wiwiweb
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Deskriptive Statistik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 29,00 €
Zur Kasse
Indexrechnung > Preisindizes:

Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

WebinarTerminankündigung:
 Am 19.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Statistik: Konfidenzintervalle und Testtheorie
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die Stichprobentheorie: was sind Konfidenzintervalle, wie testet man?
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die beiden wichtigsten Preisindizes, die auch in den folgenden Kapiteln behandelt werden, sind die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche.

Formeln

Der Preisindex $\ PI _{0,t}^L $ nach Laspeyres ist

Merke

Aggregatformel (Laspeyres) $$\ PI _{0,t}^L = {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0} $$

Man rechnet also wie oben geschehen: wie verändert sich das Preisniveau, wenn in der Berichtsperiode t die gleichen Mengen $\ q_i^0 $ verwendet würden wie in der Basisperiode 0. Es wird lediglich auf die Preisentwicklung abgestellt, die Mengen bleiben konstant. Der Preisindex nach Laspeyres betrachtet als Mengen jene der Basisperiode 0.

Video: Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

Die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche. Die jeweiligen Formeln, sowie eine Brechnung am Beispiel erklären die Unterschiede dieser beiden Preisindizes.



Anders des Preisindex nach Paasche: er wählt die Mengen der Berichtsperiode t und errechnet sich damit als

Merke

Aggregatformel (Paasche) $$\ PI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i^t \over \sum p_i^0 q_i^t} $$

Video: Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

Die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche. Die jeweiligen Formeln, sowie eine Brechnung am Beispiel erklären die Unterschiede dieser beiden Preisindizes.

Berechnung am Beispiel

Im vorliegenden Beispiel 70 erhält man  für die Formel nach Paasche $$\ PI^P_{2001,2002}= {15 \cdot 30 +1,3 \cdot 600+1 \cdot 80 \over 10 \cdot 30 + 1 \cdot 600 + 0,8 \cdot 80}={1310 \over 964} = 1,3589 $$ Man erhält nach dieser Methode also eine Preissteigerung in Höhe von 35,9 %. Der Preisindex von Laspeyres hingegen ist
$$\ PI^L_{2001,2002}= {15 \cdot 20 +1,3 \cdot 500+1 \cdot 100 \over 50 \cdot 30 + 1,3 \cdot 600 + 1 \cdot 80} ={1050 \over 780}= 1,3462 $$

Merke

Merke:

  • beide Preisindices, also jene nach Laspeyres und nach Paasche, unterstellen im Zähler und Nenner jeweils für sich dieselben Mengen,
  • beide stellen damit ausschließlich auf die Preisentwicklung ab,
  • Laspeyres betrachtet die Mengen der Basisperiode, also von 0,
  • Paasche hingegen stellt ab auf die Mengen der Berichtsperiode, also von t.

Preismesszahl

Berechnet man nun mit

$$\ g_i= {p_i^0 q_i^0\over \sum_{j=1}^n p_j^0 q_j^0} $$

den Ausgabenanteil des i. Gutes (i = 1, ..., n), dann hält man durch einige Umformungen zunächst für den allgemein formulierten Preisindex: $$\ PI_{0,t} = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i} = { \sum q_i p_i^0 \cdot {p_i^t \over p_i^0} \over \sum p_i^0 q_i} = \sum {q_i p_i^0 \over \sum p_i^0 q_i} \cdot {p_i^t \over p_i^0} = \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} $$ Der Quotient $\ {p_i^t \over p_i^0} $ wird häufig als Preismesszahl bezeichnet. Er gibt an, wie sich der Preis – ohne Betrachtung der Mengen – des jeweiligen, d.h. des i. Gutes, verändert hat. Für das o.e. Beispiel 70 sind die Preismesszahlen $\ {p_1^{2002} \over p_1^{2001}}={15 \over 10}=1,5 $ für die Bücher, $\ {1,3 \over 1} = 1,3 $ für die Cola sowie $\ {1 \over 0,8} = 1,25 $ für die Nudeln.
Der Ausgabenanteil $\ g_i$ wiederum gibt an, welcher Teil der Gesamtausgaben für das i. Gut ausgegeben werden. Sie sind normiert, liegen also zwischen 0 und 1, in Zeichen: $\ 0 \leq g_i \leq 1 $

Merke

Merke: Ein Preisindex $\ PI_{0,t} $ ist wegen der Gültigkeit der Formel $\ PI_{0,t} = \sum g_i \cdot {p^t_i \over p^0_i} $ ein - gewogenes, - arithmetisches Mittel, - der Preismesszahlen.

Unterschied zwischen Laspeyres und Paasche

Man sieht, dass die Preisindices nach Laspeyres und nach Paasche sich hierin unterscheiden: jener nach Laspeyres gewichtet mit den Mengen der Basisperiode, jener nach Paasche mit den Mengen der Berichtsperiode. Konkret:

Merke

Laspeyres-Preisindex $$\ PI^L_{0,t} = {\sum p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}= \sum g_i \cdot {p_i^t \over p_i^0} $$ Genauso für Paasche. Paasche-Preisindex $$\ PI^P_{0,t} = {\sum p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i}, \text { d.h.}\ g_i = {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} $$

Also errechnet man nach dem Vorgehen über die Ausgabenanteile:

  • die Ausgabenanteile nach Laspeyres sind $\ g_i = {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} $
    • der Nenner des Ausdrucks $\ g_i $ sind die Gesamtausgaben des Basisjahres, also $\ \sum p^0_j q^0_j = 780 $
    • der Ausgabenanteil der Bücher ist $\ g_1={10 \cdot 20 \over 780}= 0,2564 $, jene für Cola lautet $\ g_2={500 \cdot 1 \over 780}= 0,6410 $ und für die Nudeln gilt $\ g_3={100 \cdot 0,8 \over 780}= 0,1026 $
  • die Preismesszahlen sind $\ {p_1^6 \over p_1^0}={15 \over 10}=1,5 $ für die Nudeln (der Preis nahm – unabhängig von der Menge – um 50 % zu), für die Cola $\ {1,3 \over 1} = 1,3 $ und $\ {1 \over 0,8} = 1,25 $ für die Nudeln.
  • Der Preisindex nach Laspeyres berechnet sich damit als $$\ \begin {align} PI^L_{0,t} & = \sum {p^t_i q^0_i \over p^0_i q^0_i} =\sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} \\ & = {10 \cdot 20 \over 10 \cdot 20 + 1 \cdot 500 + 0,8 \cdot 100} \cdot {15 \over 10} + {1 \cdot 500 \over 780} \cdot {1,3 \over 1} + {0,8 \cdot 100 \over 780} \cdot {1 \over 0,8} \\ & = 0,2564 \cdot 1,5 + 0,641 \cdot 1,3 + 0,103 \cdot 1,25 = 1,3467 \end {align} $$
  • Für den Preisindex nach Paasche erhält man $$\ \begin {align} PI^P_{0,t} & = \sum {p^t_i q^t_i \over p^0_i q^t_i}= \sum {p^0_i q^t_i \over \sum p^0_j q^t_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} \\ & = {10 \cdot 30 \over 10 \cdot 30 + 1 \cdot 600 + 0,8 \cdot 80} \cdot {15 \over 10} + {1 \cdot 600 \over 964} \cdot {1,3 \over 1} + {0,8 \cdot 80 \over 964} \cdot {1 \over 0,8} \\ & = 0,31 \cdot 1,5 + 0,622 \cdot 1,3 + 0,066 \cdot 1,25 = 1,3561 \end {align} $$

Merke

Merke:
  • Die Ausgabenanteile $\ g_i $ sind keine Mengenanteile, sondern dividieren im Zähler und im Nenner monetäre Größen.
  • Der Ausgabenanteil des Basisjahres von z.B. $\ g_1 = 0,2564 $ gibt bspw. an, dass 25,65 % der Ausgaben im Jahr 2001 für Bücher getätigt wurden.
  • Die Ausgabenanteile der Paasche-Formel lassen sich nicht unmittelbar verstehen, da hier die Preise und Mengen, die jeweils miteinander multipliziert werden, nicht aus ein- und derselben Periode stammen.

Der Preisindex nach Paasche lässt sich wie folgt als harmonisches Mittel schreiben. Darüber hinaus notieren wir die Formel für den Laspeyres-Index nochmals dabei, was für das Verständnis der folgenden „MERKE”-Position sehr wichtig ist.

$$\ PI^P_{0,t} = {1 \over \sum {{p^0_i q^0_i \over {\sum p^0_j q^0_j}} \cdot {p^0_i \over p^t_i}}} $$
sowie $$\ PI^L_{0,t} =\sum {p^0_i q^0_i \over \sum p^0_j q^0_j} \cdot {p^t_i \over p^0_i} $$

Merke

Merke:
  • Der Preisindex nach Laspeyres ist ein gewogenes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Berichtsperiode sind.
  • Der Preisindex nach Paasche hingegen ist ein harmonisches Mittel der Preismesszahlen, wobei die Gewichte die Umsatzanteile der Basisperiode sind.
Multiple-Choice
Welche der folgenden Aussagen zu Preisindices ist richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Preisindizes nach Laspeyres und Paasche ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses Deskriptive StatistikDeskriptive Statistik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Deskriptive Statistik

wiwiweb - Interaktive Online-Kurse (wiwiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Grundbegriffe der deskriptiven Statistik
    • Einleitung
      • Statistische Datenauswertung
      • Merkmal, Merkmalsausprägung und Merkmalsträger
    • Masse und Merkmal
      • Statistische Masse
      • Statistisches Merkmal
    • Skalierungen
      • Grundlagen Skalierung
      • Nominalskala
      • Ordinalskala
      • Metrische Skalen
      • Metrische Skalen - Intervallskala
      • Metrische Skalen - Verhältnisskala
      • Metrische Skalen - Absolutskala
      • Skalenniveau bestimmen
      • Aufgabe Skalierung
      • Lösung Aufgabe Skalierung
    • Skalentransformation
      • Grundlagen Skalentransformation
      • Skalentransformation auf der Nominalskala
      • Skalentransformation auf der Ordinalskala
      • Skalentransformation auf der Kardinalskala
    • Abzählbarkeit
      • Diskrete Merkmale
      • Stetige Merkmale
    • Quasistetige Merkmale und Klassierung
      • Gründe für quasistetige Merkmale
      • Quasistetige Merkmale
      • Klassierung
    • Selbstkontrollaufgabe zu den Grundbegriffen der deskriptiven Statistik
      • Aufgabe Merkmale
      • Lösung Aufgabe Merkmale
  • Häufigkeitsverteilungen
    • Unklassierte Daten und ihre Darstellung
      • Grundlagen der Häufigkeitsverteilung
      • Häufigkeiten
      • Absolute Häufigkeiten
      • Relative Häufigkeit
      • Graphische Darstellung
      • Stabdiagramm oder Säulendiagramm
      • Kreisdiagramm
    • Klassierte Daten und ihre Darstellung
      • Grundlagen Klassierung
      • Klassierung und ihre Darstellung
      • Histogramm
      • Aufgabe Histogramm
      • Lösung Aufgabe Histogramm
      • Häufigkeitspolygon
      • Regeln zur Klassenbildung in der Statistik
    • Empirische Verteilungsfunktion
      • Beispiel und Eigenschaften der Verteilungsfunktion
      • Beispielaufgabe empirische Verteilungsfunktion
    • Selbstkontrollaufgaben zu den Häufigkeitsverteilungen
      • Aufgabe Urliste und Median
      • Lösung Aufgabe Urliste und Median
  • Verteilungsmaße
    • Lagemaße
      • Modus
      • Fraktile
      • Median
      • Boxplot
      • Arithmetisches Mittel
      • Geometrisches Mittel
      • Harmonisches Mittel
