Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion

Häufig stellt sich nicht nur die Frage, wie viele Beobachtungswerte genau eine bestimmte Merkmalsausprägung besitzt, sondern wie viele Beobachtungen liegen unterhalb einer Merkmalsausprägung. Dafür müssen die absoluten oder relativen Häufigkeiten bis zum gesuchten Beobachtungswert aufsummiert werden.
Es ergibt sich die absolute Häufigkeitsverteilungen H(x) sowie die empirische Verteilungsfunktion F(x).

Beispiel zur Verteilungsfunktion

Schauen wir uns hierzu noch einmal unser Beispiel 25 der Notenverteilung des Seminars von Dr. M. Median an. Die Frage war bisher: Wie viele Studenten schrieben (z.B.) eine „vier” in dem Test? Wir könnten uns aber auch die Frage stellen:

Dies führt uns auf die absolute bzw. relative kumulierte Häufigkeitsverteilung. Hierbei werden die absoluten oder relativen Häufigkeiten bis zum gesuchten Beobachtungswert aufsummiert. Formal stellt sich dies wie folgt dar:

• $\ H(x)= \sum\nolimits_{a_j \leq x} ha_j $ als absolute Häufigkeitsverteilung sowie
• $\ F(x)= \sum\nolimits_{a_j \leq x} fa_j $ als relative Häufigkeitsverteilung, häufig auch empirische Verteilungsfunktion genannt.

Bezogen auf unser Beispiel, der Anzahl der bestandenen Klausuren, bedeutet dies:

$\ F(4)=\sum\nolimits_{a_j \leq 4} f(a_j)=f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)=0,1+0,15+0,1+0,3=0,65 $
Also haben 13 Studenten bzw. 65 % der Studenten den Test bestanden, d.h. mindestens eine vier geschrieben. Wir können die Häufigkeiten auch zusammenfassend darstellen:

$$\ H(x)= \left\{ \begin {array}{cc} 0, \text {für } x < 1 \\ 2, \text {für } 1 \leq x < 2 \\ 5, \text {für } 2 \leq x < 3 \\ 7, \text {für } 3 \leq x < 4 \\ 13, \text {für } 4 \leq x < 5 \\ 20, \text {für } x \geq 5 \end {array} \right. $$ so wie $$\ F(x)= \left\{ \begin {array}{cc} 0,\text {für } x < 1 \\ 0,1,\text {für } 1 \leq x < 2 \\ 0,25, \text {für } 2 \leq x < 3 \\ 0,35,\text {für } 3 \leq x < 4 \\ 0,65, \text {für } 4 \leq x < 5 \\ 1, \text {für } x \geq 5 \end {array} \right. $$

Grafisch erhalten wir eine monoton steigende Treppenfunktion, welche an den realisierten Merkmalsausprägungen aj gerade um ihre absolute bzw. relative Häufigkeit springt. Der Grund hierfür liegt darin, dass Werte zwischen den Ausprägungen nicht existieren bzw. nicht realisiert wurden, d.h. bspw., dass die Anzahl der Studenten, die mindestens eine 2,8 geschrieben haben, genau gleich ist mit jener, die genau eine 2 geschrieben zu haben. Die Note 2,8 gibt es in unserem Beispiel nicht.

Kumulierte Häufigkeitsverteilungen

Eigenschaften der Verteilungsfunktion und der Häufigkeitsverteilung

Man beachte folgende Eigenschaften der Häufigkeitsverteilungen H(x) bzw. Verteilungsfunktion F(x):

1. Sie sind rechtsseitig stetig.
2. F bzw. H konvergieren für x gegen „minus unendlich” gegen Null. Anders gesagt, unterhalb der kleinsten (realisierten) Ausprägung ist die Häufigkeitsverteilung immer Null:
   $$\ \lim_{x \to - \infty} F(x) = 0 $$ bzw. $$\ \lim_{x \to - \infty} H(x) = 0 $$
3. F (bzw. H) konvergiert für x gegen unendlich gegen 1 (gegen n), d.h. ab der größtmöglichen (realisierten) Ausprägung entspricht die Häufigkeitsverteilung immer 100 % bzw. dem Stichprobenumfang n:
   $$\ \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 $$ bzw. $$\ \lim_{x \to \infty} H(x) = n $$
4. F bzw. H sind monoton wachsend, d.h. aus $\ x_1 < x_2 $ folgt $\ F(x_1) \leq F(x_2) $ bzw.$\ H(x_1) \leq H(x_2).$ 

Video zur Verteilungsfunktion

Schauen wir uns das ganze nun in einem Lernvideo zur Verteilungsfunktion an: