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Kosten- und Erlösrechnung - Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Definition und Berechnung

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Kosten- und Erlösrechnung

Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Definition und Berechnung

Wir unterscheiden im Folgenden

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Durchschnittskosten und gleichzeitig die kurzfristige Preisuntergrenze. Hingegen versteht man unter dem Betriebsoptimum das Minimum der totalen Durchschnittskosten und damit die langfristige Preisuntergrenze.

Halten wir dies tabellarisch fest:

Begriff rechnerisch Bedeutung
Betriebsminimum$\ var.\ DK \rightarrow min! $kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimum$\ totale\ DK \rightarrow min! $langfristige Preisuntergrenze

Tab. 5: Bedeutung und Berechnung von Betriebsminimum und Betriebsoptimum.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 20:
Wieder sei die Kostenfunktion gegeben durch $\ K(x) = 50 + 10x – 3x^2 + 0,05x^3 $.
Errechne die Bedingung für ein Betriebsoptimum (nach der konkreten Lösung ist nicht gefragt).

Wir suchen nun das Minimum der totalen Durchschnittskosten, das sog. Betriebsoptimum. Hierzu leitet man die Durchschnittskosten ab und setzt diese Ableitung gleich null. Man errechnet $\ DK(x) = {-50 \over x^2} -3+0,1x =^! 0 $ und damit $ -50 \ – 3 \cdot x^2 + 0,1 \cdot x^3 = 0 $. Hiernach sind approximierende Verfahren notwendig, um die Lösung zu ermitteln. Darauf werden wir allerdings nicht eingehen.

 

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenMan hat noch eine andere Möglichkeit, sowohl das Betriebsminimum als auch das Betriebsoptimum zu errechnen: Das Betriebsminimum lässt sich nämlich ebenso als Schnittpunkt der Grenzkosten mit der Kurve der variablen Durchschnittskosten bestimmen. Das Betriebsoptimum auch als Schnittpunkt der Grenzkosten mit den totalen Durchschnittskosten.


Die Berechnungsmöglichkeiten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

  Berechnungsmöglichkeit 1 Berechnungsmöglichkeit 2
Betriebsminimum$\ VDK= {K_v (x)\over x} \Rightarrow min! $$\ GK(x)=^! VDK(x) $
Betriebsoptimum$\ TDK= {K(x) \over x} \rightarrow min! $$\ GK(x)=^! TDK(x) $

Tab. 6: Alternative Berechnung von Betriebsminimum und Betriebsoptimum.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 21:
Die Unternehmung Frieda AG hat konstante Grenzkosten in Höhe von 5 €. Bei einer Ausbringungsmenge von 20 ME liegen die gesamten Stückkosten bei 30 €/ME. Wie lautet die Gesamtkostenfunktion?

Da die Grenzkosten der Unternehmung konstant sind, muss es sich um eine lineare Kostenfunktion von der Gestalt $\ K(x) = a + bx $ handeln.
Die Grenzkosten sind hierbei $\ K'(x) = b $.
Mithin ist $\ b = 5 $.

Man setzt dies in die gesamten Durchschnittskosten ein und erhält
für $\ x = 20 $
speziell $\ {a + {5 \cdot x} \over x } = {a + {5 \cdot 20} \over 20} = 30 $ ,
mit anderen Worten: $\ a = 500 $.


Anders dargestellt:
Einsetzen von $ b = 5 $ liefert die Funktion $ K (x) = a + 5x $.
Aus 20 ME ergeben sich gesamte Kosten in Höhe von 600 € (da die gesamten Stückkosten bei 30 € pro ME liegen).

Dies setzt man in die Formel ein: $ 600 = a + 5 \cdot 20$.
Umgestellt bedeutet dies: a = 600 - 100, also ist a = 500.

Die Gesamtkostenfunktion lautet also $\ K(x) = 500 + 5x $

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 22:
Eine Kostenfunktion ist
$\ K(x) = 15 + 3 \cdot x $

Wie hoch sind a) die totalen Durchschnittskosten, b) die variablen Durchschnittskosten und c) die Grenzkosten?

a) Die totalen Durchschnittskosten berechnen sich als $\ TDK = {K(x)\over x} = {15 \over x} +3 $. Wenn man hier die Mengeneinheiten von 10 und 20 einsetzt, so erhält man $\ TDK(10) = 4,5 $ und $\ TDK(20) = 3,75 $
b) Die variablen Durchschnittskosten (= variablen Stückkosten) errechnen sich als $\ VDK = {K_v (x)\over x} = {3x \over x} = 3 $. Sie sind also konstant gleich drei, unabhängig von der Ausbringungsmenge x.
c) Die Grenzkosten sind ebenfalls unabhängig von der Ausbringungsmenge x, sie betragen konstant $\ K = GK = 3 $.