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Deskriptive Statistik - Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

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Deskriptive Statistik

Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

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Die beiden wichtigsten Preisindizes, die auch in den folgenden Kapiteln behandelt werden, sind die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche.

Formeln

Der Preisindex $\ PI _{0,t}^L $ nach Laspeyres ist

Merke

Aggregatformel (Laspeyres) $$\ PI _{0,t}^L = {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0} $$

Man rechnet also wie oben geschehen: wie verändert sich das Preisniveau, wenn in der Berichtsperiode t die gleichen Mengen $\ q_i^0 $ verwendet würden wie in der Basisperiode 0. Es wird lediglich auf die Preisentwicklung abgestellt, die Mengen bleiben konstant. Der Preisindex nach Laspeyres betrachtet als Mengen jene der Basisperiode 0.

Video: Preisindizes nach Laspeyres und Paasche



Anders des Preisindex nach Paasche: er wählt die Mengen der Berichtsperiode t und errechnet sich damit als

Merke

Aggregatformel (Paasche) $$\ PI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i^t \over \sum p_i^0 q_i^t} $$

Video: Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

Berechnung am Beispiel

Im vorliegenden Beispiel 70 erhält man  für die Formel nach Paasche $$\ PI^P_{2001,2002}= {15 \cdot 30 +1,3 \cdot 600+1 \cdot 80 \over 10 \cdot 30 + 1 \cdot 600 + 0,8 \cdot 80}={1310 \over 964} = 1,3589 $$ Man erhält nach dieser Methode also eine Preissteigerung in Höhe von 35,9 %. Der Preisindex von Laspeyres hingegen ist
$$\ PI^L_{2001,2002}= {15 \cdot 20 +1,3 \cdot 500+1 \cdot 100 \over 10 \cdot 32 + 1 \cdot 500 + 0,8 \cdot 100} ={1050 \over 780}= 1,3462 $$

Merke

Merke:

  • beide Preisindices, also jene nach Laspeyres und nach Paasche, unterstellen im Zähler und Nenner jeweils für sich dieselben Mengen,
  • beide stellen damit ausschließlich auf die Preisentwicklung ab,
  • Laspeyres betrachtet die Mengen der Basisperiode, also von 0,
  • Paasche hingegen stellt ab auf die Mengen der Berichtsperiode, also von t.

Preismesszahl

Berechnet man nun mit

$$\ g_i= {p_i^0 q_i^0\over \sum_{j=1}^n p_j^0 q_j^0} $$

den Ausgabenanteil des i. Gutes (i = 1, ..., n), dann hält man durch einige Umformungen zunächst für den allgemein formulierten Preisindex: $$\ PI_{0,t} = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i} = { \sum q_i p_i^0 \cdot {p_i^t \over p_i^0} \over \sum p_i^0 q_i} = \sum {q_i p_i^0 \over \sum p_i^0 q_i} \cdot {p_i^t \over p_i^0} = \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} $$ Der Quotient $\ {p_i^t \over p_i^0} $ wird häufig als Preismesszahl bezeichnet. Er gibt an, wie sich der Preis – ohne Betrachtung der Mengen – des jeweiligen, d.h. des i. Gutes, verändert hat. Für das o.e. Beispiel 70 sind die Preismesszahlen $\ {p_1^{2002} \over p_1^{2001}}={15 \over 10}=1,5 $ für die Bücher, $\ {1,3 \over 1} = 1,3 $ für die Cola sowie $\ {1 \over 0,8} = 1,25 $ für die Nudeln.
Der Ausgabenanteil $\ g_i$ wiederum gibt an, welcher Teil der Gesamtausgaben für das i. Gut ausgegeben werden. Sie sind normiert, liegen also zwischen 0 und 1, in Zeichen: $\ 0 \leq g_i \leq 1 $

Merke

Merke: Ein Preisindex $\ PI_{0,t} $ ist wegen der Gültigkeit der Formel $\ PI_{0,t} = \sum g_i \cdot {p^t_i \over p^0_i} $ ein - gewogenes, - arithmetisches Mittel, - der Preismesszahlen.

Unterschied zwischen Laspeyres und Paasche

Man sieht, dass die Preisindices nach Laspeyres und nach Paasche sich hierin unterscheiden: jener nach Laspeyres gewichtet mit den Mengen der Basisperiode, jener nach Paasche mit den Mengen der Berichtsperiode. Konkret:

Merke

Laspeyres-Preisindex $$\ PI^L_{0,t} = {\sum p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}= \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} $$ Genauso für Paasche. Paasche-Preisindex $$\ PI^P_{0,t} = {\sum p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}, \text { d.h.}\ g_i = {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} $$

Also errechnet man nach dem Vorgehen über die Ausgabenanteile:

  • die Ausgabenanteile nach Laspeyres sind $\ g_i = {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} $
    • der Nenner des Ausdrucks $\ g_i $ sind die Gesamtausgaben des Basisjahres, also $\ \sum p^0_j q^0_j = 780 $
    • der Ausgabenanteil der Bücher ist $\ g_1={10 \cdot 20 \over 780}= 0,2564 $, jene für Cola lautet $\ g_2={500 \cdot 1 \over 780}= 0,6410 $ und für die Nudeln gilt $\ g_3={100 \cdot 0,8 \over 780}= 0,1026 $
  • die Preismesszahlen sind $\ {p_1^6 \over p_1^0}={15 \over 10}=1,5 $ für die Nudeln (der Preis nahm – unabhängig von der Menge – um 50 % zu), für die Cola $\ {1,3 \over 1} = 1,3 $ und $\ {1 \over 0,8} = 1,25 $ für die Nudeln.
  • Der Preisindex nach Laspeyres berechnet sich damit als $$\ \begin {align} PI^L_{0,t} & = \sum {p^t_i q^0_i \over p^0_i q^0_i} =\sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} \\ & = {10 \cdot 20 \over 10 \cdot 20 + 1 \cdot 500 + 0,8 \cdot 100} \cdot {15 \over 10} + {1 \cdot 500 \over 780} \cdot {1,3 \over 1} + {0,8 \cdot 100 \over 780} \cdot {1 \over 0,8} \\ & = 0,2564 \cdot 1,5 + 0,641 \cdot 1,3 + 0,103 \cdot 1,25 = 1,3467 \end {align} $$
  • Für den Preisindex nach Paasche erhält man $$\ \begin {align} PI^P_{0,t} & = \sum {p^t_i q^t_i \over p^0_i q^t_i}= \sum {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} \\ & = {10 \cdot 30 \over 10 \cdot 30 + 1 \cdot 600 + 0,8 \cdot 80} \cdot {15 \over 10} + {1 \cdot 600 \over 964} \cdot {1,3 \over 1} + {0,8 \cdot 80 \over 964} \cdot {1 \over 0,8} \\ & = 0,31 \cdot 1,5 + 0,622 \cdot 1,3 + 0,066 \cdot 1,25 = 1,3561 \end {align} $$

Merke

Merke:
  • Die Ausgabenanteile $\ g_i $ sind keine Mengenanteile, sondern dividieren im Zähler und im Nenner monetäre Größen.
  • Der Ausgabenanteil des Basisjahres von z.B. $\ g_1 = 0,2564 $ gibt bspw. an, dass 25,65 % der Ausgaben im Jahr 2001 für Bücher getätigt wurden.
  • Die Ausgabenanteile der Paasche-Formel lassen sich nicht unmittelbar verstehen, da hier die Preise und Mengen, die jeweils miteinander multipliziert werden, nicht aus ein- und derselben Periode stammen.

Der Preisindex nach Paasche lässt sich wie folgt als harmonisches Mittel schreiben. Darüber hinaus notieren wir die Formel für den Laspeyres-Index nochmals dabei, was für das Verständnis der folgenden „MERKE”-Position sehr wichtig ist.

$$\ PI^P_{0,t} = {1 \over \sum {{p^0_i q^0_i \over {\sum p^0_j q^0_j}} \cdot {p^0_i \over p^t_i}}} $$
sowie $$\ PI^L_{0,t} =\sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} $$

Merke

Merke:
  • Der Preisindex nach Laspeyres ist ein gewogenes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Berichtsperiode sind.
  • Der Preisindex nach Paasche hingegen ist ein harmonisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Basisperiode sind.