ZU DEN KURSEN!

Deskriptive Statistik - Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

Kursangebot | Deskriptive Statistik | Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

Deskriptive Statistik

Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

wiwiweb JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien erwarten dich:
Komplettpaket für wiwi-Studenten


1676 Lerntexte mit den besten Erklärungen

335 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3840 Übungen zum Trainieren der Inhalte

2129 informative und einprägsame Abbildungen

In folgenden Kapiteln lernen wir die relevantesten Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche kennen.

Formeln

Der Preisindex $PI _{0,t}^L $ nach Laspeyres lautet:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Aggregatformel (Laspeyres):

$$PI _{0,t}^L = {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0} $$

Wie also im vorherigen Abschnitt gesehen, wird die Veränderung des Preisniveaus bestimmt, indem in der Berichtsperiode t dieselben Mengen $\ q_i^0 $ genutzt würden wie in der Basisperiode 0. Man betrachtet also nur die Preisentwicklung, da die Menge konstant bleibt.  Der Preisindex nach Laspeyres betrachtet als Bezugsmengen die der Basisperiode 0.

Anders verhält es sich beim Preisindex nach Paasche, der mit den Mengen der Berichtsperiode t rechnet:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Aggregatformel (Paasche):

$$PI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i^t \over \sum p_i^0 q_i^t} $$

Berechnung am Beispiel

Im vorliegenden Beispiel 70 erhält man für die Formel nach Paasche

$\begin{align} PI^P_{2018,2019} & = {{4 \cdot 10 + 12 \cdot 0,8 + 5,5 \cdot 1,3} \over {3 \cdot 10 + 10 \cdot 0,8 + 5 \cdot 1,3}}
\\ & ={56,75 \over 44,5}
\\ & = 1,2753 \end{align}$

Man erhält nach dieser Methode also eine Preissteigerung in Höhe von 27,53 %.

Der Preisindex von Laspeyres hingegen ist

$\begin{align} PI^L_{2018,2019} & = {{4 \cdot 8 + 12  \cdot 0,75 + 5,5 \cdot 1} \over {3 \cdot 8 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1}}
\\ & ={46,5 \over 36,5}
\\ & = 1,2740 \end{align}$

Sowohl der Preisindex nach Laspeyres  als auch nach Paasche multiplizieren im Zähler und Nenner je mit denselben Mengen, was bedeutet, dass beide nur die Preisentwicklung abzielen.  Der Unterschied liegt in der Bezugsmenge, Laspeyres betrachtet die Mengen der Basisperiode 0, Paasche hingegen bezieht sich auf die Mengen der Berichtsperiode t.

Preismesszahl

Berechnet man nun mit

$$g_i= {p_i^0 q_i^0\over \sum_{j=1}^n p_j^0 q_j^0} $$

den Ausgabenanteil des i. Gutes (i = 1, ..., n), dann hält man durch einige Umformungen zunächst für den allgemein formulierten Preisindex:

$\begin{align} PI_{0,t} & = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i}
\\ & = { \sum q_i p_i^0 \cdot {p_i^t \over p_i^0} \over \sum p_i^0 q_i}
\\ & = \sum {q_i p_i^0 \over \sum p_i^0 q_i} \cdot {p_i^t \over p_i^0}
\\ & = \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} \end{align}$

Der Bruch ${p_i^t \over p_i^0} $ wird oft als Preismesszahl benannt. Dieser zeigt die Preisänderung eines Gutes i unabhängig von einer bestimmten Menge. In unserem Beispiel 70 wären die Preismesszahlen ${p_i^{2019} \over p_i^{2018}}$ das für das Brot ${4 \over 3} = 1,33$, den Kaffee ${12 \over 10} = 1,2 $ und die Schokocreme ${5,5 \over 5}=1,1 $ .

