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Investitionsrechnung

Risikotransformation durch Portefeuillebildung

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Der Grundgedanke der Risikotransformation durch Portefeuillebildung ist es, ein Portefeuille (= Portfolio) aus den zwei bekannten Aktien A  und B zu bilden. $x_A $ steht hier für den Anteil des Wertpapier A und analog $x_B $ für den Anteil an der Aktie B.

Erwartete Rendite der Wertpapiere

Die zu erwartende Rendite der Aktie A aus dem vorherigen Beispiel liegt bei 9%, die von Aktie B bei 6%. Bildet man nun aus diesen zwei Wertpapieren ein Portefeuille liegt der Gesamterwartungswert $\mu_{PF}$ immer zwischen diesen beiden Werten. Ist der Anteil $x_A $ der Aktie A größer als der von B, so liegt der Gesamterwartungswert somit auch näher an den 9%. Ist der Anteil $x_B $ größer, so liegt der Gesamterwartungswert  logischerweise näher an 6%.

Merke

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Ein bemerkenswerter und wichtiger Aspekt ist hierbei, dass diese Regel nicht für die Streuung des Portefeuilles gilt. Die Gesamtstreuung kann sich sogar unter gewissen Umständen unter die niedrigste Streuung eines einzelnen Wertpapiers fallen. In unserem Fall also unter 3,4059%.

Portefeuille und Erwartungswert

 

Ein Portefeuille aus m Wertpapieren mit den Erwartungswerten $\mu_1, \mu_2,\ldots $ und den Anteilen $\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots x_m $ hat den Erwartungswert

$\mu_{PF} = \sum^m_{j=1} x_{j \mu}$

Den Gesamterwartungswert $\ \mu_{PF} $ des Portefeuilles aus lediglich zwei Wertpapieren A und B schreiben wir nochmals explizit auf:

$\mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + x_B \cdot \mu_B $

für den Fall, dass zwei Wertpapiere A und B mit den Anteilen $\ x_A,\ x_B $ beteiligt sind, die die Erwartungswerte $\ \mu_A $ und $\ \mu_B $ haben.

Hinweis

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Das wie hier von m Wertpapieren reden und nicht von n liegt an dem Umstand, dass wir diese Variable schon im vorherigen Kapitel für die Anzahl der Umweltzustände vergeben haben. Da wir keine Variable zweimal vergeben, wird sie hier als m benannt.

Varianz des Gesamtportefeuilles

Die Varianz des Gesamtportefeuilles wird bestimmt von den einzelnen Anteilen $\ x_i $, der Einzelstreuung $\ \sigma^2_1 $ und dem Korrelationskoeffizienten $\ r_{A,B} $:

Man kann dies allerdings auch schreiben als

Merke

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Portefeuillevarianz:

$\sigma^2_{PF}=x^2_A \sigma^2_A + x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B r_{A,B} $

dabei ist Cov (A,B) die Kovarianz der Renditeentwicklung der zwei Wertpapiere A und B.

Sind jedoch m Wertpapiere gegeben sind, liest man diese Formel als:

Merke

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Portefeuillevarianz:

$\sigma^2_{PF}= \sum_{i = 1}^m x^2_i \sigma^2_i + 2 \sum_{i \neq j} x_i x_j Cov(i, j) $

 

Streuung des Gesamtportefeuilles

Die Streuung des Gesamtportefeuilles erhält man schließlich wieder als $\sigma_{PF}= \sqrt{ \sigma^2_{PF}} $.

Bspw. liegt ein Verteilung des Portefeuilles bei 60:40, bedeutet also $x_A = 60 %, x_B = 40 % $

Der Gesamterwartungswert liegt dann bei $\mu_{PF}= 0,6 \cdot 9 + 0,4 \cdot 6 = 7,8% $

Die Gesamtvarianz ist
$\sigma_{PF}^2 = 0,6^2 \cdot 11,6 + 0,4^2 \cdot 34,8 + 2 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot 3,4059 \cdot 5,8992 \cdot (-0,7665) = 2,3517$,

Somit beträgt das Gesamtrisiko 1,5335 %.

Es stellt sich allerdings die Frage, ob es noch "vorteilhaftere" Aufteilungen der zwei Aktien A und B gibt und welche Auswirkungen dies auf den Gesamterwartungswert $\mu_{PF} $ hat.

