Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

Für die graphische Lösung schreiben wir die Variablen der Zielfunktion an die Achsen. Die Ungleichungen (1) und (2) trägt man leicht ins Koordinatensystem ein, nämlich als Horizontale x₂ = 150 und als Vertikale x₁ = 60, s. Abb. 1. Für die anderen ist folgende Vorgehensweise empfehlenswert:

Ungleichung (3)

Wenn also x₁ = 0 ist muss x₂ = 350 sein, damit genau gleich 70 resultiert. Genau so folgt aus x₂ = 0 entsprechend x₁ = 70. Die Gerade, die die Restriktion (3) repräsentiert, trifft also bei x₁ = 0 / x₂ = 350 und x₂ = 0 / x₁ = 70 die Achsen. Anders ausgedrückt: sie trifft bei x₁ = 70 die Abszisse und bei x₂ = 350 die Ordinate.

Wenn also nichts von Produkt 1 hergestellt wird (x₁ = 0), können 350 ME von Produkt 2 (x₂ = 350) auf der Maschine erstellt werden. Dementsprechend können 70 ME von Produkt 1 (x₁ = 70) hergestellt werden, wenn Produkt 2 außer Acht bleibt (x₂ = 0).

Ungleichung (4)

Für die vierte Restriktion erhält man mit der o.e. Methode x₁ = 0 / x₂ = 250 und x₂ = 0 / x₁ = 83,33.

Der Vorteil dieser Überlegung ist, dass man abschätzen kann, wie viele Einheiten auf den Achsen eingezeichnet werden müssen, damit das Bild nicht zu groß und nicht zu klein wird.

Natürlich existieren auch andere Methoden, um die Geraden zu erhalten.

So kann z.B. die Gleichung 1x₁ + 0,2x₂ = 70 nach x₂ aufgelöst werden (x₂ = 350 – 5x₁). Hiernach setzt man Zahlen für x₁ ein und erhält Punkte der Geraden.

Oder man sieht, dass 350 der Ordinatenabschnitt ist und – 5 die Steigung und konstruiert hiermit die Gerade.

Also erhält man die Abb. 1 für den zulässigen Bereich:

Abb. 1: Zulässiger Bereich

Nun kann man den Bereich schraffieren, denn die Linien geben lediglich die Gleichheit an, nicht den Fall „≤“ oder „≥“. Für eine „≤“-Restriktion wird der Bereich links von der Gerade schraffiert, für eine „≥“-Restriktion entsprechend der Bereich rechts hiervon.

Man beachte, dass die Nichtnegativitätsbedingungen dadurch eingehen, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse befindet. Der zulässige Bereich ist hier ein Hexagon, da dieser aus sechs Ecken besteht. Entsprechend kann man auch ein Pentagon (aus fünf Ecken), ein Heptagon (aus sieben Ecken) etc. erhalten. Allgemein nennt man den zulässigen Bereich ein Polyeder (= Vieleck = Simplex).

Viele Autoren nennen diesen Simplex den Bereich der zulässigen Lösungen und grenzen ihn von der oder den optimalen Lösungen ab, die in einer der Ecken oder auf einer Randlinie des Simplex liegen.

Graphisch wird dies in der folgenden Abb. 2 veranschaulicht:

Abb 2.: Lineare Programmierung

Allgemein erhält man zu einem fest vorgegebenen Niveau die ZF-Gerade als

Abb.3: Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden

Weiter rechts gelegene Zielfunktionsgeraden stehen also für einen höheren Zielfunktionswert, weiter links gelegene für einen niedrigeren. Der Gewinn wird offensichtlich dadurch maximiert, dass man die Zielfunktionsgerade möglichst weit nach rechts verschiebt, so dass sie den zulässigen Bereich gerade noch berührt.

Man sieht hier (bei sehr genauem Zeichnen), dass die Lösung bei x₁= 60 ME und x₂ = 50 ME liegt. Dazu sollte man die Restriktion (1) und (3) noch schneiden und nach x₂ auflösen: Einsetzen von x₁ = 60 in die Gleichung x₁ + 0,2x₂ = 70. Daraus folgt: 0,2x₂ = 70 - 60 = 10. Als Ergebnis ergibt sich schließlich x₂= 50 und x₁= 60.

Jede andere Aufteilung der Maschinenkapazität und der Arbeitsstunden auf die Produkte 1 und 2 hätte einen niedrigeren Gewinn ergeben.