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Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

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Für die graphische Lösung schreiben wir die Variablen der Zielfunktion an die Achsen. Die Ungleichungen (1) und (2) trägt man leicht ins Koordinatensystem ein, nämlich als Vertikale x2 = 150 und als Horinzontale x1 = 60, s. Abb. 1 . Für die anderen empfiehlt sich folgender

Wo treffen die Geraden auf die Achsen?

Hierzu ersetzt man „≤“ durch „=“, setzt genau eine der Variablen x1 oder x2 null und schaut, wie groß die jeweils andere sein muss, um die Gleichheit zu gewährleisten.

Ungleichung (3)

Wenn also x1 = 0 ist, muss x2 = 350 sein, damit genau gleich 70 resultiert. Genau so folgt aus x2 = 0 entsprechend x1 = 70. Die Gerade, die die Restriktion (3) repräsentiert, trifft also bei x1 = 0, x2 = 350 und x2 = 0, x1 = 70 die Achsen. Anders ausgedrückt: sie trifft bei x1 = 70 die Abszisse und bei x2 = 350 die Ordinate.

Wenn also nichts von Produkt 1 hergestellt wird (x1 = 0), können x2 = 350 ME von 2 auf der Maschine erstellt werden, entsprechend x1 = 70 ME von 1, wenn nichts von 2 erstellt wird.

Ungleichung (4)

Für die vierte Restriktion erhält man mit der o.e. Methode x1 = 0, x2 = 250 und x2 = 0, x1 = 83,33.

Der Vorteil dieser Überlegung ist, dass man abschätzen kann, wie viele Einheiten auf den Achsen eingezeichnet werden müssen, damit das Bild nicht zu groß und nicht zu klein wird.

Natürlich existieren auch andere Methoden, um die Geraden zu erhalten.

So kann z.B. die Gleichung 1x1 + 0,2x2 = 70 nach x2 aufgelöst werden (x2 = 350 – 5x1), hiernach setzt man Zahlen für x1 ein und erhält Punkte der Geraden.

Oder man sieht, dass 350 der Ordinatenabschnitt ist und – 5 die Steigung und konstruiert hiermit die Gerade.

Also erhält man die Abb. 1 für den zulässigen Bereich

Zulässiger Bereich
Abb. 1: Zulässiger Bereich

Nun kann man den Bereich schraffieren, denn die Linien geben lediglich die Gleichheit an, nicht den Fall „≤“ oder „≥“. Für eine „≤“-Restriktion wird der Bereich links von der Gerade schraffiert, für eine „≥“-Restriktion entsprechend der Bereich rechts hiervon.

Man beachte, dass die Nichtnegativitätsbedingungen dadurch eingehen, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse befindet. Der zulässige Bereich ist hier ein Hexagon, da aus sechs Ecken bestehend. Entsprechend kann man auch ein Pentagon (aus fünf Ecken), ein Heptagon (aus sieben Ecken) etc. erhalten. Allgemein nennt man den zulässigen Bereich ein Polyeder (= Vieleck =Simplex).

Viele Autoren nennen diesen Simplex den Bereich der zulässigen Lösungen und grenzen ihn ab von der oder den optimalen Lösungen, die in einer der Ecken oder auf einer Randlinie des Simplex liegen.

Bei der Zielfunktion ZF = ax1 + bx2 zeichnet man den Vorfaktor a auf die x2-Achse, b auf die x1-Achse und verbindet die beiden Punkte. Es resultiert eine Zielfunktionsgerade. 

Siehe dies in Abb. 2

Lineare Programmierung
Abb 2.: Lineare Programmierung

Merke

Dies ist nicht die einzige Zielfunktionsgerade. In Abhängigkeit vom Wert ZF in der Gleichung ZF = 270x1 + 45x2 erhält man unendlich viele Zielfunktionsgeraden, die alle parallel zueinander sind. Die o.e. Gerade passt offenbar zu dem Wert 
ZF = 270x1 + 45x2 = 270 . 45 + 45 . 270 = 24.300.

Allgemein erhält man zu einem fest vorgegebenen Niveau ZF die Gerade als

x2 = $ \frac{ZF}{45}-\frac{270}{45} $ x1= $ \frac{ZF}{45} $ - 6x1 (Zielfunktionsgerade)
Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden
Abb.3: Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden

Weiter rechts gelegene Zielfunktionsgeraden stehen also für einen höheren Zielfunktionswert, weiter links gelegene für einen niedrigeren. Der Gewinn wird offensichtlich dadurch maximiert, dass man die Zielfunktionsgerade möglichst weit nach rechts verschiebt, so dass sie den zulässigen Bereich gerade noch berührt.

Merke

Meistens liegt das Optimum in der Linearen Programmierung in einer Ecke des zulässigen Bereichs, was graphisch leicht ersichtlich ist. Es ist allerdings auch möglich, dass die Zielfunktionsgerade und die entsprechende Restriktion dieselbe Steigung haben und also die Lösung nicht in einer Ecke liegt. Vielmehr existieren dann unendlich viele Lösungen. Wir werden im weiteren Verlauf darauf zurückkommen.

Man sieht hier (bei sehr genauem Zeichnen), dass die Lösung bei x1= 60 ME und x2 = 50 ME liegt. Dazu sollte man die Restriktion (1) und (3) noch schneiden und nach x2 auflösen: x1 = 60, x1 + 0,2x2= 70, also 0,2x2= 70 - 60 = 10, mithin x2= 50, x1= 60.

Merke

Erste Interpretation: 

Der Gewinn liegt bei G = 270x1 + 45x2 = 270 · 60 + 45 · 50 = 18.450. Es bleiben von der Absatzkapazität des zweiten Produkts gewissermaßen 100 ME ungenutzt, die Absatzrestriktion des ersten Gutes hingegen wird voll ausgenutzt (60 + 0,2·50 = 70). Die Arbeitsstunden hingegen werden nicht voll ausgelastet: 150 · 60 + 50 · 50 = 11.500. Es bleiben also 1.000 Stunden ungenutzt.

Jede andere Aufteilung der Maschinenkapazität und der Arbeitsstunden auf die Produkte 1 und 2 hätte einen niedrigeren Gewinn ergeben.

Video: Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

Eintragung der Ungleichungen in das Koordinatensystem, Bestimmung des zulässigen Bereiches, Bestimmung der Zielfunktionsgeraden, Graphische Lösung des Maximierungsproblems und abschließende Interpretation der Ergebnisse.
Multiple-Choice
Zulässiger Bereich

Welcher Bereich ist hier schraffiert?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

  • Maren Nebeling schrieb am 28.04.2015 um 10:54 Uhr
    Hallo, vielen Dank für das positive Feedback. Ich werde den Verbesserungsvorschlag weitergeben. Weiterhin viel Spaß und Erfolg beim Lernen mit unserem Online-Kurs. Schöne Grüße
  • Regina Hoffmann schrieb am 26.04.2015 um 17:10 Uhr
    Diese Lerneinheit war mir eine große Hilfe. Vielen Dank dafür !!! Kleiner Verbesserungsvorschlag: Während des Erklärens neben dem White-Board stehen und nicht davor.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Graphische Darstellung des Maximierungsproblems ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Operations Research.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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    • Einleitung zu Maximierungsprobleme
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