Merkmale lassen sich weiterhin einteilen nach der Abzählbarkeit. Hier wird zwischen diskreten Merkmalen und stetigen Merkmalen unterschieden. Ein Merkmal heißt diskret, wenn es nur abzählbar viele Werte annimmt. Eine Menge heißt wiederum abzählbar, wenn man sie abzählen kann.
Klingt tautologisch, ist aber schwerer als man denkt:
- Jede endliche Menge ist abzählbar, weil man die Elemente anordnen und durchzählen kann.
- Eine Menge mit unendlich vielen Elemente ist abzählbar, wenn sie so viele Elemente hat wie natürliche Zahlen existieren.
Beispiel
Beispiel 17:
Die Anzahl der Menschen auf der Erde ist endlich, also abzählbar. Wenn die Erde und die Menschheit unendlich lange existieren, dann ist die Gesamtanzahl der Menschen, die auf der Erde lebten und leben werden abzählbar, aber unendlich groß.
Merke
Beispiel
Die Anzahl der Personen in einem Hörsaal oder in der Eissporthalle (zählbar von 0 bis 5.000, je nach Fassungsvermögen des Hörsaals oder der Halle). Ebenso ist der Kontostand eines Einlegers diskret (zählbar in 1 Cent Schritten von -10.000 € oder weniger bis +100.000 € oder mehr, je nach Vermögen des Einlegers).
Man beachte insgesamt also:
- die Menge der natürlichen Zahlen hat zwar unendlich viele Elemente, aber abzählbar unendlich viele.
- die Menge der rationalen Zahlen hat zwar unendlich viele Elemente, aber immer noch abzählbar unendlich viele.
- die Menge der reellen Zahlen Zahlen hat unendlich viele Elemente, und zwar überabzählbar viele.
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