Dazu rechnet man als erstes für andere Verteilungen den Erwartungswert und die Streuung aus.

Die Ergebnisse sind folgende:

Anteil des Wertpapiers A Anteil des Wertpapiers B Erwartungswert des Portefeuilles Risiko des Portefeuilles
1093,4059
0,90,18,72,6404
0,80,28,41,9718
0,70,38,11,5322
0,60,47,81,5335
0,50,57,51,9748
0,40,67,22,6442
0,30,76,93,4099
0,20,86,64,2199
0,10,96,35,0529
0165,8992

Tab. 35: Erwartungswert und Streuung für verschiedene Portefeuille-Mischungen

Merke

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Man kann erkennen, dass sich einzig und allein durch die Kombination zweier Aktien A und B das Risiko insgesamt unzer das Risiko einer einzelnen Aktie drücken lässt. Dieser Effekt wird Diversifikationseffekt genannt.

Video: Risikotransformation durch Portefeuillebildung

Linie der möglichen Portefeuilles

Die Kurve, die für alle Zusammensetzungen des Portefeuilles die erwartete Gesamtrendite und das Gesamtrisiko angibt, heißt Linie der möglichen Portefeuilles.
Sie ist – im Falle von zwei Wertpapieren - geschwungen zwischen den beiden Wertpapieren A und B und mehr oder weniger krumm.

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Wie stark der Linie des möglichen Portefeuilles gekrümmt ist, ist abhängig vom Korrelationskoeffizienten r.

  • Für r = 1 ist sie eine Verbindungsgerade zwischen den Punkten A und B. Es ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen. Das minimale Portefeuillerisiko erzielt man, indem man nur ein Wertpapier reinnimmt, nämlich jenes mit der geringeren Streuung.

  • Für r = -1 ist die Linie der möglichen Portefeuilles ebenfalls keine Kurve, sondern die Verbindung zweier Geradenstücke. Es ist eine vollständige Diversifikation möglich. Das Portefeuillerisiko lässt sich vollkommen weg diversifizieren. Das heißt, es existiert eine Kombination $x_A $ und $x_B $, die zu $\sigma_{PF} = 0 $ führt. Es ist damit ein sicherer Ertrag ohne jedes Risiko möglich.
  • Für -1 < r < + 1  ist die Linie der möglichen Portefeuilles eine geschwungene Kurve zwischen den beiden Extremwerten.

 

Auffinden des risikominimalen Portefeuilles

Fall a)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient echt zwischen -1 und +1 liegt, interessiert man sich für die Kombination aus Wertpapieren A und B, die das minimale Portefeuillerisiko bilden. Hierbei nutzt man aus, dass $\ x_A $ und $\ x_B $ sich zu 1 aufaddieren, d.h. $\ x_A + x_B = 1 $ bzw. $\ x_B - 1 = x_A $.

Man rechnet:
$\ \begin {align} \sigma^2_{PF} & = x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 x_A \cdot xB \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - xA) \cdot \sigma^2_B +2 x_A (1 - x_A) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \end {align}$

Die Ableitung nach dem Anteil des Wertpapiers A wird ausgerechnet:
$$\ \begin {align} & = 2 x_A \cdot \sigma^2_A - \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r - 4 x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \end {align}$$

Wenn man dies gleich null setzt und nach $\ x_A $ auflöst, so erhält man

$\ \begin {align} \ { \sigma^2_{PF} \over dx_a} = 0
& \Leftrightarrow \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r = 2 x_A \cdot \sigma^2_A - 4 x_A \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\& \Leftrightarrow 2x_A = {\sigma^2_B-2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r \over \sigma^2_A -2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r}
\\& \Leftrightarrow x_A = {\sigma_B \cdot (\sigma_B-2 \cdot \sigma_A \cdot r) \over 2 \cdot \sigma_A (\sigma_A - 2 \cdot \sigma_B \cdot r)} \end {align}$

 

Fall b)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient sogar -1 ist, muss man ein anderes Verfahren wählen, da die Funktion $\ \sigma^2_{PF}\ (x_A) $ nicht mehr differenzierbar ist an der Stelle des Minus.

Man geht daher so vor, dass man gleich Null setzt und nach $\ x_A $ auflöst:

$$\ \begin {align} \sigma^2_{PF} &= x^2_A \cdot \sigma^2_A+x^2_B \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - x_A)^2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot (1 - x_A) \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot (-1)
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 – 2 \cdot x_A + x_A^2) \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A \cdot (1 - x_A)
\\ & = x^2_A \cdot \sigma^2_A + \sigma^2_A - 2 \cdot \sigma^2_B \cdot x_A + x^2_A \cdot \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x_A + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot x^2_A
\\ & = x^2_A \cdot ( \sigma^2_A+ \sigma^2_B+2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B)- x_A \cdot (2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B) + \sigma^2_B
\\ & = x^2_A \cdot (\sigma_A + \sigma_B)^2 - x_A \cdot 2 \cdot \sigma_B \cdot (\sigma_B + \sigma_A) + \sigma^2_B = 0 \end {align}$$

Portfeuilleanteile: $\ x_A = {\sigma_B \over \sigma_A+ \sigma_B} $, $\ x_B = { \sigma_A \over \sigma_A+ \sigma_B} $

Halten wir das Vorgehen des Auffindens des risikominimalen Portefeuilles fest:

Expertentipp

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Risikominimales Portefeuille:

  1. Rechne zunächst den Korrelationskoeffizienten $\ r_{A,B} $ aus
  2. Rechne in Abhängigkeit von $\ r_{A,B} $ die Anteile $\ x_A $ und $\ x_B $ aus
    1. $\ r = -1 \Rightarrow x_A = {\sigma_B \over \sigma_A+ \sigma_B} $ , $\ x_B = { \sigma_A \over \sigma_A+ \sigma_B} $ das Risiko ist sogar = 0

    2. $\ r = +1 \Rightarrow $ wähle $\ [x_A = 1, x_B = 0]$ oder $\ [x_A = 0, x_B = 1] $ je nachdem, welches einzelne Wertpapier die geringere Streuung hat.

    3. $\ -1 < r < 1 \Rightarrow x_ A = {\sigma^2_B- \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A+ \sigma^2_B \cdot 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} $$ $$\ x_B = { \sigma^2_A - \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A + \sigma^2_B \cdot 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} $

      Für das o.e. Beispiel gilt damit

      $\begin {align} x_ A & = { \sigma^2_B- \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A+ \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} \\& = {50,2006 \over 77,2012} = 0,6503 \end {align}$
      und
      $\begin {align} x_B & = {\sigma^2_A - \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B} \over \sigma^2_A + \sigma^2_B - 2 \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot r_{A, B}} \\& = {27,0006 \over 77,2012} = 0,3497 \end {align}$

Für diese Zusammensetzung des Portefeuilles ist das Gesamtrisiko minimal. Es liegt bei $\sigma_{PF} = 1,4686 $.

Der Vergleich zwischen den beiden Punkte A und B ist bemerkenswert. Beide haben das gleiche Risiko, trotzdem hat die Portefeuillemischung A eine größere erwartete Rendite, das heißt $\ \mu_A > \mu_B $. Man sagt aus diesem Grunde, dass die Mischung B gegenüber der Mischung A dominiert und dass B damit zu verwerfen ist.

Allgemein gilt für die Portefeuilles

Merke

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Ein Portefeuille A mit $( \mu_A, \sigma_A) $ dominiert ein anderes Portefeuille B mit $ ( \mu_B, \sigma_B) $,
wenn bei gleichem Risiko der erwartete Wert höher ist, das heißt $\sigma_A = \sigma_B $ und $\ \mu_A > \mu_B $ (Fall 1) oder,
wenn bei gleichem Erwartungswert das Risiko geringer ist, das heißt $ \mu_A = \mu_B $ und $\sigma_A > \sigma_B$ (Fall 2).

Wenn ein Portefeuille A nicht von einem anderen Portefeuille B dominiert wird, dann nennt man A effizient.

Effizienzlinie

Dabei kann man erkennen, dass auf der durchgehenden Linie alle Portefeuilles effizient sind, daher nennt man den Teil der Linie möglicher Portefeuilles auch Effizienzlinie. Also zeigt die Effizienzlinie den Bereich aller effizienten Ertrags-Risiko-Kombinationen.

Video: Risikotransformation durch Portefeuillebildung