Graphische Darstellung des Maximierungsproblems

Die Variablen der Zielfunktion werden an die Achsen geschrieben, um zu einer grafischen Lösung zu kommen.
Die 1. und 2. Ungleichung wird ins Koordinatensystem eingetragen als
Horizontale x₂ = 150 und als Vertikale x₁ = 60 (s. Abb. 1). Die folgende Vorgehensweise ist für die anderen zu empfehlen:

3. Ungleichung

Wenn demnach x₁ = 0 ist, so muss x₂ = 350 sein, damit es genau gleich 70 ist. Ebenfalls ergibt sich aus  x₂ = 0 auch x₁ = 70. Die Gerade, welche für die Restriktion (3) steht, trifft demnach bei x1 = 0 / x₂ = 350 und x₂ = 0 / x₂ = 70 die Achsen.
Anders formuliert: Die Gerade trifft bei x₁ = 70 die Abszisse und bei x₂ = 350 die Ordinate.

Falls nichts von Produkt a hergestellt wird (x₁ = 0), so ist es möglich 350 ME von Produkt b (x₂ = 350) mit der Maschine herzustellen. Somit können 70 ME von Produkt a (x₁ = 70) produziert werden, wenn Produkt b außen vor bleibt (x₂ = 0).

4. Ungleichung

Mit der oben genannten Methode erhält man für die vierte Restriktion x₂ = 0 / x₂ = 250 und x₂ = 0 / x₁ = 83,33.

Diese Überlegung hat den Vorteil abschätzen zu können, wie viele Einheiten auf den Achsen einzuzeichnen sind, um zu gewährleisten, dass das Bild genau passend ist.
Es sei jedoch auch zu erwähnen, dass auch andere Methoden dafür existieren, um die Geraden zu erhalten. Demnach kann die Gleichung 1x₁ + 0,2x₂ = 70 beispielsweise nach x₂ aufgelöst werden (x₂ = 350 – 5x₁). Dabei werden Zahlen für x₁ eingesetzt, wodurch man einen Punkt auf der Gerade erhält.

Auf der anderen Seite kann direkt vernommen werden, dass 350 der Ordinatenabschnitt ist und – 5 die Steigung, wodurch letztendlich die Gerade konstruiert wird.

Schlussendlich erhalten wir für den zulässigen Bereich die Abb. 1:

Abb. 1: Zulässiger Bereich

Es kann nun der Bereich schraffiert werden, da die Linien nur die Gleichheit angeben und nicht den Fall „≤“ oder „≥“. Der Bereich links von der Gerade wird bei einer „≤“-Restriktion schraffiert. Bei einer „≥“-Restriktion wird der rechte Bereich davon schraffiert.

Zu beachten sei, dass die Nichtnegativitätsbedingungen dadurch zustande kommen, dass sich der zulässige Bereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse befindet. Allgemein wird bei dem zulässigen Bereich von einem Polyeder (= Vieleck = Simplex) gesprochen. Dieser zulässige Bereich hat jedoch sechs Ecken, weswegen es sich um einen Hexal handelt. Allerdings kann man ebenso ein Fünfeck (Pentagon) oder ein Siebeneck (Hetpagon) etc. erhalten.

Der Bereich der zulässigen Lösungen wird auch von vielen AutorInnen als Simplex bezeichnet, da sich dieser von den optimalen Lösungen abgrenzt, welche sich in einer der Ecken der Randlinie des Simplex befindet.

In der folgenden Grafik (Abb. 2) ist dies zu sehen:

Abb 2.: Lineare Programmierung

Insgesamt bekommt man zu einem fest vorgegebenen Niveau die ZF-Gerade als:

Abb.3: Unterschiedliche Zielfunktionsgeraden

Je weiter die Zielfunktionsgerade nach rechts verläuft, umso höher ist ihr  Zielfunktionswert. Befindet sich diese weiter links, so ist der Zielfunktionswert niedriger. Maximiert wird der Gewinn vor allen Dingen dann, wenn die Zielfunktionsgerade möglichst weit nach rechts verschoben wird, sodass der zulässige Bereich gerade noch berührt wird.

Bei einer exakten Einzeichnung wird ersichtlich, dass die Lösung bei x₁= 60 ME und x₂ = 50 ME liegt. Hierbei sind die Restriktionen (1) und (3) noch zu schneiden und nach x₂ aufzulösen (Einsetzen von x₁ = 60 in die Gleichung x₁ + 0,2x₂ = 70). Daraus ergibt sich: 0,2x₂ = 70 - 60 = 10. Wir erhalten als Ergebnis x₂= 50 und x₁= 60.

Aus jeder anderen Aufteilungen der Maschinenkapazität und der Arbeitsstunden auf die Produkte a und b, würde ein geringerer Gewinn resultieren.

 Ein weiteres Rechenbeispiel soll das Vorgehen noch einmal zusammengefasst verdeutlichen: