Betriebsoptimum und Betriebsminimum

Das Betriebsoptimum liegt beim Minimum der durchschnittlichen Stückkosten. Das bedeutet, dass hier sowohl die variablen Stückkosten als auch die fixen Stückkosten mit in die Kalkulation einfließen. Am Betriebsoptimum macht das Unternehmen also weder Verlust noch Gewinn.

Das Betriebsminimum wird als das Minimum der variablen Stückkosten definiert. Hier werden also kurzfristig die Fixkosten vernachlässigt. 

Zusammenfassung

Zusammenfassend gilt:

Mathematisch ausgedrückt lassen sich Betriebsminimum und Betriebsoptimum so zusammenfassen:

Beispiele zur Berechnung

Wenden wir uns einem Beispiel zur Berechnung zu:

Gesucht ist als das Minimum der totalen Durchschnittskosten, das sog. Betriebsoptimum.

Schritt 1: Hierzu leitet man die Durchschnittskosten ab und setzt diese Ableitung gleich null. Hierzu rechnet man $\ DK(x) = {-40 \over x^2} -3+0,1x =^! 0 $.

Schritt 2: Rechne damit $ -40 \ – 3 \cdot x^2 + 0,1 \cdot x^3 = 0 $.

Einschränkung: Hiernach sind approximierende Verfahren notwendig, um die Lösung zu ermitteln. Darauf werden wir allerdings nicht eingehen.

Es ergeben sich somit die folgenden Vorgehensweisen für die alternative Berechnung:

Ein Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang:

1. Es ergibt sich eine Kostenfunktion der Form $\ K(x) = a + bx $, denn das Beispiel geht von konstanten Grenzkosten aus.

2. Damit ergeben sich Grenzkosten so: $\ K'(x) = b $, in diesem Beisoiel also $\ b = 6 $.

3. Nun setzt diesen Wert in Funktion der Durchschnittskosten ein und erhält für $\ x = 20 $

4. also $\ {a + {6 \cdot x} \over x } = {a + {6 \cdot 20} \over 20} = 30 $ und $\ a = 480 $.

Es ergibt sich folgende alternative Berechnungsweise:

1. Einsetzen von $ b = 6 $ liefert die Funktion $ K (x) = a + 6x $.

2. Aus 20 ME ergeben sich gesamte Kosten in Höhe von 600 € (da die gesamten Stückkosten bei 30 € pro ME liegen).

3. Dies setzt man in die Formel ein: $ 600 = a + 6 \cdot 20$.

4. Umgestellt bedeutet dies: a = 600 - 120, also ist a = 480.

Die Gesamtkostenfunktion lautet demnach $\ K(x) = 500 + 6x $.

Vertiefendes Beispiel zum Betriebsoptimum und Betriebsminimum 

Gegeben sei eine Kostenfunktion $\ K(x) = 15 + 20 \cdot x \ – \ 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3 $

Wie lautet das Betriebsoptimum zu dieser Kostenfunktion?

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Betriebsminimum zu bestimmen: 

• über das Minimum der variablen Durchschnittskosten und
  über den Schnittpunkt aus Grenzkosten und variablen Durchschnittskosten.

1. Möglichkeit

Die variablen Stückkosten liegen bei $$\ \begin{align} VDK & = \frac {K_v(x)}{x} \\ & = \frac {(20x - 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3)}{x} \\ & = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2 \end{align} $$ Hiervon muss das Minimum bestimmt werden und wir leiten die Funktion ab: $$\ \begin{align} VDK(x) & = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2\end{align} $$ $$\ \begin{align} VDK´(x) = -0,8 + 0,06 \cdot x \end{align} $$ Nun setzen wir die Ableitung gleich null und lösen nach x auf: $\ -0,8 + 0,06 \cdot x = 0 $. Daraus folgt schließlich: $\ x_{BM} = 13,33 $. 

2. Möglichkeit:

Bei der Beziehung $\ GK(x_{BM}) = VDK(x_{BM}) $ liegt das Betriebsminimum dort, wo sich Grenzkosten und variable Durchschnittskosten schneiden. $$\ \begin{align} & GK = VDK \\ & \Leftrightarrow 20 - 1,6 \cdot x + 0,09\cdot x^2 = 20 - 0,8 \cdot x + 0,03\cdot x^2 \
(\text{Hinweis:}-0,03x^2+0,8 \cdot x - 20) \\ & \Leftrightarrow 0,06 \cdot x^2 – 0,8 \cdot x = 0 \ (\text{Hinweis: x ausklammern})\\ & \Leftrightarrow x \cdot (0,06x - 0,8) = 0 \end{align} $$

Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.
$$\ \begin{align} & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ 0,06 \cdot x - 0,8 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0\ \text{oder} \ 0,06\cdot x = 0,8 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ x = 13,33 \end{align} $$ Also erhält man jeweils ein Betriebsminimum von $\ x_{BM} = 13,33 $ ME.

Wie lautet das Betriebsminimum zu dieser Kostenfunktion?

Für das Betriebsoptimum leiten wir die totalen Durchschnittskosten ab, setzen gleich null und versuchen (!), nach x aufzulösen. $$\ \begin{align} DK´(x) & = (\frac {15}{x} + 20 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2)´ \\ & \Rightarrow - \frac {15}{x^2} - 0,8 + 0,06 \cdot x = 0 \\ & \Leftrightarrow -15 - 0,8 \cdot x^2 + 0,06 \cdot x^3 = 0 \end{align} $$ Ein Polynom dritten Grades mit x-freiem Term ist zu aufwändig, so dass wir ein approximatives Verfahren bräuchten. Das haben wir aber in dieser einführenden Analyse nicht besprochen und deshalb wird es an dieser Stelle nicht angewandt. Man könnte z.B. mit dem Newton-Verfahren fortsetzen.