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Kosten- und Erlösrechnung - Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Definition und Berechnung

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Kosten- und Erlösrechnung

Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Definition und Berechnung

Wir unterscheiden im folgenden

Merke

Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Durchschnittskosten und gleichzeitig die kurzfristige Preisuntergrenze. Hingegen versteht man unter dem Betriebsoptimum das Minimum der totalen Durchschnittskosten und damit die langfristige Preisuntergrenze.

Halten wir dies tabellarisch fest:

Begriff rechnerisch Bedeutung
Betriebsminimum $\ var.\ DK \rightarrow min! $ kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimum $\ totale\ DK \rightarrow min! $ langfristige Preisuntergrenze


Tab. 5: Betriebsminimum und Betriebsoptimum

Beispiel

Beispiel 20:
Wieder sei die Kostenfunktion gegeben durch $\ K(x) = 50 + 10x – 3x^2 + 0,05x^3 $. Errechne die Bedingung für ein Betriebsoptimum (nach der konkreten Lösung ist nicht gefragt).
Wir suchen nun das Minimum der totalen Durchschnittskosten, das sog. Betriebsoptimum. Hierzu leitet man die Durchschnittskosten ab und setzt diese Ableitung gleich null. Man errechnet $\ DK(x) = {-50 \over x^2} -3+0,1x =^! 0 $ und damit $ -50 – 3 \cdot x^2 + 0,1 \cdot x^3 = 0 $. Hiernach sind approximierende Verfahren notwendig, um die Lösung zu ermitteln, auf die wir allerdings nicht eingehen werden.


Das Betriebsoptimum gilt als sog. langfristige Preisuntergrenze , das Betriebsminimum als kurzfristige Preisuntergrenze . Das Betriebsminimum gibt das Minimum der variablen Durchschnittskosten an, das Betriebsoptimum hingegen das Minimum der totalen Durchschnittskosten.

Man hat allerdings noch eine andere Möglichkeit, sowohl das Betriebsminimum als auch das Betriebsoptimum zu errechnen: Das Betriebsminimum lässt sich nämlich ebenso bestimmen als Schnittpunkt der Grenzkosten mit der Kurve der variablen Durchschnittskosten. Das Betriebsoptimum auch als Schnittpunkt der Grenzkosten mit den totalen Durchschnittskosten.

Die beiden Berechnungsmöglichkeiten sowohl des Betriebsminimums als auch des Betriebsoptimums fasst die folgende Tabelle zusammen.

Berechnungsmöglichkeit 1 Berechnungsmöglichkeit 2
Betriebsminimum $\ VDK= {K_v (x)\over x} \Rightarrow min! $ $\ GK(x)=^! VDK(x) $
Betriebsoptimum $\ TDK= {K(x) \over x} \rightarrow min! $ $\ GK(x)=^! TDK(x) $


Tab. 6: Betriebsminimum und Betriebsoptimum

Beispiel

Beispiel 21:
Die Unternehmung Frieda AG hat konstante Grenzkosten in Höhe von 5 €, bei einer Ausbringungsmenge von 20 ME liegen die gesamten Stückkosten bei 30 €/ME. Wie lautet die Gesamtkostenfunktion?

Da die Grenzkosten der Unternehmung konstant sind, muss es sich um eine lineare Kostenfunktion von der Gestalt $\ K(x) = a + bx $ handeln.
Die Grenzkosten sind hierbei $\ K'(x) = b $.
Mithin ist $\ b = 5 $.
Man setzt dies in die gesamten Durchschnittskosten ein und erhält
für $\ x = 20 $
speziell $\ {a + {5 \cdot x} \over x } = {a + {5 \cdot 20} \over 20} = 30 $ ,
mit anderen Worten: $\ a = 500 $.

Anders dargestellt:
b=5 (s.o.)
folglich: K(x) = a + 5x
20 ME sind gesamt 600 € (30€/ME). Dies setzt man in die Formel ein:
600 = a + 5*20
umgestellt bedeutet dies: a = 600-100, also ist a = 500.

Die Gesamtkostenfunktion lautet also $\ K(x) = 500 + 5x $

Beispiel

Beispiel 22:
Eine Kostenfunktion ist
$\ K(x) = 15 + 3 \cdot x $

a) Die totalen Durchschnittskosten berechnen sich als $\ TDK = {K(x)\over x} = {15 \over x} +3 $. Wenn man hierin die Mengeneinheiten von 10 und von 20 einsetzt, so erhält man $\ TDK(10) = 4,5 $ und $\ TDK(20) = 3,75 $
b) Die variablen Durchschnittskosten (= variablen Stückkosten) errechnen sich als $\ VDK = {K_v (x)\over x} = {3x \over x} = 3 $. Sie sind also konstant gleich drei, unabhängig von der Ausbringungsmenge x.
c) Die Grenzkosten sind ebenfalls unabhängig von der Ausbringungsmenge x, sie betragen konstant $\ K = GK = 3 $.