Kursangebot | Deskriptive Statistik | Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

Deskriptive Statistik

Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

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Für ordinal skalierte Merkmale liegt nicht lediglich die Unterscheidbarkeit vor, sondern zusätzlich eine Reihenfolge, man kann daher Ränge bilden. Der Korrelationskoeffizient für die Ordinalskala heißt Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient. Er sei an einem Beispiel vorgeführt.

Beispiel

Beispiel:
Zehn Studenten der Uni Bonn erzielen folgende Ergebnisse in ihrer Statistik- und in ihrer VWL-Klausur:

Student Statistik-Note VWL-Note
1 sehr gut befriedigend
2 gut ausreichend
3 befriedigend gut
4 mangelhaft ausreichend
5 mangelhaft befriedigend
6 ausreichend ausreichend
7 mangelhaft ausreichend
8 gut gut
9 gut mangelhaft
10 befriedigend befriedigend

Gib in einer einzigen Kennzahl an, wie stark die Noten zusammenhängen.

RangKorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnen

Um den Zusammenhang zu quantifizieren, hier ein "Kochrezept", das streng genommen nur für den Fall ohne Bindungen gilt. Da viele Autoren diesen trotzdem auch für den Fall mit Bindungen rechnen, sei er trotzdem insbesondere auch für diesen Fall erwähnt (nämlich in Schritt 2 des folgenden Schema).

Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizienten - Schema:
  1.  Urliste der Ausprägungen der beiden Merkmale erstellen
  2.  Ränge $\ x_i, y_i $ bilden; bei doppelt, dreifach usw. vorkommenden Rängen (= Bindungen) vergibt man einheitlich das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangzahlen
  3. Rangdifferenzen $\ d_i = x_i – y_i $ errechnen
  4. Rangdifferenzen quadrieren, d.h. $\ d_i^2 $ errechnen
  5. in die Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten $$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} $$ einsetzen.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman besitzt folgende Eigenschaften:

  • er liegt zwischen – 1 und +1: $\ -1 \leq r_s \leq 1 $
  • er ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient der Rangzahlen.

Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Beispiel

Das o.e. Kochrezept sei am Beispiel 56 vorgeführt:

  • Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.
  • Die Ränge schreibt man in eine erweiterte Tabelle:
    Student Statistik-Note Rang $\ x_i $ VWL-Note Rang $\ y_i $
    1 sehr gut 1 befriedigend 4
    2 gut 3 ausreichend 7,5
    3 befriedigend 5,5 gut 1,5
    4 mangelhaft 9 ausreichend 7,5
    5 mangelhaft 9 befriedigend 4
    6 ausreichend 7 ausreichend 7,5
    7 mangelhaft 9 ausreichend 7,5
    8 gut 3 gut 1,5
    9 gut 3 mangelhaft 10
    10 befriedigend 5,5 befriedigend 4

Die Note „gut” taucht bei den Statistik-Ergebnissen dreimal auf, und zwar bei den Rängen 2,3 und 4, die eigentlich zu vergeben wären. Da die Studenten 2, 8 und 9, die alle die Note „gut” haben, deshalb bzgl. der Note nicht unterscheidbar sind, erhalten sie alle den Rang $\ {2 + 3 + 4 \over 3} = 3 $, also das arithmetische Mittel der drei in Frage kommenden Ränge. Genauso die Studenten 3 und 10, die beide den Rang $\ {5 + 6 \over 2} = 5,5 $ erhalten, da sie auf den Plätzen 5 und 6 liegen, usw.
Nun zu den Rangdifferenzen, zu ihren Quadraten und der Summe der Quadrate, also zu den Schritt 3 und 4:

  Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4
Student $\ x_i $ $\ y_i $ $\ d_i  (=x_i - y_i)$ $\ d_i^2 $
1 1 4 -3 9
2 3 7,5 -4,5 20,25
3 5,5 1,5 4 16
4 9 7,5 1,5 2,25
5 9 4 5 25
6 7 7,5 -0,5 0,25
7 9 7,5 1,5 2,25
8 3 1,5 1,5 2,25
9 3 10 -7 49
10 5,5 4 1,5 2,25
      Schritt 5: $\ \sum $=128,5

Schritt 5, also das Einsetzen in die Formel, liefert einen Korrelationskoeffizienten nach Spearman von
$$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} = 1- {{6 \cdot 128,5} \over {10 \cdot 9 \cdot 11}}=0,221 $$
Die Kennzahl deutet also auf einen recht geringen Zusammenhang hin.

Merke:

  • Im Beispiel sind so genannte Bindungen aufgetreten. Man spricht von einer Bindung, wenn innerhalb eines Merkmals mehrere Merkmalsträger denselben Rang erhalten – im Beispiel 56 hätten die Studenten 3 und 10 bei der Statistik-Note den Rang 4 und 5 erhalten. Da sie sich nicht unterschieden, erhielten sie beide den Rang $\ {4+5 \over 2} = 4,5 $. Die o.e. Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. Sollten Bindungen existieren (so wie im Beispiel), sollte man besser den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten mit den Rängen rechnen. Im Beispiel 56 erhält man als Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten $\ r_{BP} = 0,16016 $ – der Unterschied ist also recht gering.
  • Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman misst lediglich monotone Zusammenhänge. Es muss also ein durchgehend positiver oder ein durchgehend negativer Zusammenhang vorliegen, damit dieser von $\ r_S $ erkannt wird.

Video zum spearmanschen Rangkorrelationskoeffizient

Video: Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

Hinweis:
Das Ergebnis lautet 0,35 und nicht -0,35!

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