      • Zusammenfassung Lagemaße
    • Streuungsmaße
      • Unterschiedliche Streuungsmaße
      • Streuungszerlegung
      • Mittlere quadratische Abweichung berechnen
    • Formmaße
      • Unterschiedliche Formmaße
      • Schiefe
      • Wölbung
  • Konzentrationsmessung
    • Einleitung
      • Konzentrationsmaße
    • Relative Konzentration
      • Übersicht relative Konzentration
      • Lorenzkurve
      • Gini-Koeffizient
      • Länge der Lorenzkurve
      • Concentration-Ratio
    • Absolute Konzentration
      • Übersicht absolute Konzentration
      • Absolute Konzentrationskurve
      • Herfindahl-Index
      • Exponentialindex
      • Rosenbluth-Index
  • Mehrdimensionale Verteilungen
    • Mehrdimensionale Verteilung - Einführung
    • Gemeinsame Verteilung
    • Randverteilungen
    • Bedingte Verteilungen
    • Unabhängigkeit
    • Beispiel mehrdimensionale Verteilung
  • Zusammenhangsmaße
    • Zusammenhangsmaße auf Nominal- und Ordinalskala
      • Korrelationsanalyse
      • Zusammenhangsmaße auf der Nominalskala
      • Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala
    • Zusammenhangsmaße auf metrischen Skalen
      • Übersicht Zusammenhangsmaße auf metrischen Skalen
      • Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient
      • Korrelationskoeffizient von Fechner
  • Zeitreihenanalyse
    • Einleitung
      • Längsschnittdaten und Querschnittdaten
    • Zeitreihenverfahren
      • Verfahren der Zeitreihenanalyse
      • Methode der gleitenden Durchschnitte
      • Exponentielle Glättung
      • Beispiel Methode der Kleinsten Quadrate
      • Methode der Kleinsten Quadrate
      • Exkurs: Linearisierung
      • Methode der Reihenhälften
    • Zeitreihenzerlegung
      • Zeitreihenzerlegung
  • Indexrechnung
    • Grundbegriffe
      • Verhältniszahlen
    • Preisindizes
      • Definition Preisindizes
      • Preisindizes nach Laspeyres und Paasche
      • Indexrechnung mit Preisindizes
    • Mengenindizes
      • Definition Mengenindizes
      • Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche
    • Wertindizes
      • Der Wertindex
    • Weitere Indizes
      • Übersicht weitere Indizes
      • Index nach Lowe
      • Fisherscher Idealindex
      • Marshall-Edgeworth-Preisindex
    • Umbasierung und Verkettung von Indizes
      • Die Rundprobe
      • Umbasierung
      • Verkettung
  • 103
  • 27
  • 181
  • 37
einmalig 29,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Deskriptive Statistik

    Ein Kursnutzer am 22.07.2015:
    "gut aufgebaut, gut verständlich"

  • Gute Bewertung für Deskriptive Statistik

    Ein Kursnutzer am 18.10.2014:
    "Man super. Mein Professor hat mich total mit seinen Ausführungen verwirrt, wo doch die Antwort so einfach ist. Vielen Dank Herr Lambert. Ich finde sowieso, dass Sie der Beste sind :o)"

  • Gute Bewertung für Deskriptive Statistik

    Ein Kursnutzer am 01.09.2014:
    "sehr gut erklärt, schnell verständlich. Gute Beispiele!"

  • Gute Bewertung für Deskriptive Statistik

    Ein Kursnutzer am 06.07.2014:
    "Locker flockig an anschaulichen Beispielen ausführlich erklärt."

  • Gute Bewertung für Deskriptive Statistik

    Ein Kursnutzer am 14.06.2014:
    "Perfekt erklärt, danke!!!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen