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Kosten- und Leistungsrechnung

Betriebsoptimum und Betriebsminimum

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Das Betriebsoptimum liegt beim Minimum der durchschnittlichen Stückkosten. Das bedeutet, dass hier sowohl die variablen Stückkosten als auch die fixen Stückkosten mit in die Kalkulation einfließen. Am Betriebsoptimum macht das Unternehmen also weder Verlust noch Gewinn.

Merke

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Es handelt sich um ein Synonym für die langfristige Preisuntergrenze und kann genauso berechnet werden. Kommen wir also zur Formel für das Betriebsoptimum.

Das Betriebsminimum wird als das Minimum der variablen Stückkosten definiert. Hier werden also kurzfristig die Fixkosten vernachlässigt. 

Beispiel

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Warum sollten Unternehmen am Betriebsminumum anbieten? Beispielsweise um Wettbewerber zu verdrängen, die mit einem solch niedrigen Preis nicht mithalten können. Allerdings muss einem bewusst sein, das hier ein kalkulierter Verlust, nämlich in Höhe der Fixkosten entsteht.

Methode

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Das Betriebsminimum ist ein Synonym für die kurzfristige Preisuntergrenze und wird genauso berechnet.

Zusammenfassung

Zusammenfassend gilt:

Merke

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Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Durchschnittskosten und gleichzeitig die kurzfristige Preisuntergrenze. Hingegen versteht man unter dem Betriebsoptimum das Minimum der totalen Durchschnittskosten und damit die langfristige Preisuntergrenze.

Mathematisch ausgedrückt lassen sich Betriebsminimum und Betriebsoptimum so zusammenfassen:

Begriff rechnerisch Bedeutung
Betriebsminimum$\ var.\ DK \rightarrow min! $kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimum$\ totale\ DK \rightarrow min! $langfristige Preisuntergrenze

Prüfungstipp

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Das Betriebsoptimum berechnet sich über die durchschnittlichen Stückkosten und gibt an, zu welchem Preis wir die Waren verkaufen müssten um weder Gewinn noch Verlust zu machen. Es handelt sich hierbei um die langfristige Preisuntergrenze.

Das Betriebsminimum wiederum lässt sich über die durchschnittlichen variablen Stückkosten berechnen und vernachlässigt kurzfristig die fixen Kosten.

Video zum Betriebsoptimum und Betriebsminimum

Video: Betriebsoptimum und Betriebsminimum

Beispiele zur Berechnung

Wenden wir uns einem Beispiel zur Berechnung zu:

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEs sei eine Kostenfunktion mit dem folgenden Aussehen gegeben:
$\ K(x) = 40 + 10x – 3x^2 + 0,05x^3 $.
Wie würde die Bedingung für das Betriebsoptimum lauten?

Gesucht ist als das Minimum der totalen Durchschnittskosten, das sog. Betriebsoptimum.

Schritt 1: Hierzu leitet man die Durchschnittskosten ab und setzt diese Ableitung gleich null. Hierzu rechnet man $\ DK(x) = {-40 \over x^2} -3+0,1x =^! 0 $.

Schritt 2: Rechne damit $ -40 \ – 3 \cdot x^2 + 0,1 \cdot x^3 = 0 $.

Einschränkung: Hiernach sind approximierende Verfahren notwendig, um die Lösung zu ermitteln. Darauf werden wir allerdings nicht eingehen.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenEin alternatives Vorgehen, das Betriebsminimum und auch das Betriebsoptimum zu errechnen:

Das Betriebsminimum lässt sich als Schnittpunkt der Grenzkosten mit der Kurve der variablen Durchschnittskosten bestimmen. Das Betriebsoptimum auch als Schnittpunkt der Grenzkosten mit den totalen Durchschnittskosten.

