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Deskriptive Statistik - Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche

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Deskriptive Statistik

Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche

Inhaltsverzeichnis

Ebenso wird auch bei den Mengenindizes differenziert zwischen dem Mengenindex

nach Laspeyres $MI _{0,t}^L = {\sum p_i^0 q_i ^t \over \sum p_i^0 q_i^0} $ und dem nach Paasche $MI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i ^t \over \sum p_i^t q_i^0} $.

Auch hier bezieht Laspeyres die Preise der Basisperiode 0 ein und Paasche rechnet mit den Preisen der Berichtsperiode t. Gleich verhält es sich dann auch bei der Interpretation als arithmetisches Mittel, diesmal von Mengenmesszahlen $ {q_i^t \over q_i^0} $:

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Mengenindex nach Laspeyre:

$ MI^L_{0,t} = \sum { p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {q^t_i \over q^0_i} $

Mengenindex nach Paasche:

$ MI^P_{0,t} = \sum {p^t_i q^0_i \over \sum p^t_j q^0_j} \cdot {q^t_i \over q^0_i} $

Berechnung am Beispiel

Umgesetzt für das Beispiel 70 sieht das wie folgt aus:

$\begin{align} MI^L_{2018,2019} & = {3 \cdot 10 +10 \cdot 0,8 + 5 \cdot 1,3 \over 3 \cdot 8 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1,3}
\\ & = {44,50 \over 36,50}
\\ & = 1,2192 \end {align} $

$\begin{align} MI^P_{2018,2019} & = {4 \cdot 10 + 12 \cdot 0,8 +5,5 \cdot 1,3 \over 4 \cdot 8 + 12 \cdot 0,75 + 5,5 \cdot 1}
\\ & = {56,75 \over 46,50}
\\ & = 1,2204 \end {align} $

Ebenso wieder die Interpretation mit dem gewogenen arithmetischen Mittel der Mengenmesszahlen:

  • für den Mengenindex nach Laspeyres:
    $\begin{align} MI^L_{0,t} & = {3 \cdot 8 \over 8 \cdot 3 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1} \cdot {10 \over 8} + {10  \cdot 0,75 \over 36,50} \cdot {0,8 \over 0,75} + {8 \cdot 1 \over 36,50} \cdot {1,3 \over 1}
    \\ & = 0,6575 \cdot 1,25 + 0,2055 \cdot 1,067 + 0,1370 \cdot 1,3
    \\ & = 1,2192\end {align} $

  • für den Mengenindex nach Paasche:
    $\begin{align} MI^P_{0,t}& = {4 \cdot 8 \over 4 \cdot 8 + 12  \cdot 0,75 + 5,5 \cdot 1} \cdot {10 \over 8} + {12 \cdot 0,75 \over 46,50 } \cdot {0,80 \over 0,75 } + {5,5 \cdot 1 \over 46,50} \cdot {1,3 \over 1}
    \\ & = 0,6882 \cdot 1,25 + 0,1935 \cdot 1,067 + 0,1183 \cdot 1,3
    \\ & = 1,2204\end {align} $

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Mengenindex:

nach Laspeyres: $$MI _{0,t}^L = {\sum p_i^0 q_i ^t \over \sum p_i^0 q_i^0} $$

nach Paasche: $$MI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i ^t \over \sum p_i^t q_i^0} $$