Kursangebot | Deskriptive Statistik | Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

Deskriptive Statistik

Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

x
Juracademy JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien für deine Prüfungsvorbereitung erwarten dich:
wiwiweb.de Flatrate


1272 Lerntexte mit den besten Erklärungen

412 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3121 Übungen zum Trainieren der Inhalte

516 informative und einprägsame Abbildungen

An einem Beispiel wird der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient erklärt.

Beispiel

Beispiel 57:
Es seien folgende Werte zweier Variablen X und Y gegeben:

Y X
2 4
3 1
4 0
3 3

Berechne den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.

Berechnung Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient - Schema:

  1. Urliste von X und Y bestimmen.
  2. Arithmetische Mittel $\ \overline x = {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $ und $\ \overline y = {1 \over n} \sum_{i=1}^n y_i $ ausrechnen.
  3. Differenz der Werte vom jeweiligen arithmetischen Mittel bilden, d.h. und ausrechnen.
  4. Differenzen quadrieren, also $\ (x_i - \overline x)^2 $ und $\ (y_i - \overline y)^2 $berechnen.
  5. Produkt der Abweichungen ermitteln, also $\ (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) $ .
  6. Summe der Zahlen aus Schritt 4 und 5 ermitteln, nämlich $$\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 $$ $$\ \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2 $$ und $$\ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) (y_i- \overline y) $$
  7. Einsetzen in die Formel $$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} $$

Für das o.e. Beispiel 57 rechnet man die einzelnen Schritte einfach in einer Arbeitstabelle durch.

Schritt 1 Schritt 3 Schritt 4 Schritt 5
i $\ y_i $ $\ x_i $ $\ y_i- \overline y $ $\ x_i- \overline x $ $\ (y_i - \overline y)^2 $ $\ (x_i - \overline x)^2 $ $\ (x_i – \overline x)(y_i - \overline y) $
               
1 2 4 -1 2 1 4 -2
2 3 1 0 -1 0 1 0
3 4 0 1 -2 1 4 -2
4 3 3 0 1 0 1 0
        Schritt 6 $\ \sum $= 2 $ \sum $ = 10 $\ \sum $ = -4

Es ist $\ \overline x = {4 + 1 + 0 + 3 \over 4} = {8 \over 4} = 2 $ und $\ \overline y ={2 + 3 + 4 + 3 \over 4} = {12 \over 4} = 3 $. Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson lautet demnach

$$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} ={ -4 \over \sqrt {10 \cdot 2}}=-0,8944 $$
Da $\ r_{BP} $ zwischen –1 und + 1 liegt, liegt mit – 0,8944 ein recht starker Zusammenhang vor.

Merke

Merke:
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson misst nur lineare Zusammenhänge zwischen zwei Größen. Wenn also rBP nahe bei 0 liegt, so heißt dies lediglich, dass kaum ein linearer Zusammenhang vorliegt. Es könnte aber sehr wohl ein nichtlinearer existieren, so z.B. ein exponentieller Zusammenhang. Dies heißt, dass aus der Unkorreliertheit nicht die Unabhängigkeit folgt!

Darstellung im Streuungsdiagramm

Die Extremfälle für $\ r_{BP} $ lassen sich am Streuungsdiagramm darstellen.

$\ r_{BP} $ = 1 heißt, dass die Punkte des Streudiagramms exakt auf einer positiv geneigten Geraden liegen,

Exakt positiv korreliert
Exakt positiv korreliert

$\ r_{BP} $ = -1 liegen die Punkte exakt auf einer negativ geneigten Geraden.

Exakt negativ korreliert
Exakt negativ korreliert

Wenn $\ r_{BP} $ nahe bei +1 liegt, dann ist der Grund hierfür, dass die einzelnen Punkte fast auf einer – positiv geneigten – Geraden liegen,

Hoch positiv korreliert
Hoch positiv korreliert

$\ r_{BP} $ nahe bei – 1 bedeutet, dass die Punkte fast auf einer – negativ geneigten – Geraden liegen

Stark negativ korreliert
Stark negativ korreliert

Video zum Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

Schauen wir uns nun das Thema in einem Lernvideo an:

Video: Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient