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Deskriptive Statistik - Absolute Häufigkeiten

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Deskriptive Statistik

Absolute Häufigkeiten

Unter der absoluten Häufigkeit $h(a_j) $ oder kurz $ h_j $ versteht man, wie oft $ a_j $ vorkommt. Es gilt:

$a_i$123456
$h(a_i)$234321

So bedeutet bspw. $ h(a_2)= h(2) = 3 $, da die zweite Merkmalsausprägung (die Zahl 2) insgesamt dreimal vorhanden ist. Logischerweise muss die Gesamtzahl der absoluten Häufigkeiten gleich der Summe aller Beobachtungswerte $n$ sein. Für unser Beispiel demnach n=15. Man schreibt:

$ \sum_{j=1}^{m} h(a_j) = n $
oder kürzer
$ \sum h(a_j) = n $

Exkurs: Summen und Summenzeichen

Damit nicht jede Summand einzeln aufgezählen werden muss, z.B. $\ h(a_1) + h(a_2) + ... + h(a_n)$, verwendet man das Summenzeichen $\ \sum $ (der griechische Großbuchstabe Sigma). Um zu wissen, was alles summiert wird nutzt man den Laufindex. Unter dem Summenzeichen $\ \sum $ steht der Startwert z.B. i = 1 oder j = 1, über dem Summenzeichen \ \sum $ den gewünschten Endwert, z.B. n oder m oder 15.

Für unser Beispiel sähe das folgendermaßen aus:

$$\ \sum_{j=1}^{m} h(a_j) = h(a_1) + h(a_2) + h(a_3) + h(a_4) + h(a_5) + h(a_6) = 2 + 3 + 4 + 3 + 2 +1 = 15= n. $$

 

Werden alle Werte summiert (von i = 1 bis n oder von j = 1 bis m), werden die Angaben unter und oberhalb des $\ \sum $ weggelassen:

$$\ \sum_{j=1}^{m} h(a_j)$$
nur noch
$$\ \sum h(a_j)$$

Sind mehrere Indizes vorhanden, es soll aber nur ein bestimmter summiert werden, so schreibt man den verkürzten Index unter das $\ \sum $ über den aufsummiert werden soll:

$$\ \sum_{i=1}^{n} {a_i \cdot b_j} $$
wird zu
$$\ \sum_{i} {a_i \cdot b_j} $$

Es wird demnach nur über i aufsummieren, der Index j bleibt konstant. In Kapitel 6 "Zusammenhangsmaße" wird die Doppelsumme „$\ \sum \sum $ ”nochmals vorkommen, was nichts anderes aussagt, als dass wir mit dem Laufindex des ersten Summenzeichens beginnen, diesen auf den Startwert setzen und dann einmal über alles des zweiten Summenzeichens aufsummieren. Wird der Laufindex des ersten Summenzeichens um Eins erhöht und summiert man alles über das zweite Summenzeichen auf usw.. Häufig wird hier ebenfalls abgekürzt, hierbei schreibt man lediglich den Laufindex unter das $\sum $, für den Fall, dass alles aufsummiert wird:

$$\ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} {a_i \cdot b_j} = \sum_i \sum_j {a_i \cdot b_j} $$

$$\ = {a_1 \cdot b_1} + {a_1 \cdot b_2} + ...+ {a_1 \cdot b_m} $$

= $$\ +{a_2 \cdot b_1}+{a_2 \cdot b_2}+...+{a_2 \cdot b_m}$$

$$\ +{a_n \cdot b_1}+{a_n \cdot b_2}+...+{a_n \cdot b_m} $$