Es ergeben sich somit die folgenden Vorgehensweisen für die alternative Berechnung:

  Berechnungsmöglichkeit 1 Berechnungsmöglichkeit 2
Betriebsminimum$\ VDK= {K_v (x)\over x} \Rightarrow min! $$\ GK(x)=^! VDK(x) $
Betriebsoptimum$\ TDK= {K(x) \over x} \rightarrow min! $$\ GK(x)=^! TDK(x) $

Ein Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang:

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenDie Wasser KG hat Grenzkosten in Höhe von 6 €. Die Grenzkosten seien konstant. Bei einer Ausbringungsmenge von 20 ME liegen die gesamten Stückkosten bei 30 €/ME. Berechne die Gesamtkostenfunktion!
  1. Es ergibt sich eine Kostenfunktion der Form $\ K(x) = a + bx $, denn das Beispiel geht von konstanten Grenzkosten aus.
  2. Damit ergeben sich Grenzkosten so: $\ K'(x) = b $, in diesem Beisoiel also $\ b = 6 $.
  3. Nun setzt diesen Wert in Funktion der Durchschnittskosten ein und erhält für $\ x = 20 $
  4. also $\ {a + {6 \cdot x} \over x } = {a + {6 \cdot 20} \over 20} = 30 $ und $\ a = 480 $.

Es ergibt sich folgende alternative Berechnungsweise:

  1. Einsetzen von $ b = 6 $ liefert die Funktion $ K (x) = a + 6x $.
  2. Aus 20 ME ergeben sich gesamte Kosten in Höhe von 600 € (da die gesamten Stückkosten bei 30 € pro ME liegen).
  3. Dies setzt man in die Formel ein: $ 600 = a + 6 \cdot 20$.
  4. Umgestellt bedeutet dies: a = 600 - 120, also ist a = 480.

Die Gesamtkostenfunktion lautet demnach $\ K(x) = 500 + 6x $.

Vertiefendes Beispiel zum Betriebsoptimum und -Minimum 

Gegeben sei eine Kostenfunktion $\ K(x) = 15 + 20 \cdot x \ – \ 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3 $

Wie lautet das Betriebsoptimum zu dieser Kostenfunktion?

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Betriebsminimum zu bestimmen: 

  • über das Minimum der variablen Durchschnittskosten und
    über den Schnittpunkt aus Grenzkosten und variablen Durchschnittskosten.

1. Möglichkeit

Die variablen Stückkosten liegen bei $$\ \begin{align} VDK & = \frac {K_v(x)}{x} \\ & = \frac {(20x - 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3)}{x} \\ & = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2 \end{align} $$ Hiervon muss das Minimum bestimmt werden und wir leiten die Funktion ab: $$\ \begin{align} VDK(x) & = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2\end{align} $$ $$\ \begin{align} VDK´(x) = -0,8 + 0,06 \cdot x \end{align} $$ Nun setzen wir die Ableitung gleich null und lösen nach x auf: $\ -0,8 + 0,06 \cdot x = 0 $. Daraus folgt schließlich: $\ x_{BM} = 13,33 $. 

2. Möglichkeit:

Bei der Beziehung $\ GK(x_{BM}) = VDK(x_{BM}) $ liegt das Betriebsminimum dort, wo sich Grenzkosten und variable Durchschnittskosten schneiden. $$\ \begin{align} & GK = VDK \\ & \Leftrightarrow 20 - 1,6 \cdot x + 0,09\cdot x^2 = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03\cdot x^2 \
(\text{Hinweis:}-0,03x^2+0,8 \cdot x - 20) \\ & \Leftrightarrow 0,06 \cdot x^2 – 0,8 \cdot x = 0 \ (\text{Hinweis: x ausklammern})\\ & \Leftrightarrow x \cdot (0,06x - 0,8) = 0 \end{align} $$

Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.
$$\ \begin{align} & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ 0,06 \cdot x - 0,8 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0\ \text{oder} \ 0,06\cdot x = 0,8 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ x = 13,33 \end{align} $$ Also erhält man jeweils ein Betriebsminimum von $\ x_{BM} = 13,33 $ ME.

Wie lautet das Betriebsminimum zu dieser Kostenfunktion?

Für das Betriebsoptimum leiten wir die totalen Durchschnittskosten ab, setzen gleich null und versuchen (!), nach x aufzulösen. $$\ \begin{align} DK´(x) & = (\frac {15}{x} + 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2)´ \\ & \Rightarrow - \frac {15}{x^2} - 0,8 + 0,06 \cdot x = 0 \\ & \Leftrightarrow -15 - 0,8 \cdot x^2 + 0,06 \cdot x^3 = 0 \end{align} $$ Ein Polynom dritten Grades mit x-freiem Term ist zu aufwändig, so dass wir ein approximatives Verfahren bräuchten. Das haben wir aber in dieser einführenden Analyse nicht besprochen und deshalb wird es an dieser Stelle nicht angewandt. Man könnte z.B. mit dem Newton-Verfahren fortsetzen.