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Deskriptive Statistik - Verhältniszahlen

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Deskriptive Statistik

Verhältniszahlen

Im abschließenden Kapitel unseres Kurses zur deskriptiven Statistik beschäftigen wir uns mit dem Thema der Indexrechnung.

Die weiter unten zu besprechenden Indexzahlen (speziell Preisindices und Mengenindices) lassen sich aus Verhältniszahlen heraus erklären. Der Begriff  der Verhältniszahl soll zunächst erklärt werden. Unter diesen versteht man Brüche, die eine Beziehung widergeben zwischen der Zahl im Zähler und jener im Nenner.
Man unterscheidet folgende Arten von Verhältniszahlen:

  • Gliederungszahlen,
  • Beziehungszahlen und
  • Messzahlen
    • Preisindices,
    • Mengenindices,
    • Wertindices.

Gliederungszahl

Bei Gliederungszahlen haben der Zähler und der Nenner dieselbe Dimension, weil eine Gesamtheit aufgegliedert wird, so z.B. in dem folgenden

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 66 - Gliederungszahl:
In einer Schule gibt es 672 Schüler, davon 350 Mädchen und 322 Jungen.
Der Anteil der Mädchen ist damit $\ {350 \over 672} = 0,5208 = 52,08\ \% $, der Anteil der Jungen entsprechend $\ {322 \over 672} = 0,4792 = 47,92\ \% $.

Man benutzt also Gliederungszahlen dazu, um die Teilgesamtheiten in Beziehung zueinander zu setzen und die interne Struktur der Gesamtmasse abzubilden. Gliederungszahlen stellt man gerne auch in Kuchendiagrammen (= Kreisdiagrammen) dar.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 67 :
Weitere Gliederungszahlen sind:
- Studenten nach Studienfächern gegliedert,
- Angehörige eines Fitnessstudios, nach Berufsgruppen gegliedert.

Beziehungszahl

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Merke: Bei Beziehungszahlen haben Zähler und Nenner nicht dieselbe Dimension. Es werden verschiedenartige Größen zueinander in Beziehung gesetzt (trotzdem sollten Zähler und Nenner sinnvoll zusammenhängen). Insbesondere ist der Zähler kein Teil des Nenners.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 68:
Ein Autofahrer fährt eine Strecke von 240 km in einer Zeit von vier Stunden.
Er ist also mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $\ {240km \over 4h} = 60{km \over h} $ gefahren.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 69:
Weitere Beziehungszahlen sind:
- Bevölkerungsdichte
- Gesamtkapitalrendite
- Verschuldungsgrad.

Messzahl

Als Messzahlen bezeichnet man Quotienten, die aus Zeitreihenwerten gebildet werden. Diese müssten allerdings metrisch skaliert sein. Die Messzahl $\ {x_i \over x_j} $ gibt an, in welchem Ausmaß sich die Mehrmalsausprägung x in der Berichtsperiode i im Vergleich zur Basisperiode j geändert hat.
So sei z.B. konkret das Preisniveau in der Basisperiode 2003 als 100 [%] gesetzt. Im Vergleich hierzu habe sich das Preisniveau in der Berichtsperiode 2004 auf 105 [%] erhöht. Die Messzahl $\ {x_{2004} \over x_{2003}} ={105 \over 100}= 1,05 $ gibt dann an, dass sich das Preisniveau um 5 % erhöht hat.
Zur Übersicht nochmal die folgende Grafik:

Systematisierung von Verhältniszahlen
Systematisierung von Verhältniszahlen

Wir werden in den folgenden Kapiteln speziell auf die Messzahlen eingehen und uns mit den Preisindices, Mengenindices und Wertindices beschäftigen.