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An einem Beispiel wird der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient erklärt.
Beispiel
Beispiel:
Es seien folgende Werte zweier Variablen X und Y gegeben:
| Y | X |
| 2 | 4 |
| 3 | 1 |
| 4 | 0 |
| 3 | 3 |
Berechne den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.
Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson
Expertentipp
Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient - Schema:
- Urliste von X und Y bestimmen.
- Arithmetische Mittel $\ \overline x = {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $ und $\ \overline y = {1 \over n} \sum_{i=1}^n y_i $ ausrechnen.
- Differenz der Werte vom jeweiligen aritmetischen Mittel bilden.
- Differenzen quadrieren, also $\ (x_i - \overline x)^2 $ und $\ (y_i - \overline y)^2 $berechnen.
- Produkt der Abweichungen ermitteln, also $\ (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) $ .
- Summe der Zahlen aus Schritt 4 und 5 ermitteln, nämlich $$\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 $$ $$\ \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2 $$ und $$\ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) (y_i- \overline y) $$
- Einsetzen in die Formel $$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} $$
Für das o.e. Beispiel rechnet man die einzelnen Schritte einfach in einer Arbeitstabelle durch.
| Schritt 1 | Schritt 3 | Schritt 4 | Schritt 5 | ||||
| i | $\ y_i $ | $\ x_i $ | $\ y_i- \overline y $ | $\ x_i- \overline x $ | $\ (y_i - \overline y)^2 $ | $\ (x_i - \overline x)^2 $ | $\ (x_i – \overline x)(y_i - \overline y) $ |
| 1 | 2 | 4 | -1 | 2 | 1 | 4 | -2 |
| 2 | 3 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 4 | 0 | 1 | -2 | 1 | 4 | -2 |
| 4 | 3 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Schritt 6 | $\ \sum $= 2 | $ \sum $ = 10 | $\ \sum $ = -4 | ||||
Es ist $\ \overline x = {4 + 1 + 0 + 3 \over 4} = {8 \over 4} = 2 $ und $\ \overline y ={2 + 3 + 4 + 3 \over 4} = {12 \over 4} = 3 $. Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson lautet demnach
$$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} ={ -4 \over \sqrt {10 \cdot 2}}=-0,8944 $$
Da $\ r_{BP} $ zwischen –1 und + 1 liegt, liegt mit – 0,8944 ein recht starker Zusammenhang vor.
Merke
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson misst nur lineare Zusammenhänge zwischen zwei Größen. Wenn also rBP nahe bei 0 liegt, so heißt dies lediglich, dass kaum ein linearer Zusammenhang vorliegt. Es könnte aber sehr wohl ein nichtlinearer Zusammenhang existiert, so z.B. ein exponentieller. Das heißt, dass aus der Unkorreliertheit nicht die Unabhängigkeit folgt!
Darstellung im Streuungsdiagramm
Die Extremfälle für $\ r_{BP} $ lassen sich im Streuungsdiagramm darstellen.
$\ r_{BP} $ = 1 heißt, dass die Punkte des Streudiagramms exakt auf einer positiv geneigten Geraden liegen.
$\ r_{BP} $ = -1 heißt, dass die Punkte exakt auf einer negativ geneigten Geraden liegen.
Wenn $\ r_{BP} $ nahe bei +1 liegt, dann ist der Grund hierfür, dass die einzelnen Punkte fast auf einer – positiv geneigten – Geraden liegen,
$\ r_{BP} $ nahe bei – 1 bedeutet, dass die Punkte fast auf einer – negativ geneigten – Geraden liegen
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