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Deskriptive Statistik - Absolute Häufigkeiten

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Deskriptive Statistik

Absolute Häufigkeiten

Unter der absoluten Häufigkeit $\ h(a_j) $ oder kurz $\ h_j $ versteht man, wie oft $\ a_j $ vorkommt. Es gilt:

$\ a_i $12345
$\ h(a_i) $23267

Es gilt also z.B. $\ h(a_3)= h(3) = 2 $, weil die dritte Ausprägung die Zahl 3 ist und diese zweimal vorkommt. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss dabei der Gesamtzahl der Beobachtungswerte n entsprechen, in unserem Beispiel also n = 20. Wir schreiben hierfür: $$\ \sum_{j=1}^{m} h(a_j) = n $$ oder kürzer $$\ \sum h(a_j) = n $$

Exkurs: Summen und Summenzeichen

Anstatt alle Summanden einzeln aufzuzählen, z.B.$\ h(a_1) + h(a_2) + ... + h(a_n)$ , benutzen wir hierfür das sog. Summenzeichen $\ \sum $ (griechischer Buchstabe Sigma). Damit wir wissen, was wir alles aufsummieren müssen, benutzen wir einen sog. Laufindex und schreiben unter das Summenzeichen $\ \sum $ den Startwert, z.B. i = 1 oder j = 1 und über das $\ \sum $ den gewünschten Endwert, z.B. n oder m oder 20 etc. In unserem obigen Beispiel bedeutet dies: $$\ \sum_{j=1}^{m} h(a_j) = h(a_1) + h(a_2) + h(a_3) + h(a_4) + h(a_5) = 2 + 3 + 2 + 6 + 7 = 20 = n. $$ Summieren wir über alle Werte auf also z.B. von i = 1 bis n oder von j = 1 bis m, so lässt man die Angaben unter und oberhalb des $\ \sum $ einfach weg und schreibt anstatt
$$\ \sum_{j=1}^{m} h(a_j)$$ nur noch $$\ \sum h(a_j)$$
Existieren mehrere Indizes, wir möchten aber nur über einen bestimmten aufsummieren, so schreibt man kürzer nur den Index, über den aufsummiert werden soll unter das $\ \sum $: $$\ \sum_{i=1}^{n} {a_i \cdot b_j} $$ wird zu $$\ \sum_{i} {a_i \cdot b_j} $$ Wir wollen also nur über i aufsummieren, der Index j bleibt konstant. In Kapitel 6 wird uns noch die Doppelsumme „$\ \sum \sum $ ” begegnen, dies bedeutet nichts anderes, als dass wir mit dem Laufindex des ersten Summenzeichens beginnen, diesen auf den Startwert setzen und dann einmal über alles des zweiten Summenzeichens aufsummieren. Erhöhen wir nun den Laufindex des ersten Summenzeichens um Eins und summieren wieder über alles des zweiten Summenzeichens auf usw. Auch hier kürzen wir häufig ab, indem wir nur den Laufindex unter das $\ \sum $ schreiben, wenn wir über alles aufsummieren wollen: $$\ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} {a_i \cdot b_j} =\sum_i \sum_j {a_i \cdot b_j} $$ $$\ = {a_1 \cdot b_1} + {a_1 \cdot b_2} + ...+ {a_1 \cdot b_m} $$ $$\ +{a_2 \cdot b_1}+{a_2 \cdot b_2}+...+{a_2 \cdot b_m}$$ $$\ +{a_n \cdot b_1}+{a_n \cdot b_2}+...+{a_n \cdot b_m} $$