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Deskriptive Statistik

Harmonisches Mittel

Wenn die Merkmalswerte aus Brüchen bestehen, von denen entweder der Zähler oder der Nenner nicht gegeben sind, so verwendet man das harmonische Mittel. Dazu folgende Beispiele.

Beispiele zum harmonischen Mittel

Beispiel 40

Der Student D fährt mit seinem neuen Auto eines namhaften süddeutschen Autobauers die folgenden Strecken mit den erwähnten Geschwindigkeiten:

Strecke 1 2 3 4
Distanz100 km140 km50 km150 km
Geschwindigkeit50 km/h100 km/h80 km/h150 km/h

Wie lange hat er insgesamt gebraucht? Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist er insgesamt gefahren?
Der Begriff Geschwindigkeit ist definiert als Weg s pro Zeit t, d.h. in Buchstaben $\ v = {s \over t} $ . Man errechnet, dass der Student D folgende Zeiten auf den einzelnen Strecken benötigt hat:

Strecke 1 2 3 4
Zeit2 h1,4 h0,625 h1 h

So ist er z.B. auf Strecke 2 die Distanz von 140 km mit 100 km/h gefahren, hat also
$\ {140km \over 100km/h} = 1,4kmh/km = 1,4h $
benötigt. Insgesamt war er also 5,025 h unterwegs. Bezogen auf eine Distanz von 440 km bedeutet dies, dass er eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $\ {440km \over 5,025h} =87,56 $ km/h hatte.

Beispiel 41

Besagter Student gibt nun lediglich an, wie lange er für die einzelnen Strecken brauchte und mit welcher Geschwindigkeit er fuhr, nicht aber, wie lange die Distanz war:

Strecke 5 6 7 8
Zeit1,5 h2 h1 h0,6 h
Geschwindigkeit120 km/h100 km/h80 km/h110 km/h

Welche Strecke ist er insgesamt gefahren? Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fuhr er?
Wir berechnen zunächst die Distanzen der einzelnen Strecken, so ist z.B. der Weg 8 insgesamt $\ {110 km/h \cdot 0,6h} = 66 $ km lang.

Strecke

5

6

7

8

Distanz

180 km

200 km

80 km

66 km

Insgesamt fuhr der Student also 526 km in einer Zeit von 5,1 Stunden. Das ergibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $\ \overline v = {526 \over 5,1} = 103,137 $ km/h.

Formel harmonisches Mittel

Wenn man also das Mittel aus Brüchen $\ {a_i \over b_i} $ ausrechnen möchte, ist die direkte Methode, den gesamten Zähler und den gesamten Nenner zu berechnen, durch die Formel Mittelwert bei „direkter Methode“
$$\ \overline v ={\sum_{i=1}^n a_i \over \sum_{i=1}^n b_i} $$
gegeben. Genau dies haben wir gemacht. Im ersten Beispiel waren die Nenner $\ b_i $, nämlich die Zeiten, nicht gegeben, im zweiten Beispiel waren die Zähler $\ a_i $ unbekannt, nämlich die Distanzen. Beide wurden zunächst berechnet, um dann den Mittelwert zu berechnen. Es gibt aber auch eine indirekte Methode, mit der nicht zunächst Zähler oder Nenner ausgerechnet werden müssen, diese Methode nennen wir harmonisches Mittel $\ \overline x _h $.

Expertentipp

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Mittelwerte bei Brüchen:
Gegeben seien die Beziehungszahlen $\ x_i ={a_i \over b_i} $.
Wir berechnen das Mittel aus diesen Werten

  • wenn die einzelnen Nenner $\ b_i $ unbekannt sind durch: $$\ \overline x_h= { \sum_{i=1}^n a_i \over \sum_{i=1}^n {a_i \over x_i}} $$
  • wenn die einzelnen Zähler $\ a_i $ unbekannt sind durch: $$\ \overline x_h={\sum_{i=1}^n x_i \cdot b_i \over \sum_{i=1}^n b_i} $$

Angewendet auf die o.e. Beispiele errechnet man für das Beispiel 40:
$$\ \begin{align} \overline x_h & ={(100km+140km+50km+150km) \over {100km \over 50 km/h} + {140km \over 100 km/h} + {50km \over 80 km/h}+ {150km \over 150 km/h}} \\ & = {440km \over (2h+1,4h+0,625h+1h)} \\ & = {440km \over 5,025h} \\ & = 87,562 km/h \end{align} $$ und für das Beispiel 41:
$$\ \begin{align} \overline x_h & ={{120km/h \cdot 1,5h} + {100km/h \cdot 2h}+{80km/h \cdot 1h}+{110km/h \cdot 0,6h} \over (1,5h+2h+1h+0,6h)} \\ & = {180km+200km+80km+66km) \over 5,1h} \\ & ={526km \over 5,1h} =103,137 km/h \end{align} $$ Durch das ausführliche Aufschreiben sieht man, dass die indirekte Methode, nämlich das Rechnen mit dem harmonischen Mittel, in Wahrheit nichts anderes ist als die direkte, nämlich das Ausrechnen entweder des Zählers oder des Nenners.
Oftmals schreibt man die Formel für das harmonische Mittel folgendermaßen: $$\ \overline x_H= {n \over \sum_{i=1}^k {m_i \over x_i}} $$ bzw. $$\ \overline x_H= {1 \over \sum_{i=1}^k {h_i \over x_i}} $$ Hierbei sind die xi die o.g. Beziehungszahlen, also z.B. die Geschwindigkeitsangaben. Die linke Formel entspricht exakt Methode 1, nämlich das Ausrechnen eines Mittelwertes bei bekanntem Zähler ai, aber unbekanntem Nenner $\ N_i $ . Wenn man hierbei durch n kürzt, erhält man den rechten Ausdruck. Der Parameter $\ h_i $ ist also $\ h_i = {n_i \over n} $ und gibt den jeweiligen Anteil an.
Im Beispiel 1 ist z.B. $\ n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 100 + 140 + 5 + 150 = 395 $ [km] und es gilt $\ h_1 = {100 \over 440}= 0,2273,\ h_2 = {140 \over 440}= 0,3182,\ h_3 = 0,1136,\ h_4=0,3409 $. Damit rechnet man das harmonische Mittel aus als $$\ \overline x_H= {1 \over \sum_{i=1}^k {h_i \over x_i}}= {1 \over {0,2273 \over 50}{0,3182 \over 100}{0,1136 \over 80}{0,3404 \over 150}}={1 \over 0,0114} =87,56km/h $$
also genau das gleiche Ergebnis wie oben errechnet.

Mittelwerte und Skalenniveau

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Merke: Für die Anwendbarkeit des richtigen Mittelwertes ist es entscheidend, wie die Merkmalswerte skaliert sind. Für die einzelnen Skalen listet die folgende Tabelle die passenden Mittelwerte auf.
Skala Lageparameter
NominalskalaModus
OrdinalskalaMedian
Intervallskalaarithmetisches Mittel
Verhältnisskalageometrisches Mittel