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Häufigkeitsverteilungen > Empirische Verteilungsfunktion:

Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion

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Häufig stellt sich nicht nur die Frage, wie viele Beobachtungswerte genau eine bestimmte Merkmalsausprägung besitzt, sondern wie viele Beobachtungen liegen unterhalb einer Merkmalsausprägung. Dafür müssen die absoluten oder relativen Häufigkeiten bis zum gesuchten Beobachtungswert aufsummiert werden.
Es ergibt sich die absolute Häufigkeitsverteilungen H(x) sowie die empirische Verteilungsfunktion F(x).

Beispiel zur Verteilungsfunktion

Schauen wir uns hierzu noch einmal unser Beispiel 25 der Notenverteilung des Seminars von Dr. M. Median an. Die Frage war bisher: Wie viele Studenten schrieben (z.B.) eine „vier” in dem Test? Wir könnten uns aber auch die Frage stellen:

Beispiel

Beispiel 28:
Wie viele Studenten haben die Klausur bestanden, d.h. mindestens eine vier geschrieben? Gib auch den relativen Anteil an.

Dies führt uns auf die absolute bzw. relative kumulierte Häufigkeitsverteilung. Hierbei werden die absoluten oder relativen Häufigkeiten bis zum gesuchten Beobachtungswert aufsummiert. Formal stellt sich dies wie folgt dar:

  • $\ H(x)= \sum\nolimits_{a_j \leq x} ha_j $ als absolute Häufigkeitsverteilung sowie
  • $\ F(x)= \sum\nolimits_{a_j \leq x} fa_j $ als relative Häufigkeitsverteilung, häufig auch empirische Verteilungsfunktion genannt.

Bezogen auf unser Beispiel, der Anzahl der bestandenen Klausuren, bedeutet dies:

Beispiel

Beispiel 29:

Berechne den Wert der empirischen Verteilungsfunktion an der Stelle 4 und interpretiere ihn.

$\ F(4)=\sum\nolimits_{a_j \leq 4} f(a_j)=f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)=0,1+0,15+0,1+0,3=0,65 $
Also haben 13 Studenten bzw. 65 % der Studenten den Test bestanden, d.h. mindestens eine vier geschrieben. Wir können die Häufigkeiten auch zusammenfassend darstellen:

Note $\ a_j $ $\ h(a_j)   $ $\ H(a_j)   $ $\ f(a_j)   $ $\ F(a_j)   $
1 2 2 0,1 0,1
2 3 5 0,15 0,25
3 2 7 0,1 0,35
4 6 13 0,3 0,65
5 7 20 0,35 1
$\ \sum $ 20 / 1 /

$$\ H(x)= \left\{ \begin {array}{cc} 0, \text {für } x < 1 \\ 2, \text {für } 1 \leq x < 2 \\ 5, \text {für } 2 \leq x < 3 \\ 7, \text {für } 3 \leq x < 4 \\ 13, \text {für } 4 \leq x < 5 \\ 20, \text {für } x \geq 5 \end {array} \right. $$ so wie $$\ F(x)= \left\{ \begin {array}{cc} 0,\text {für } x < 1 \\ 0,1,\text {für } 1 \leq x < 2 \\ 0,25, \text {für } 2 \leq x < 3 \\ 0,35,\text {für } 3 \leq x < 4 \\ 0,65, \text {für } 4 \leq x < 5 \\ 1, \text {für } x \geq 5 \end {array} \right. $$

Grafisch erhalten wir eine monoton steigende Treppenfunktion, welche an den realisierten Merkmalsausprägungen aj gerade um ihre absolute bzw. relative Häufigkeit springt. Der Grund hierfür liegt darin, dass Werte zwischen den Ausprägungen nicht existieren bzw. nicht realisiert wurden, d.h. bspw., dass die Anzahl der Studenten, die mindestens eine 2,8 geschrieben haben, genau gleich ist mit jener, die genau eine 2 geschrieben zu haben. Die Note 2,8 gibt es in unserem Beispiel nicht.

Kumulierte Häufigkeitsverteilungen
Kumulierte Häufigkeitsverteilungen

Eigenschaften der Verteilungsfunktion und der Häufigkeitsverteilung

Man beachte folgende Eigenschaften der Häufigkeitsverteilungen H(x) bzw. Verteilungsfunktion F(x):

  1. Sie sind rechtsseitig stetig.
  2. F bzw. H konvergieren für x gegen „minus unendlich” gegen Null. Anders gesagt, unterhalb der kleinsten (realisierten) Ausprägung ist die Häufigkeitsverteilung immer Null:
    $$\ \lim_{x \to - \infty} F(x) = 0 $$ bzw. $$\ \lim_{x \to - \infty} H(x) = 0 $$
  3. F (bzw. H) konvergiert für x gegen unendlich gegen 1 (gegen n), d.h. ab der größtmöglichen (realisierten) Ausprägung entspricht die Häufigkeitsverteilung immer 100 % bzw. dem Stichprobenumfang n:
    $$\ \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 $$ bzw. $$\ \lim_{x \to \infty} H(x) = n $$
  4. F bzw. H sind monoton wachsend, d.h. aus $\ x_1 < x_2 $ folgt $\ F(x_1) \leq F(x_2) $ bzw.$\ H(x_1) \leq H(x_2).$ 

Video zur Verteilungsfunktion

Schauen wir uns das ganze nun in einem Lernvideo zur Verteilungsfunktion an:

Video: Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion

Um festzustellen, wie viele Beobachtungen unterhalb einer bestimmten Merkmalsausprägung liegen, werden die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten bis zum gesuchten Beobachtungswert aufsummiert. Es ergeben sich die Häufigkeitsverteilungen H sowie die empirische Verteilungsfunktion F.
Multiple-Choice
In der vorliegenden Aufgabe bedeutet der Ausdruck F(x) = 0,65, dass...
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion

  • Daniel Lambert schrieb am 10.01.2015 um 00:43 Uhr
    Hi Amit, danke für den Hinweis. ;-)
  • Amit Yadava schrieb am 16.12.2014 um 21:38 Uhr
    Beim 4. satz bezüglich des Themas Eigenschaften der Verteilungsfunktion und der Häufigkeitsverteilung befindet sich eine unnötige wiederholung.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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