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Für ordinal skalierte Merkmale liegt nicht nur die Unterscheidbarkeit vor, sondern zusätzlich eine Reihenfolge, man kann daher Ränge bilden. Der Korrelationskoeffizient für die Ordinalskala ist der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient. Er sei an einem Beispiel vorgeführt.
Beispiel
Beispiel:
Zehn Studenten der Uni Bonn erzielen folgende Ergebnisse in ihrer Statistik- und in ihrer VWL-Klausur:
| Student | Statistik-Note | VWL-Note |
| 1 | sehr gut | befriedigend |
| 2 | gut | ausreichend |
| 3 | befriedigend | gut |
| 4 | mangelhaft | ausreichend |
| 5 | mangelhaft | befriedigend |
| 6 | ausreichend | ausreichend |
| 7 | mangelhaft | ausreichend |
| 8 | gut | gut |
| 9 | gut | mangelhaft |
| 10 | befriedigend | befriedigend |
Gib in einer einzigen Kennzahl an, wie stark die Noten zusammenhängen.
Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnen
Um den Zusammenhang zu quantifizieren, hier ein Schema, das streng genommen nur für den Fall ohne Bindungen gilt. Da viele Autoren diesen trotzdem auch für den Fall mit Bindungen rechnen, sei er trotzdem insbesondere auch für diesen Fall erwähnt (nämlich in Schritt 2 des folgenden Schemas).
Expertentipp
- Urliste der Ausprägungen der beiden Merkmale erstellen
- Ränge $\ x_i, y_i $ bilden; bei doppelt, dreifach usw. vorkommenden Rängen (= Bindungen) vergibt man einheitlich das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangzahlen
- Rangdifferenzen $\ d_i = x_i – y_i $ errechnen
- Rangdifferenzen quadrieren, d.h. $\ d_i^2 $ errechnen
- in die Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten $$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} $$ einsetzen.
Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman besitzt folgende Eigenschaften:
- er liegt zwischen – 1 und +1: $\ -1 \leq r_s \leq 1 $
- er ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient der Rangzahlen.
Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Beispiel
Das o.e. Schema sei am Beispiel vorgeführt:
- Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.
- Die Ränge schreibt man in eine erweiterte Tabelle:
Student Statistik-Note Rang $\ x_i $ VWL-Note Rang $\ y_i $ 1 sehr gut 1 befriedigend 4 2 gut 3 ausreichend 7,5 3 befriedigend 5,5 gut 1,5 4 mangelhaft 9 ausreichend 7,5 5 mangelhaft 9 befriedigend 4 6 ausreichend 7 ausreichend 7,5 7 mangelhaft 9 ausreichend 7,5 8 gut 3 gut 1,5 9 gut 3 mangelhaft 10 10 befriedigend 5,5 befriedigend 4
Die Note „gut” taucht bei den Statistik-Ergebnissen dreimal auf, und zwar bei den Rängen 2, 3 und 4, die eigentlich zu vergeben wären. Da die Studenten 2, 8 und 9 alle die Note „gut” haben, bzgl. der Note nicht unterscheidbar sind. Sie erhalten alle den Rang $\ {2 + 3 + 4 \over 3} = 3 $, also das arithmetische Mittel der drei in Frage kommenden Ränge. Genauso die Studenten 3 und 10, die beide den Rang $\ {5 + 6 \over 2} = 5,5 $ erhalten, da sie auf den Plätzen 5 und 6 liegen, usw.
Nun zu den Rangdifferenzen, zu ihren Quadraten und der Summe der Quadrate, also zu den Schritten 3 und 4:
| Schritt 2 | Schritt 3 | Schritt 4 | ||
| Student | $\ x_i $ | $\ D_i=x_i-y_i $ | $\ d_i $ | $\ d_i^2 $ |
| 1 | 1 | 4 | -3 | 9 |
| 2 | 3 | 7,5 | -4,5 | 20,25 |
| 3 | 5,5 | 1,5 | 4 | 16 |
| 4 | 9 | 7,5 | 1,5 | 2,25 |
| 5 | 9 | 4 | 5 | 25 |
| 6 | 7 | 7,5 | -0,5 | 0,25 |
| 7 | 9 | 7,5 | 1,5 | 2,25 |
| 8 | 3 | 1,5 | 1,5 | 2,25 |
| 9 | 3 | 10 | -7 | 49 |
| 10 | 5,5 | 4 | 1,5 | 2,25 |
| Schritt 5: | $\ \sum $=128,5 | |||
Schritt 5, also das Einsetzen in die Formel, liefert einen Korrelationskoeffizienten nach Spearman von
$$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} = 1- {{6 \cdot 128,5} \over {10 \cdot 9 \cdot 11}}=0,221 $$
Die Kennzahl deutet also auf einen recht geringen Zusammenhang hin.
Merke
Merke:
- Im Beispiel sind sog. Bindungen aufgetreten. Man spricht von einer Bindung, wenn innerhalb eines Merkmals mehrere Merkmalsträger denselben Rang erhalten – im Beispiel hätten die Studenten 3 und 10 bei der Statistik-Note den Rang 4 und 5 erhalten. Da sie sich nicht unterschieden, erhielten sie beide den Rang $\ {4+5 \over 2} = 4,5 $. Die o.e. Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. Sollten Bindungen existieren (so wie im Beispiel), sollte man besser den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten mit den Rängen rechnen. Im Beispiel erhält man als Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten $\ r_{BP} = 0,16016 $ – der Unterschied ist also recht gering.
- Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman misst lediglich monotone Zusammenhänge. Es muss also ein durchgehend positiver oder ein durchgehend negativer Zusammenhang vorliegen, damit dieser von $\ r_S $ erkannt wird.
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