

Die Frage ist nun, ob man durch andere, d.h. „bessere“ Verteilungen auf die beiden Wertpapiere A und B die Gesamtstreuung noch weiter senken kann und welche Folgen dies auf den Gesamterwartungswert $\ \mu_{PF} $ hat.

Man rechnet daher zunächst für andere Verteilungen den Erwartungswert und die Streuung aus. Hier die Ergebnisse:

Anteil des Wertpapiers A Anteil des Wertpapiers B Erwartungswert des Portefeuilles Risiko des Portefeuilles
1 0 10 3,6742
0,9 0,1 9,6 2,7431
0,8 0,2 9,2 1,9748
0,7 0,3 8,8 1,6201
0,6 0,4 8,4 1,9234
0,5 0,5 8 2,6692
0,4 0,6 7,6 3,5916
0,3 0,7 7,2 4,5853
0,2 0,8 6,8 5,6125
0,1 0,9 6,4 6,6577
0 1 6 7,7136


Tab. 35: Erwartungswert und Streuung für div. Portefeuille-Mischungen

Merke

Es fällt sofort ins Auge, dass sich alleine durch unterschiedliche Zusammensetzungen der beiden Wertpapiere A und B das Risiko insgesamt unter das geringste Risiko der einzelnen Papiere senken lässt. Diesen Effekt nennt man Diversifikationseffekt.

Linie der möglichen Portefeuilles

Die Kurve, die für alle Zusammensetzungen des Portefeuilles die erwartete Gesamtrendite und das Gesamtrisiko angibt, heißt Linie der möglichen Portefeuilles.

Sie ist – im Falle von zwei Wertpapieren - geschwungen zwischen den beiden Wertpapieren A und B und mehr oder weniger krumm.

Merke

Die Stärke der Krümmung dieser Linie der möglichen Portefeuilles ist abhängig vom Korrelationskoeffizienten r.
Für $r = 1$ ist sie die Verbindungsgerade zwischen den Punkten A und B. Es ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen. Das minimale Portefeuillerisiko erzielt man, indem man nur ein Wertpapier rein nimmt, nämlich jenes mit der geringeren Streuung.
Für $r = -1$ ist die Linie der möglichen Portefeuilles ebenfalls keine Kurve, sondern die Verbindung zweier Geradenstücke. Es ist eine vollständige Diversifikation möglich. Genauer gesagt: Das Portefeuillerisiko lässt sich vollkommen weg diversifizieren. Das heißt, es existiert eine Kombination $\ x_A $ und $\ x_B $, die zu $\ \sigma_{PF} = 0 $ führt. Es ist damit ein sicherer Ertrag ohne jedes Risiko möglich.
Für $\ -1 < r < + 1 $ ist die Linie der möglichen Portefeuilles eine geschwungene Kurve zwischen den beiden Extremwerten.
Kurve möglicher Portefeuilles
Abb. 7: Kurve möglicher Portefeuilles bei r = 0, r = -1 und -1 < r < 0

Auffinden des risikominimalen Portefeuilles

Fall a) Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient echt zwischen -1 und +1 liegt, interessiert man sich für die Kombination aus Wertpapieren A und B, die das minimale Portefeuillerisiko bilden. Hierbei nutzt man aus, dass $\ x_A $ und $\ x_B $ sich zu 1 aufaddieren, d.h. $\ x_A + x_B = 1 $ bzw. $\ x_B - 1 = x_A $.
Man rechnet also

$\ \sigma^2_{PF} = x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 x_A \cdot xB \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r $
$\ = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - xA) \cdot \sigma^2_B +2 x_A (1 - x_A) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r $

Die Ableitung nach dem Anteil des Wertpapiers A wird ausgerechnet:

$\ = 2 x_A \cdot \sigma^2_A + 2 \cdot (1 - xA) \cdot (-1) +2 \cdot (1 - x_A) \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r - 2 x_A \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r $

Wenn man dies gleich null setzt und nach $\ x_A $ auflöst, so erhält man
$\ { \sigma^2_{PF} \over dx_a} = 0 $
$\ \Leftrightarrow 2 \cdot x_A \cdot r_a^2 - 2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A,B}- 2 \cdot x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r - 2 \cdot x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r = 0 $
$$\ \Leftrightarrow x_A = {2 \cdot \sigma^2_B-2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \over 2 \cdot \sigma^2_A+2 \cdot \sigma^2_B-4 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r} $$ $$\ \Leftrightarrow x_A = {\sigma^2_B- \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \over \sigma^2_A+ \sigma^2_B-2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r} $$

Fall b) Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient sogar -1 ist, muss man ein anderes Verfahren wählen, da die Funktion $\ \sigma^2_{PF}\ (x_A) $ nicht mehr differenzierbar ist an der Stelle des Minus.

Man geht daher so vor, dass man gleich Null setzt und nach $\ x_A $ auflöst:

$$\ \begin {align} \sigma^2_{PF} &= x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - x_A)^2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot (1 - x_A) \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot (-1) \\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 – 2 \cdot x_A + x_A^2) \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A \cdot (1 - x_A) \\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + \sigma^2_A - 2 \cdot \sigma^2_B \cdot x_A + x^2_A \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x^2_A \\ & = x^2_A \cdot ( \sigma^2_A+ \sigma^2_B+2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B)- x_A \cdot (2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B) + \sigma^2_B \\ & = x^2_A \cdot (\sigma_A + \sigma_B)^2 - x_A \cdot 2 \cdot \sigma_B \cdot (\sigma_B + \sigma_A) + \sigma^2_B = 0 \end {align}$$

Merke

Portfeuilleanteile: $\ x_A = {\sigma_B \over \sigma_A+ \sigma_B} $, $\ x_B = { \sigma_A \over \sigma_A+ \sigma_B} $

Halten wir das Vorgehen des Auffindens des risikominimalen Portefeuilles fest:

Risikominimales Portefeuille:
1. Rechne zunächst den Korrelationskoeffizienten $\ r_{A,B} $ aus
2. Rechne in Abhängigkeit von $\ r_{A,B} $ die Anteile $\ x_A $ und $\ x_B $ aus
a) $\ r = -1 \Rightarrow x_A = {\sigma_B \over \sigma_A+ \sigma_B} $ , $\ x_B = { \sigma_A \over \sigma_A+ \sigma_B} $ das Risiko ist sogar = 0
b) $\ r = +1 \Rightarrow $ wähle $\ [x_A = 1, x_B = 0]$ oder $\ [x_A = 0, x_B = 1] $ je nachdem,
welches einzelne Wertpapier die geringere Streuung hat.
c) $$\ -1 < r < 1 \Rightarrow x_ A = {\sigma^2_B- \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A+ \sigma^2_B -2 \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} $$ $$\ x_B = { \sigma^2_A - \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A + \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} $$

Für das o.e. Beispiel gilt damit $$\ \begin {align} x_ A &= { \sigma^2_B- \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A+ \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} \\ & = {81,7508 \over 117,5015} = 0,6957 \end {align} $$ und $$\ \begin {align} x_B &= {\sigma^2_A - \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A + \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} \\ & ={35,7508 \over 117,5015} = 0,3043 \end {align} $$ Für diese Zusammensetzung des Portefeuilles ist das Gesamtrisiko minimal. Es liegt bei $\ \sigma_{PF} = 1,6194 $.


Der Vergleich zwischen den beiden Punkte A und B ist bemerkenswert. Beide haben das gleiche Risiko, trotzdem hat die Portefeuillemischung A eine größere erwartete Rendite, das heißt $\ \mu_A > \mu_B $. Man sagt aus diesem Grunde, dass die Mischung B gegenüber der Mischung A dominiert und dass B damit zu verwerfen ist.

Allgemein gilt für die Portefeuilles

Ein Portefeuille A mit $\ ( \mu_A, \sigma_A) $ dominiert ein anderes Portefeuille B mit $\ ( \mu_B, \sigma_B) $,

wenn bei gleichem Risiko der erwartete Wert höher ist, das heißt $\ \sigma_A = \sigma_B $ und $\ \mu_A > \mu_B $ (Fall 1) oder,
wenn bei gleichem Erwartungswert das Risiko geringer ist, das heißt $\ \mu_A = \mu_B $ und $\ \sigma_A < \sigma_B $ (Fall 2)

Wenn ein Portefeuille A nicht von einem anderen Portefeuille B dominiert wird, dann nennt man A effizient.

Effizienzlinie

Es fällt ins Auge, dass alle Portefeuilles auf der durchgezogenen Linie effizient sind, man nennt diesen Teil der Linie der möglichen Portefeuilles auch Effizienzlinie. Die Effizienzlinie ist damit der geometrische Bereich aller effizienten Ertrags-Risiko-Kombinationen.

Video zur Portefeuilletheorie

Video: Risikotransformation durch Portefeuillebildung

Wichtig

Hinweis: Die Formel der Varianz des Gesamtportefeuilles im Video ist nicht komplett, es fehlt beim letzten Summanden der Faktor 2!