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Operations Research - Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

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Operations Research

Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

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Für die graphische Lösung schreiben wir die Variablen der Zielfunktion an die Achsen. Die Ungleichungen (1) und (2) trägt man leicht ins Koordinatensystem ein, nämlich als Horizontale x2 = 150 und als Vertikale x1 = 60, s. Abb. 1. Für die anderen ist folgende Vorgehensweise empfehlenswert:

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenWo treffen die Geraden auf die Achsen?

Hierzu ersetzt man „≤“ durch „=“, setzt genau eine der Variablen x1 oder x2 gleich null und schaut, wie groß die jeweils andere sein muss, um die Gleichheit zu gewährleisten.

Ungleichung (3)

Wenn also x1 = 0 ist muss x2 = 350 sein, damit genau gleich 70 resultiert. Genau so folgt aus x2 = 0 entsprechend x1 = 70. Die Gerade, die die Restriktion (3) repräsentiert, trifft also bei x1 = 0 / x2 = 350 und x2 = 0 / x1 = 70 die Achsen. Anders ausgedrückt: sie trifft bei x1 = 70 die Abszisse und bei x2 = 350 die Ordinate.

Wenn also nichts von Produkt 1 hergestellt wird (x1 = 0), können 350 ME von Produkt 2 (x2 = 350) auf der Maschine erstellt werden. Dementsprechend können 70 ME von Produkt 1 (x1 = 70) hergestellt werden, wenn Produkt 2 außer Acht bleibt (x2 = 0).

Ungleichung (4)

Für die vierte Restriktion erhält man mit der o.e. Methode x1 = 0 / x2 = 250 und x2 = 0 / x1 = 83,33.

Der Vorteil dieser Überlegung ist, dass man abschätzen kann, wie viele Einheiten auf den Achsen eingezeichnet werden müssen, damit das Bild nicht zu groß und nicht zu klein wird.

Natürlich existieren auch andere Methoden, um die Geraden zu erhalten.

So kann z.B. die Gleichung 1x1 + 0,2x2 = 70 nach x2 aufgelöst werden (x2 = 350 – 5x1). Hiernach setzt man Zahlen für x1 ein und erhält Punkte der Geraden.

Oder man sieht, dass 350 der Ordinatenabschnitt ist und – 5 die Steigung und konstruiert hiermit die Gerade.

Also erhält man die Abb. 1 für den zulässigen Bereich:

Zulässiger Bereich
Abb. 1: Zulässiger Bereich

Nun kann man den Bereich schraffieren, denn die Linien geben lediglich die Gleichheit an, nicht den Fall „≤“ oder „≥“. Für eine „≤“-Restriktion wird der Bereich links von der Gerade schraffiert, für eine „≥“-Restriktion entsprechend der Bereich rechts hiervon.

Man beachte, dass die Nichtnegativitätsbedingungen dadurch eingehen, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse befindet. Der zulässige Bereich ist hier ein Hexagon, da dieser aus sechs Ecken besteht. Entsprechend kann man auch ein Pentagon (aus fünf Ecken), ein Heptagon (aus sieben Ecken) etc. erhalten. Allgemein nennt man den zulässigen Bereich ein Polyeder (= Vieleck = Simplex).

Viele Autoren nennen diesen Simplex den Bereich der zulässigen Lösungen und grenzen ihn von der oder den optimalen Lösungen ab, die in einer der Ecken oder auf einer Randlinie des Simplex liegen.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenBei der Zielfunktion ZF = ax1 + bx2 zeichnet man den Vorfaktor a auf die x2-Achse, b auf die x1-Achse und verbindet die beiden Punkte. Es resultiert eine Zielfunktionsgerade

Graphisch wird dies in der folgenden Abb. 2 veranschaulicht:

Lineare Programmierung
Abb 2.: Lineare Programmierung

Merke

Hier klicken zum AusklappenDies ist nicht die einzige Zielfunktionsgerade. In Abhängigkeit vom ZF-Wert in der Gleichung ZF = 270x1 + 45x2 erhält man unendlich viele Zielfunktionsgeraden, die alle parallel zueinander sind. Die o.e. Gerade passt offenbar zu dem Wert 
ZF = 270x1 + 45x2 = 270 . 45 + 45 . 270 = 24.300.

Allgemein erhält man zu einem fest vorgegebenen Niveau die ZF-Gerade als

x2 = $ \frac{ZF}{45}-\frac{270}{45} $ x1= $ \frac{ZF}{45} $ - 6x1(Zielfunktionsgerade)
Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden
Abb.3: Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden

Weiter rechts gelegene Zielfunktionsgeraden stehen also für einen höheren Zielfunktionswert, weiter links gelegene für einen niedrigeren. Der Gewinn wird offensichtlich dadurch maximiert, dass man die Zielfunktionsgerade möglichst weit nach rechts verschiebt, so dass sie den zulässigen Bereich gerade noch berührt.

Merke

Hier klicken zum AusklappenMeistens liegt das Optimum in der Linearen Programmierung in einer Ecke des zulässigen Bereichs, was graphisch leicht ersichtlich ist. Es ist allerdings auch möglich, dass die Zielfunktionsgerade und die entsprechende Restriktion dieselbe Steigung haben und die Lösung nicht in einer Ecke liegt. Vielmehr existieren dann unendlich viele Lösungen. Wir werden im weiteren Verlauf darauf zurückkommen.

Man sieht hier (bei sehr genauem Zeichnen), dass die Lösung bei x1= 60 ME und x2 = 50 ME liegt. Dazu sollte man die Restriktion (1) und (3) noch schneiden und nach x2 auflösen: Einsetzen von x1 = 60 in die Gleichung x1 + 0,2x2 = 70. Daraus folgt: 0,2x2 = 70 - 60 = 10. Als Ergebnis ergibt sich schließlich x2= 50 und x1= 60.

Merke

Hier klicken zum AusklappenErste Interpretation: 

Der Gewinn liegt bei G = 270x1 + 45x2 = 270 · 60 + 45 · 50 = 18.450. Von der Absatzkapazität des zweiten Produkts bleiben gewissermaßen 100 ME ungenutzt, während die Absatzrestriktion des ersten Gutes voll ausgenutzt wird (60 + 0,2·50 = 70). Die Arbeitsstunden werden hingegen nicht voll ausgelastet: 150 · 60 + 50 · 50 = 11.500. Es bleiben also 1.000 Stunden ungenutzt.

Jede andere Aufteilung der Maschinenkapazität und der Arbeitsstunden auf die Produkte 1 und 2 hätte einen niedrigeren Gewinn ergeben.

Video: Graphische Darstellung des Maximierungsproblems