Inhaltsverzeichnis
Das letzte Thema unseres Kurses, mit dem wir uns beschäftigen werden, ist das der Indexrechnung.
Durch den Begriff der Verhältniszahlen lassen sich die Indexzahlen (im Besonderen Preisindices und Mengenindices). Daher besprechen wir zunächst den Begriff der Verhältniszahlen, bevor wir dann die Indexzahlen erläutern.
Wie der Name der Verhältniszahlen schon nahelegt, drücken diese ein Verhältnis aus, was mathematisch immer durch einen Bruch formuliert wird, welcher das Verhältnis von Zähler zu Nenner ausdrückt.
Es gibt folgende Arten von Verhältniszahlen:
- Gliederungszahlen
- Beziehungszahlen
- Messzahlen
- Preisindices,
- Mengenindices
- Wertindices
1. Gliederungszahl
Bei Gliederungszahlen haben der Zähler und der Nenner dieselbe Dimension (man könnte auch von Einheit sprechen), weil eine Gesamtheit aufgegliedert wird, so z.B. in dem folgenden
-
Beispiel 66 - Gliederungszahl:
Von ca. 83,24 Mio. Menschen in Deutschland bezeichnen sich ca. 7,5 Mio. als Vegetarier und 1,13 Mio. als Veganer.
Somit ist der Anteil an Vegetarier in Deutschland $\ {7,5 \over 83,24} = 0,0901 = 9,01 \% $, der Anteil der Veganer beläuft sich auf $\ {1,13 \over 83,24} = 0,0135= 1,35 \% $. Also entfallen 89,63 % auf den Rest.
Gliederungszahlen werden also verwendet, Teilgesamtheiten zu vergleichen und eine interne Struktur einer Gesamtmasse abzubilden. Gliederungszahlen werden daher auch häufig in Kreisdiagrammen dargestellt.
Beispiel
Beispiel 67:
Weitere Gliederungszahlen sind:
- Arbeitslosenquote
- Frauenquote in Führungspositionen
2. Beziehungszahl
Bei Beziehungszahlen hingegen haben Zähler und Nenner nicht die gleiche Dimension, es beziehen sich also verschiedene Größen aufeinander (gleichwohl sollte auf einen sinnvollen Zusammenhang zwischen Zähler und Nenner geachtet werden). Vor allem ist der Zähler kein Teil des Nenners.
Beispiel
Beispiel 68:
Eine Badewanne von einem Fassungsvermögen von 150 l wird in 10 Min. gefüllt.
Durchschnittlich fließen also $\ {150l \over 10 Min.} = 15 {l \over min.} $ in die Wanne.
Beispiel
Beispiel 69:
Weitere Beziehungszahlen sind:
- Bevölkerungsdichte
- Gesamtkapitalrendite
- Geschwindigkeit
3. Messzahl
Unter einer Messzahl versteht man einen Quotienten aus Zeitreihenwerten, die jedoch metrisch skaliert sein müssen. Die Messzahl $\ {x_i \over x_j} $ zeigt, in welchem Ausmaß sich die Merkmalsausprägung x im Vergleich zur Basisperiode j in der Berichtsperiode i verändert hat.
Beispiel
Die durchschnittliche Miete im Jahr 2020 in Deutschland betrug ca. 8,22€. Im Jahr 2021 ist dieser Wert auf 8,82€ gestiegen. Die Messzahl $\ {x_{2021} \over x_{2021}} ={{8,82€} \over {8,22€}} = {107,3 \over 100} = 1,073 $ gibt dann an, dass sich das durchschnittliche Mietniveau um 7,3 % erhöht hat.
Wir werden in den folgenden Kapiteln speziell auf die unterschiedlichen Messzahlen eingehen und uns mit den Preisindices, Mengenindices und Wertindices beschäftigen.
Zur Übersicht nochmal die folgende Grafik:
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