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An einem Beispiel wird der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient erklärt.
Beispiel
Beispiel 57:
Es seien folgende Werte zweier Variablen X und Y gegeben:
| X | Y |
| 4 | 2 |
| 6 | 3 |
| 3 | 1 |
| 5 | 4 |
| 7 | 5 |
Berechne den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.
Berechnung Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Methode
Schema zur Bestimmung des Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient:
- Urliste von X und Y bestimmen.
- Arithmetische Mittel $\ \overline x = {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $ und $\ \overline y = {1 \over n} \sum_{i=1}^n y_i $ ausrechnen.
- Differenz der Werte vom jeweiligen arithmetischen Mittel bilden, d.h. und ausrechnen.
- Differenzen quadrieren, also $\ (x_i - \overline x)^2 $ und $\ (y_i - \overline y)^2 $berechnen.
- Produkt der Abweichungen ermitteln, also $\ (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) $ .
- Summe der Zahlen aus Schritt 4 und 5 ermitteln, nämlich
$\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 $
$\ \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2 $ und
$\ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) (y_i- \overline y) $ - Einsetzen in die Formel $$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} $$
Für das oben genannte Beispiel 57 rechnet man die einzelnen Schritte einfach in einer Arbeitstabelle:
| Schritt 1 | Schritt 3 | Schritt 4 | Schritt 5 | ||||
| i | $\ x_i $ | $\ y_i $ | $\ x_i- \overline x $ | $\ y_i- \overline y $ | $\ (x_i - \overline x)^2 $ | $\ (y_i - \overline y)^2 $ | $\ (x_i – \overline x)(y_i - \overline y) $ |
| 1 | 4 | 2 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 6 | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 3 | 1 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 4 | 5 | 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 7 | 5 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 |
| Schritt 6 | $\ \sum $ = 10 | $ \sum $ = 10 | $\ \sum $ = 9 | ||||
Es ist $\ \overline x = {4 + 6 + 3 + 5 + 7 \over 5} = {25 \over 5} = 5 $ und $\ \overline y ={2 + 3 + 1 + 4 + 5 \over 5} = {15\over 5} = 3 $.
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson lautet demnach:
$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} ={ 9 \over \sqrt {10 \cdot 10}}= 0,9 $
Da $\ r_{BP} $ zwischen –1 und + 1 liegt, liegt mit 0,9 ein recht starker positiver Zusammenhang vor.
Hinweis
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson misst nur lineare Zusammenhänge zwischen zwei Größen. Wenn also rBP nahe bei 0 liegt, so heißt dies lediglich, dass kaum ein linearer Zusammenhang vorliegt. Es könnte aber sehr wohl ein nichtlinearer existieren, so z.B. ein exponentieller Zusammenhang. Dies heißt, dass aus der Unkorreliertheit nicht die Unabhängigkeit folgt!
Darstellung im Streuungsdiagramm
Die Extremfälle für $\ r_{BP} $ lassen sich am Streuungsdiagramm darstellen.
$\ r_{BP} $ = 1 bedeutet, dass die Punkte des Streudiagramms genau auf einer positiv geneigten Geraden liegen,
$\ r_{BP} $ = -1 liegen die Punkte exakt auf einer Geraden mit negativer Steigung.
Wenn $\ r_{BP} $ nahe bei +1 liegt, dann ist der Grund hierfür, dass die einzelnen Punkte fast auf einer – positiv geneigten – Geraden liegen, $\ r_{BP} $ nahe bei – 1 bedeutet, dass die Punkte fast auf einer – negativ geneigten – Geraden liegen.
Ist der Betrag von r ungefähr null, liegt (wie schon erwähnt) keine lineare Korrelation vor. Bei Werten bis 0,5 spricht man i.d.R. von einer schwachen, bei Werten von 0,5 bis 0,8 von einer mittleren und von 0,8 bis 1,0 von einer starken Korrelation.
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