ZU DEN KURSEN!

Deskriptive Statistik - Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

Kursangebot | Deskriptive Statistik | Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

Deskriptive Statistik

Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

wiwiweb JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien erwarten dich:
Komplettpaket für wiwi-Studenten


1682 Lerntexte mit den besten Erklärungen

374 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3837 Übungen zum Trainieren der Inhalte

2230 informative und einprägsame Abbildungen

An einem Beispiel wird der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient erklärt.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Beispiel 57:

Es seien folgende Werte zweier Variablen X und Y gegeben:

XY
42
63
31
54
75

Berechne den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.

Berechnung Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Schema zur Bestimmung des Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient:

  1. Urliste von X und Y bestimmen.

  2. Arithmetische Mittel $\ \overline x = {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $ und $\ \overline y = {1 \over n} \sum_{i=1}^n y_i $ ausrechnen.

  3. Differenz der Werte vom jeweiligen arithmetischen Mittel bilden, d.h. und ausrechnen.

  4. Differenzen quadrieren, also $\ (x_i - \overline x)^2 $ und $\ (y_i - \overline y)^2 $berechnen.

  5. Produkt der Abweichungen ermitteln, also $\ (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) $ .

  6. Summe der Zahlen aus Schritt 4 und 5 ermitteln, nämlich
    $\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 $
    $\ \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2 $ und
    $\ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) (y_i- \overline y) $

  7. Einsetzen in die Formel $$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} $$

Für das oben genannte Beispiel 57 rechnet man die einzelnen Schritte einfach in einer Arbeitstabelle:

  Schritt 1 Schritt 3 Schritt 4 Schritt 5
i $\ x_i $ $\ y_i $$\ x_i- \overline x $$\ y_i- \overline y $ $\ (x_i - \overline x)^2 $ $\ (y_i - \overline y)^2 $ $\ (x_i – \overline x)(y_i - \overline y) $
142-1-1111
26310100
331-2-2444
45401010
57522444
    Schritt 6$\ \sum $ = 10$ \sum $ = 10$\ \sum $ = 9

Es ist $\ \overline x = {4 + 6 + 3 + 5 + 7 \over 5} = {25 \over 5} = 5 $ und $\ \overline y ={2 + 3 + 1 + 4 + 5 \over 5} = {15\over 5} = 3 $.

Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson lautet demnach:

$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} ={ 9 \over \sqrt {10 \cdot 10}}= 0,9 $

Da $\ r_{BP} $ zwischen –1 und + 1 liegt, liegt mit 0,9 ein recht starker positiver Zusammenhang vor.

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson misst nur lineare Zusammenhänge zwischen zwei Größen. Wenn also rBP nahe bei 0 liegt, so heißt dies lediglich, dass kaum ein linearer Zusammenhang vorliegt. Es könnte aber sehr wohl ein nichtlinearer existieren, so z.B. ein exponentieller Zusammenhang. Dies heißt, dass aus der Unkorreliertheit nicht die Unabhängigkeit folgt!

Darstellung im Streuungsdiagramm

Die Extremfälle für $\ r_{BP} $ lassen sich am Streuungsdiagramm darstellen.

$\ r_{BP} $ = 1 bedeutet, dass die Punkte des Streudiagramms genau auf einer positiv geneigten Geraden liegen,
$\ r_{BP} $ = -1 liegen die Punkte exakt auf einer Geraden mit negativer Steigung.

Exakte Korrelation
Abb.29: Exakte Korrelation


Wenn $\ r_{BP} $ nahe bei +1 liegt, dann ist der Grund hierfür, dass die einzelnen Punkte fast auf einer – positiv geneigten – Geraden liegen, $\ r_{BP} $ nahe bei – 1 bedeutet, dass die Punkte fast auf einer – negativ geneigten – Geraden liegen.

Starke Korrelation
Abb.30: Starke Korrelation

Ist der Betrag von r ungefähr null, liegt (wie schon erwähnt) keine lineare Korrelation vor. Bei Werten bis 0,5 spricht man i.d.R. von einer schwachen, bei Werten von 0,5 bis 0,8 von einer mittleren und von 0,8 bis 1,0 von einer starken Korrelation.