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Zusammenhangsmaße > Zusammenhangsmaße auf Nominal- und Ordinalskala:

Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

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Für ordinal skalierte Merkmale liegt nicht lediglich die Unterscheidbarkeit vor, sondern zusätzlich eine Reihenfolge, man kann daher Ränge bilden. Der Korrelationskoeffizient für die Ordinalskala heißt Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient. Er sei an einem Beispiel vorgeführt.

Beispiel

Beispiel:
Zehn Studenten der Uni Bonn erzielen folgende Ergebnisse in ihrer Statistik- und in ihrer VWL-Klausur:

Student Statistik-Note VWL-Note
1 sehr gut befriedigend
2 gut ausreichend
3 befriedigend gut
4 mangelhaft ausreichend
5 mangelhaft befriedigend
6 ausreichend ausreichend
7 mangelhaft ausreichend
8 gut gut
9 gut mangelhaft
10 befriedigend befriedigend

Gib in einer einzigen Kennzahl an, wie stark die Noten zusammenhängen.

RangKorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnen

Um den Zusammenhang zu quantifizieren, hier ein "Kochrezept", das streng genommen nur für den Fall ohne Bindungen gilt. Da viele Autoren diesen trotzdem auch für den Fall mit Bindungen rechnen, sei er trotzdem insbesondere auch für diesen Fall erwähnt (nämlich in Schritt 2 des folgenden Schema).

Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizienten - Schema:
  1.  Urliste der Ausprägungen der beiden Merkmale erstellen
  2.  Ränge $\ x_i, y_i $ bilden; bei doppelt, dreifach usw. vorkommenden Rängen (= Bindungen) vergibt man einheitlich das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangzahlen
  3. Rangdifferenzen $\ d_i = x_i – y_i $ errechnen
  4. Rangdifferenzen quadrieren, d.h. $\ d_i^2 $ errechnen
  5. in die Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten $$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} $$ einsetzen.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman besitzt folgende Eigenschaften:

  • er liegt zwischen – 1 und +1: $\ -1 \leq r_s \leq 1 $
  • er ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient der Rangzahlen.

Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Beispiel

Das o.e. Kochrezept sei am Beispiel 56 vorgeführt:

  • Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.
  • Die Ränge schreibt man in eine erweiterte Tabelle:
    Student Statistik-Note Rang $\ x_i $ VWL-Note Rang $\ y_i $
    1 sehr gut 1 befriedigend 4
    2 gut 3 ausreichend 7,5
    3 befriedigend 5,5 gut 1,5
    4 mangelhaft 9 ausreichend 7,5
    5 mangelhaft 9 befriedigend 4
    6 ausreichend 7 ausreichend 7,5
    7 mangelhaft 9 ausreichend 7,5
    8 gut 3 gut 1,5
    9 gut 3 mangelhaft 10
    10 befriedigend 5,5 befriedigend 4

Die Note „gut” taucht bei den Statistik-Ergebnissen dreimal auf, und zwar bei den Rängen 2,3 und 4, die eigentlich zu vergeben wären. Da die Studenten 2, 8 und 9, die alle die Note „gut” haben, deshalb bzgl. der Note nicht unterscheidbar sind, erhalten sie alle den Rang $\ {2 + 3 + 4 \over 3} = 3 $, also das arithmetische Mittel der drei in Frage kommenden Ränge. Genauso die Studenten 3 und 10, die beide den Rang $\ {5 + 6 \over 2} = 5,5 $ erhalten, da sie auf den Plätzen 5 und 6 liegen, usw.
Nun zu den Rangdifferenzen, zu ihren Quadraten und der Summe der Quadrate, also zu den Schritt 3 und 4:

  Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4
Student $\ x_i $ $\ y_i $ $\ d_i  (=x_i - y_i)$ $\ d_i^2 $
1 1 4 -3 9
2 3 7,5 -4,5 20,25
3 5,5 1,5 4 16
4 9 7,5 1,5 2,25
5 9 4 5 25
6 7 7,5 -0,5 0,25
7 9 7,5 1,5 2,25
8 3 1,5 1,5 2,25
9 3 10 -7 49
10 5,5 4 1,5 2,25
      Schritt 5: $\ \sum $=128,5

Schritt 5, also das Einsetzen in die Formel, liefert einen Korrelationskoeffizienten nach Spearman von
$$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} = 1- {{6 \cdot 128,5} \over {10 \cdot 9 \cdot 11}}=0,221 $$
Die Kennzahl deutet also auf einen recht geringen Zusammenhang hin.

Merke:

  • Im Beispiel sind so genannte Bindungen aufgetreten. Man spricht von einer Bindung, wenn innerhalb eines Merkmals mehrere Merkmalsträger denselben Rang erhalten – im Beispiel 56 hätten die Studenten 3 und 10 bei der Statistik-Note den Rang 4 und 5 erhalten. Da sie sich nicht unterschieden, erhielten sie beide den Rang $\ {4+5 \over 2} = 4,5 $. Die o.e. Formel für den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. Sollten Bindungen existieren (so wie im Beispiel), sollte man besser den Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten mit den Rängen rechnen. Im Beispiel 56 erhält man als Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten $\ r_{BP} = 0,16016 $ – der Unterschied ist also recht gering.
  • Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman misst lediglich monotone Zusammenhänge. Es muss also ein durchgehend positiver oder ein durchgehend negativer Zusammenhang vorliegen, damit dieser von $\ r_S $ erkannt wird.

Video zum spearmanschen Rangkorrelationskoeffizient

Video: Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

Für die Ordinalskala heißt der verwendete Korrelationskoeffizient Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient.

Hinweis:
Das Ergebnis lautet 0,35 und nicht -0,35!

#

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Um den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten berechnen zu können, muss man für den Zähler die quadrierten aufaddieren.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala

  • Maren Nebeling schrieb am 10.02.2015 um 12:32 Uhr
    Hallo Hanna, ja du hast Recht. Vielen Dank für den Hinweis. Die Zahlen sind zwar richtig, jedoch leider die Überschrift falsch. Ich habe den Fehler sofort korrigiert. Schöne Grüße
  • HannaMPunkt schrieb am 09.02.2015 um 12:17 Uhr
    Hallo. Kann es sein, dass Sie sich in der letzten Tabelle mit der Formel vertan haben? Ich hab das Thema zwar noch nicht 100%ig verstanden, aber für mich müsste der zweite Teil von der Spalte mit der Überschrift "Schritt 2" yi heißen, denn erst in Spalte "Schritt 3" erfolgt die Subtraktion mit der Formel aus Schritt 2. Oder sehe ich das falsch? Viele Grüße HannaM
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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