Harmonisches Mittel

Sind Merkmalswerte Quotienten, von denen also entweder der Zähler oder der Nenner nicht gegeben sind, so verwendet man das harmonische Mittel. Hier einige Beispiele.

Der Begriff Geschwindigkeit ist definiert als Weg s pro Zeit t, also $\ v = {s \over t} $. Man berechnet, dass der Rennfahrer folgende Zeiten auf den einzelnen Strecken benötigt hat:

So ist er bspw. auf Strecke 1 die Distanz von 120 km mit 80 $km\over h$ zurückgelegt, dies hat also $\ {120km \over {80 {km\over h}}} = 1,5h$ gedauert.
Insgesamt war er 5,75 h unterwegs, bei einer Gesamtdistanz von 660 km hatte er demnach eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $\ {660km \over 5,75h} = 114,78 {km\over h}$.

Wir berechnen zunächst die längen der einzelnen Strecken, wie bspw. für Weg 5:

$\ {50 {km\over h} \cdot 2 h} = 100 $ km.

Insgesamt fuhr der Student also 460 km in einer Zeit von 5,25 Stunden. Das ergibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $\overline v = {460km \over 5,25h} = 87,619 {km\over h} $.

Formel harmonisches Mittel

Möchte man den Mittelwert aus Brüchen $\ {a_i \over b_i} $ bestimmen, haben wir dies bisher mit der direkten Methode gemacht, indem wir zunächst den gesamten Zähler und den gesamten Nenner berechnet und anschließend in die Formel Mittelwert bei „direkter Methode“ $$\ \overline v ={\sum_{i=1}^n a_i \over \sum_{i=1}^n b_i} $$ eingesetzt haben. Im Beispiel 40 waren die Nenner $\ b_i $, nämlich die Zeiten, nicht gegeben, im Beispiel 41 waren die Distanzen, also die Zähler $\ a_i $ unbekannt. Im ersten Schritt wurden beide bestimmt und in Anschluss dann der Mittelwert berechnet.

Es ist aber auch möglich, ohne erst Zähler oder Nenner zu bestimmen den Mittelwert zu berechnen. Dies geht über die indirekte Methode, diese nennen wir auch harmonisches Mittel $\overline x _h $.

Wollen wir diese nun auf die obigen Beispiele anwenden:

Beispiel 40, bei unbekanntem Nenner $\ b_i $:
$\ \begin{align} \overline x_h & ={(120km+240km+175km+125km) \over {120km\over 80 {km\over h}} + {240km \over 120 {km\over h}} + {175km \over 100 {km\over h}}+ {125km \over 250 {km\over h}}}
\\ &= {660km \over (1,5h+2h+1,75h+0,5h)}
\\ & = {660km \over 5,75h}
\\ & =114,78 {km\over h} \end{align} $

Beispiel 41, bei unbekanntem Zähler $\ b_i $:
$\ \begin{align} \overline x_h & ={{50 {km\over h} \cdot 2h} + {100{km\over h} \cdot 1,5h}+{80{km\over h} \cdot 0,75h}+{150 {km\over h} \cdot 1h} \over (2h + 1,5h + 0,75h + 1h)}
\\ &= {180km+200km+80km+66km) \over 5,1h}
\\ & ={460km \over 5,25h}
\\ & = 87,619 {km\over h} \end{align} $

Dadurch, dass wir es jetzt sehr ausführlich hingeschrieben haben, können wir erkennen, dass sich beiden Methoden gar nicht so sehr unterscheiden. Die Anwendung des harmonischen Mittels ist im Prinzip nicht anderes, als die der direkten Methode, das Ausrechnen entweder des Zählers oder des Nenners.

Oftmals schreibt man die Formel für das harmonische Mittel folgendermaßen:

$$\ \overline x_H= {n \over \sum_{i=1}^k {m_i \over x_i}} $$

bzw.

$$\ \overline x_H= {1 \over \sum_{i=1}^k {h_i \over x_i}} $$

Hierbei sind die $x_i$ die o.g. Beziehungszahlen, also z.B. die Geschwindigkeitsangaben. Die linke Formel entspricht exakt Methode 1, nämlich das Ausrechnen eines Mittelwertes bei bekanntem Zähler ai, aber unbekanntem Nenner $\ N_i $ . Wenn man hierbei durch n kürzt, erhält man den rechten Ausdruck. Der Parameter $\ h_i $ ist also $\ h_i = {n_i \over n} $ und gibt den jeweiligen Anteil an.

Im Beispiel 40  ist z.B. $\ n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 120 + 240 + 175 + 125 = 660 $ [km] und es gilt $\ h_1 = {120 \over 660 }= 0,1818,\ h_2 = {240 \over 660 }= 0,3636,\ h_3 = 0,2652,\ h_4 = 0,1894 $.

Damit rechnet man das harmonische Mittel aus als $$\ \overline x_H= {1 \over \sum_{i=1}^k {h_i \over x_i}}= {1 \over {0,1818 \over 80}+{0,3636 \over 120}+{0,2652 \over 100}+{0,1894 \over 250}} = {1 \over 0,0087121} =114,78 {km\over h}$$  also genau das gleiche Ergebnis wie oben errechnet.

Mittelwerte und Skalenniveau

Die Tabelle gibt nochmals einen Überblick für den passenden Mittelwert bei entsprechender Skala: