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Deskriptive Statistik - Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

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Deskriptive Statistik

Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

Sind Merkmale ordinal skaliert, kann man eine Rangfolge erstellen und nicht nur unterscheiden, wie es bei nominal skalierten der Fall ist (wie bspw. das Studienfach). Der Korrelationskoeffizient für die Ordinalskala nennt sich  Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient. Diesen wollen wir uns mit Hilfe eines Beispiels erarbeiten:

Beispiel

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Beispiel 56:

15 Schülerinnen und Schüler der örtlichen Schule schrieben in der vergangenen Mathe- und Deutsch-Klausur folgende Noten:

SUS Mathe-Note Deutsch-Note
113
224
332
454
553
641
754
822
925
1033
1161
1241
1333
1426
1512

Stelle durch eine einzige Kennzahl die Stärke des Zusammenhangs der Noten dar.

Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnen

Um den Zusammenhang zu quantifizieren, hier ein Schema, das streng genommen nur für den Fall ohne Bindungen gilt. Da viele Autoren diesen trotzdem auch für den Fall mit Bindungen rechnen, sei er trotzdem insbesondere auch für diesen Fall erwähnt (nämlich in Schritt 2 des folgenden Schemas).

Methode

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Schema zur Bestimmung des Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizienten:

  1. Urliste der Ausprägungen der beiden Merkmale erstellen
  2. Ränge $\ x_i, y_i $ bilden; bei doppelt, dreifach usw. vorkommenden Rängen (= Bindungen) vergibt man einheitlich das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangzahlen an

  3. Rangdifferenzen $\ d_i = x_i – y_i $ errechnen

  4. Rangdifferenzen quadrieren, also $\ d_i^2 $ bestimmen

  5. Zur Berechnung des Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten in folgende Formel einsetzen:
    $$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} $$ .

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman muss immer zwischen – 1 und +1: $\ -1 \leq r_s \leq 1 $ liegen und entspricht dem Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten der Rangzahlen.

Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Beispiel

Am Beispiel 56 wollen wir das Schema anwenden:

  1. Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.
  2. Die Ränge schreibt man in eine erweiterte Tabelle:

    SUS Mathe-Note Rang xi
    		Deutsch-Note Rang yi
    111,538,5
    224,5412
    33825
    4513412
    551338,5
    6410,512
    7513412
    824,525
    924,5514
    103838,5
    1161512
    12410,512
    133838,5
    1424,5615
    1511,525

Die Note „2” existiert bei den Mathe-Ergebnissen viermal, und zwar auf den Rängen 3, 4, 5 und 6, die eigentlich zu vergeben wären. Weil die Schülerinnen und Schüler 2, 8, 9 und 14, die alle eine „2” in Mathe geschrieben haben, auf Grundlage der Note nicht zu unterscheiden sind, erhalten sie alle den Rang $\ {3 + 4 + 5 + 6 \over 4} = 4,5 $, ergo das arithmetische Mittel der vier in Frage kommenden Ränge. Genau gleich verhält es sich bei den Schülerinnen und Schülern Nummer 3, 10 und 13, welche alle den Rang $\ {7 + 8 + 9 \over 3} = 8 $ erhalten, da sie auf den Plätzen 7, 8 und 9 liegen, usw.

Nun zu den Rangdifferenzen, zu ihren Quadraten und der Summe der Quadrate, also zu den Punkten 3. und 4.:

  Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4
SUS xi
 yi
 di  (=xi - yi) di2
11,58,5-749
24,512-7,556,25
38539
4131211
5138,54,520,25
610,528,572,25
7131211
84,55-0,50,25
94,514-9,590,25
1088,5-0,50,25
1115213169
1210,528,572,25
1388,5-0,50,25
144,51510,5110,25
151,55-3,512,25
    Schritt 5:∑ = 663,5

Schritt 5, also das Einsetzen in die Formel, liefert einen Korrelationskoeffizienten nach Spearman:

$$ r_s = 1 - {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} = 1- {{6 \cdot 663,5} \over {14\cdot 15 \cdot 16}} = - 0,1848$$

Die Kennzahl deutet also auf einen recht geringen Zusammenhang hin.

Merke

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Im Beispiel sind so genannte Bindungen aufgetreten. Man spricht von einer Bindung, wenn innerhalb eines Merkmals mehrere Merkmalsträger denselben Rang erhalten – im Beispiel 56 hätten die Schülerinnen und Schüler 3, 10 und 13 bei der Mathe-Note den Rang 7, 8 und 9 erhalten. Weil sie sich aber nicht unterschieden, erhielten sie beide den Rang $\ {7 + 8 + 9 \over 3} = 8 $. Die genannte Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. Sollten Bindungen existieren (so wie im Beispiel), sollte man besser den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten mit den Rängen rechnen. Für das Beispiel 56 erhält man als Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten $\ r_{BP} = -0,2310$ – der Unterschied ist also recht gering.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman misst lediglich monotone Zusammenhänge. Es muss also ein durchgehend positiver oder ein durchgehend negativer Zusammenhang vorliegen, damit dieser von $\ r_S $ erkannt wird.