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Operations Research - Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

Kursangebot | Operations Research | Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

Operations Research

Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

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Die Variablen der Zielfunktion werden an die Achsen geschrieben, um zu einer grafischen Lösung zu kommen.
Die 1. und 2. Ungleichung wird ins Koordinatensystem eingetragen als
Horizontale x2 = 150 und als Vertikale x1 = 60 (s. Abb. 1). Die folgende Vorgehensweise ist für die anderen zu empfehlen:

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenAn welchem Punkt treffen die Geraden auf die Achsen?

Einzusetzen sind hierbei die Zeichen „≤“ und „=“, wodurch eine der Variablen x1 oder x2 gleich null gesetzt wird, um zu schauen, wie groß die andere zu sein hat, damit eine Gleichheit entsteht.

3. Ungleichung

Wenn demnach x1 = 0 ist, so muss x2 = 350 sein, damit es genau gleich 70 ist. Ebenfalls ergibt sich aus  x2 = 0 auch x1 = 70. Die Gerade, welche für die Restriktion (3) steht, trifft demnach bei x1 = 0 / x2 = 350 und x2 = 0 / x2 = 70 die Achsen.
Anders formuliert: Die Gerade trifft bei x1 = 70 die Abszisse und bei x2 = 350 die Ordinate.

Falls nichts von Produkt a hergestellt wird (x1 = 0), so ist es möglich 350 ME von Produkt b (x2 = 350) mit der Maschine herzustellen. Somit können 70 ME von Produkt a (x1 = 70) produziert werden, wenn Produkt b außen vor bleibt (x2 = 0).

4. Ungleichung

Mit der oben genannten Methode erhält man für die vierte Restriktion x2 = 0 / x2 = 250 und x2 = 0 / x1 = 83,33.

Diese Überlegung hat den Vorteil abschätzen zu können, wie viele Einheiten auf den Achsen einzuzeichnen sind, um zu gewährleisten, dass das Bild genau passend ist.
Es sei jedoch auch zu erwähnen, dass auch andere Methoden dafür existieren, um die Geraden zu erhalten. Demnach kann die Gleichung 1x1 + 0,2x2 = 70 beispielsweise nach x2 aufgelöst werden (x2 = 350 – 5x1). Dabei werden Zahlen für x1 eingesetzt, wodurch man einen Punkt auf der Gerade erhält.

Auf der anderen Seite kann direkt vernommen werden, dass 350 der Ordinatenabschnitt ist und – 5 die Steigung, wodurch letztendlich die Gerade konstruiert wird.

Schlussendlich erhalten wir für den zulässigen Bereich die Abb. 1:

Zulässiger Bereich
Abb. 1: Zulässiger Bereich

Es kann nun der Bereich schraffiert werden, da die Linien nur die Gleichheit angeben und nicht den Fall „≤“ oder „≥“. Der Bereich links von der Gerade wird bei einer „≤“-Restriktion schraffiert. Bei einer „≥“-Restriktion wird der rechte Bereich davon schraffiert.

Zu beachten sei, dass die Nichtnegativitätsbedingungen dadurch zustande kommen, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse befindet. Allgemein wird bei dem zulässigen Bereich von einem Polyeder (= Vieleck = Simplex) gesprochen. Dieser zulässige Bereich hat jedoch sechs Ecken, weswegen es sich um einen Hexal handelt. Allerdings kann man ebenso ein Fünfeck (Pentagon) oder ein Siebeneck (Hetpagon) etc. erhalten.

Der Bereich der zulässigen Lösungen wird auch von vielen AutorInnen als Simplex bezeichnet, da sich dieser von den optimalen Lösungen abgrenzt, welche sich in einer der Ecken der Randlinie des Simplex befindet.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenDer Vorfaktor a wird bei der Zielfunktion ZF = ax1 + bx2 auf die  x2-Achse gezeichnet und b auf die x1-Achse, wodurch die beiden Punkte verbunden werden. Daraus entsteht eine Zielfunktionsgerade.

In der folgenden Grafik (Abb. 2) ist dies zu sehen:

Lineare Programmierung
Abb 2.: Lineare Programmierung

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs handelt sich dabei nicht um die einzige Zielfunktionsgerade, denn in Abhängigkeit vom ZF-Wert in der Gleichung ZF = 270x1 + 45x2 ergeben sich zahlreiche Zielfunktionsgeraden, welche alle parallel zueinander stehen.

Der entsprechende Wert für die oben genannte Gerade ist:

ZF = 270x1 + 45x2 = 270 . 45 + 45 . 270 = 24.300

Insgesamt bekommt man zu einem fest vorgegebenen Niveau die ZF-Gerade als:

x2 = $ \frac{ZF}{45}-\frac{270}{45} $ x1= $ \frac{ZF}{45} $ - 6x1(Zielfunktionsgerade)
Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden
Abb.3: Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden

Je weiter die Zielfunktionsgerade nach rechts verläuft, umso höher ist ihr  Zielfunktionswert. Befindet sich diese weiter links, so ist der Zielfunktionswert niedriger. Maximiert wird der Gewinn vor allen Dingen dann, wenn die Zielfunktionsgerade möglichst weit nach rechts verschoben wird, sodass der zulässige Bereich gerade noch berührt wird.

Merke

Hier klicken zum AusklappenIn den meisten Fällen befindet sich das Optimum der linearen Programmierung in einer Ecke des zulässigen Bereichs und wird graphisch deutlich. Möglich ist allerdings auch, dass die Zielfunktionsgerade und die dazugehörige Restriktion die gleiche Steigung aufweisen und sich die Lösung in der Ecke befindet (wodurch sich unendlich viele Lösungen ergeben). Im weiteren Verlauf wird dieser Zusammenhang näher beschrieben.

Bei einer exakten Einzeichnung wird ersichtlich, dass die Lösung bei x1= 60 ME und x2 = 50 ME liegt. Hierbei sind die Restriktionen (1) und (3) noch zu schneiden und nach x2 aufzulösen (Einsetzen von x1 = 60 in die Gleichung x1 + 0,2x2 = 70). Daraus ergibt sich: 0,2x2 = 70 - 60 = 10. Wir erhalten als Ergebnis x2= 50 und x1= 60.

Merke

Hier klicken zum AusklappenErste Deutung: 

Es liegt ein Gewinn vor von: G = 270x1 + 45x2 = 270 · 60 + 45 · 50 = 18.450. Es bleiben so gesehen 100 ME von der Absatzkapazität ungenutzt, wobei die Absatzrestriktion des ersten Gutes gänzlich verbraucht wird (60 + 0,2·50 = 70). Unausgelastet bleiben die Arbeitsstunden: 150 · 60 + 50 · 50 = 11.500. Somit bleiben 1.000 Stunden ungenutzt.

Aus jeder anderen Aufteilungen der Maschinenkapazität und der Arbeitsstunden auf die Produkte a und b, würde ein geringerer Gewinn resultieren.

 

Video: Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

 Ein weiteres Rechenbeispiel soll das Vorgehen noch einmal zusammengefasst verdeutlichen:

Video: Graphische Darstellung des Maximierungsproblems