Der Ausgabenanteil $g_i$ wiederum gibt an, welcher Teil der Gesamtausgaben für das i. Gut ausgegeben werden. Sie sind normiert, liegen also zwischen 0 und 1, in Zeichen: $ 0 \leq g_i \leq 1 $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Der Preisindex $PI_{0,t} $ gilt als gewogenes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen, aufgrund der Gültigkeit der Formel $PI_{0,t} = \sum g_i \cdot {p^t_i \over p^0_i} $

Unterschied zwischen Laspeyres und Paasche

Der Unterschied zwischen dem Preisindex nach Laspeyres und nach Paasche ist der, dass Laspeyres die Mengen der Basisperiode 0 und Paasche der Berichtsperiode t Bezugsgröße nimmt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Laspeyres-Preisindex

$PI^L_{0,t} = {\sum p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}= \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} $

Paasche-Preisindex

$PI^P_{0,t} = {\sum p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i},
\text {also}
\ g_i = {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} $

Also errechnet man nach dem Vorgehen über die Ausgabenanteile:

  • die Ausgabenanteile nach Laspeyres sind $g_i = {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j}$
  • der Nenner des Ausdrucks $g_i$ sind die Gesamtausgaben des Basisjahres, also $\sum p^0_j q^0_j = 36,50$

  • die Ausgabenanteile:
    • Brot ist $g_1={8 \cdot 3 \over 36,50} = 0,6475$
    • Kaffee lautet $g_2={0,75 \cdot 10 \over 36,50} = 0,2055$
    • Schokocreme gilt $g_3={1 \cdot 5 \over 36,50} = 0,1370$

  • die Preismesszahlen lauten:
    • für das Brot: ${p_1^6 \over p_1^0} = {4\over 3}=1,33 $
      (es gibt also eine Preissteigerung um 33% unabhängig von der Menge)
    • für das Kaffee: $ {12 \over 10} = 1,2 $
    • für das Schokocreme: ${5,5 \over 5} = 1,1 $

Der Preisindex nach Laspeyres ergibt also folgendermaßen:

$ \begin {align} PI^L_{0,t} & = \sum {p^t_i q^0_i \over p^0_i q^0_i}
\\ & = \sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}
\\ & = {3 \cdot 8 \over 3 \cdot 8 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1} \cdot {4 \over 3} + {10 \cdot 0,75 \over 36,5 } \cdot {12 \over 10} + {5 \cdot 1 \over 36,5} \cdot {5,5 \over 5}
\\ & = 0,6575 \cdot 1,33 + 0,2055 \cdot 1,2 + 0,13,7 \cdot 1,1
\\ & = 1,2740 \end {align} $

Für den Preisindex nach Paasche ergibt sich:

$ \begin {align} PI^P_{0,t} & = \sum {p^t_i q^t_i \over p^0_i q^t_i}
\\ & = \sum {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}
\\ & = {3 \cdot 10 \over 3 \cdot 10+ 10 \cdot 0,8 + 5 \cdot 1,3} \cdot {4\over 3} + {10 \cdot 0,8 \over 44,5} \cdot {12 \over 10} + {5 \cdot 1,3 \over 44,5 } \cdot {5,5 \over 5}
\\ & = 0,6742 \cdot 1,33 + 0,1798 \cdot 1,2 + 0,1461 \cdot 1,1
\\ & = 1,2753 \end {align} $

-

Hier klicken zum Ausklappen

Die Ausgabenanteile $g_i$ haben nichts mit keine Mengenanteilen zu tun, sie teilen sowohl im Zähler als auch im Nenner nur monetäre Größen.

So sagt der Ausgabenanteil  des Basisjahres $g_3 = 0,1370 $ aus, dass ca. 13,70% der Ausgaben 2018 für die Schokocreme ausgegeben wurde.

Für die Paasche-Formel lässt sich eine solche Aussage nicht direkt treffen, da in dieser die Preise mit Menge unterschiedlicher Perioden verrechnet werden.

Der Preisindex nach Paasche kann folgendermaßen als harmonisches Mittel beschrieben werden. Außerdem sein nochmal die Formel des Laspeyres-Index aufgeführt, um die folgenden Aussagen der MERKE-Box besser zu verstehen.

$ PI^P_{0,t} = {1 \over \sum {{p^0_i q^0_i \over {\sum p^0_j q^0_j}} \cdot {p^0_i \over p^t_i}}} $

und

$ PI^L_{0,t} =\sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Der Preisindex nach Laspeyres ist ein gewogenes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Berichtsperiode sind.

Der Preisindex nach Paasche hingegen ist ein harmonisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Basisperiode sind.

Dieses Video beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit dem Index nach Laspeyres. Auf die in den beiden folgenden Videos angesprochenen Mengenindices wird in der Folgelektion eingegangen.

Im zweiten Video wird nochmals auf den Index nach Paasche eingegangen: