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Stepping-Stone-Methode

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Die gefundenen Ausgangslösungen – egal ob mittels Nordwest-Ecken-Methode oder Matrix-Minimum-Methode – sind meistens noch nicht optimal, können aber sukzessive mit Hilfe des Stepping-Stone-Verfahrens optimiert werden.

Methode

KOCHREZEPT STEPPING-STONE:

1. Bewerte alle Felder, die nicht besetzt wurden
a. Wegbestimmung mit Stepping-Stone

i. starte in einem Feld, das vorher nicht besetzt wurde

ii. gehe lediglich über Felder, die besetzt sind

iii. wechsle rechtwinklig nach jedem Schritt die Richtung

iv. beende den Weg in derjenigen Zeile (bzw. Spalte), in der gestartet wurde. Es entsteht damit ein Zyklus.
ACHTUNG: der Weg kann über mehr als vier Felder gehen, da besetzte als auch unbesetzte Felder übersprungen werden dürfen.

b. vergib ein Plus an die Kosten des ersten Feldes des Stepping-Stone-Weges

2. vergib danach ein Minus, ein Plus, ein Minus usw. an die Kosten der folgenden Felder des Weges

3. summiere diese Zahlen (unter Beachtung des Vorzeichens!) auf

4. bilde diese Werte für alle unbesetzten Felder

5. bestimme das Feld, welches die niedrigste negative Bewertung und also die höchste Kostenersparnis hat

6. besetze dieses Feld mit der maximal möglichen Menge, die hierüber transportiert werden kann.

Mit Hilfe des 1. Schrittes wird also errechnet, welche Mehrkosten (bzw. welche Kostenersparnisse) sich ergeben, wenn genau eine Palette über das entsprechende Feld verschickt wird.

Wir zeigen die Anwendung der Stepping-Stone-Methode auf die gefundene Ausgangslösung nach der Nordwest-Ecken-Methode und erklären die Bewertung des Feldes (Paris, Düsseldorf).

Wenn eine Palette von Paris nach Düsseldorf geliefert würde, ergäbe sich folgende Änderung:

  • die Kosten steigen um 12 €

  • die Kosten sinken um 15 €,

    • denn da Düsseldorf nun eine Palette mehr erhält (über Paris), muss die Lieferung von Grasse nach Düsseldorf reduziert werden

  • die Kosten steigen um 17 €,

    • denn die eine Mengeneinheit, die weniger von Grasse nach Düsseldorfgeliefert wird, kann nun stattdessen nach Köln verschickt werden

die Kosten sinken um 13 €,

  • denn der Bedarf von Köln wäre übererfüllt, wenn die Lieferung von Parisnach Kölnnicht um eine Mengeneinheit sänke.

Wir haben einen Zyklus, da die Paris-Zeile wieder erreicht wurde.

Es resultiert +12 – 15 + 17 – 13 = +1 €. Der gewählte Weg (Paris, Düsseldorf)g(Grasse, Köln)g(Paris, Köln) erhöht also die Kosten um 1 € durch die Umschichtung einer Mengeneinheit. Er wird deshalb nicht weiter berücksichtigt.

Analog bewertet man die anderen Felder:

(London, Düsseldorf):

+13 –15 + 17 –13 +10 –11

= +1

(London, Köln):

+18 –13 +10 –11

= +4

(Grasse, Hamburg):

+11 – 10 +13 –17

= -3

(Grasse, Berlin):

+5 –8 +11 –10 +13 –17

= -6

(Paris, Berlin):

+4 –8 +11 –10

= -3

Düsseldorf

Köln

Hamburg

Berlin

Bestand

Grasse

-

-3

-6

300

Paris

+1

-3

250

London

+1

+4

210

Bedarf

200

220

140

200

760

Tab. 37: Stepping-Stone – Umbewertung durch Paris/Düsseldorf

Die größte Kostenersparnis ist damit zu erzielen, dass möglichst viele Packungen über Grasse nach Berlingeliefert werden und man also die genannte Umschichtung vornimmt.

Methode

Fraglich ist dann, wie viele Packungen sich maximal umschichten lassen.

Hierzu muss man den Stepping-Stone-Weg (Paris, Düsseldorf)g(Grasse, Köln)g(Paris, Köln) betrachten. Man sieht, dass sich maximal 100 Packungen umschichten lassen.

Düsseldorf

Köln

Hamburg

Berlin

Bestand

Grasse

200

0

100

300

Paris

220

30

250

London

110

100

210

Bestand

200

220

140

200

760

Tab. 38: Umschichtungsmöglichkeit durch Stepping-Stone

Die Transportkosten sind damit auf

K = 200·15 + 220·13 + 30·10 + 110·11 + 100·8 + 100·5

= 8.670 €

gesunken. Es handelt sich also um eine deutliche Verbesserung im Vergleich zur Ausgangslösung der Nordwest-Ecken-Methode (dass diese Lösung immer noch schlechter ist als die Ausgangslösung der Matrix-Minimum-Methode ist unerheblich).

Auch diese gefundene Lösung kann auf Verbesserungspotentiale untersucht werden. Solange wie bei den Stepping-Stone-Wegen noch Zahlen resultieren, die kleiner sind als null, lassen sich die Transportkosten insgesamt reduzieren. Erst wenn alle Ergebnisse positiv sind, ist das Optimum gefunden.

Videos zur Stepping-Stone-Methode

In diesen Videos besprechen wir ein weiteres Beispiel zur Stepping-Stone-Methode. 

Video: Stepping-Stone-Methode

Ausführliches Beispiel zu diesem Verfahren zur Optimierung einer gefundenen Ausgangslösung eines Transportproblems.

Video: Stepping-Stone-Methode

Ausführliches Beispiel zu diesem Verfahren zur Optimierung einer gefundenen Ausgangslösung eines Transportproblems.

Video zur Bewertung der freien Felder

Abschließend schauen wir uns ein Lernvideo zur Bewertung der freien Felder bei der Stepping-Stone-Methode an:

Video: Stepping-Stone-Methode

Ausführliches Beispiel zu diesem Verfahren zur Optimierung einer gefundenen Ausgangslösung eines Transportproblems.
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Kommentare zum Thema: Stepping-Stone-Methode

  • Maren Nebeling schrieb am 03.02.2015 um 09:26 Uhr
    Hallo, vielen Dank für den Hinweis. Ja unser Kurs endet an dieser Stelle. Den Wunsch nach einem Video habe ich an unseren Autor weitergegeben. Ebenfalls habe ich angeregt, dass die beiden Themen in Zukunft auch bei uns in diesem Kurs zu lesen sind. Schöne Grüße
  • anastasius schrieb am 01.02.2015 um 22:14 Uhr
    Gerade hier wäre ein Video wirklich hilfreich gewesen. Leider sind Matrix-Minimum- und Stepping-Stone-Methoden in meiner Klausur irrelevant; dort werden Vogel-Approximation und MODI-Methode abgefragt... Schade! Ist der Kurs dann hier zuende? Hänge irgendwie in der Luft.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Stepping-Stone-Methode ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Operations Research.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Einleitung zu Maximierungsprobleme
  • Beste Lösung, Graphische Lösung
    • Aufstellen des Problems
    • Graphische Darstellung des Maximierungsproblems
  • Analytische Lösung
    • Vorbereitung
    • Schlupfvariablen
    • Aufstellen des Ausgangstableaus
    • Der Simplex-Algorithmus
    • Simplex-Austausch-Schritt
    • Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus
  • Entartung
    • Mehrdeutigkeit
    • Degeneration
  • Sensitivitätsanalyse
    • Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten
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