Schiefe

Die Schiefe von Daten kann man sehr gut in einem Stabdiagramm sichtbar machen, in dem der Maximalwert nicht in der Mitte liegt. Von einer rechtsschiefen bzw. linkssteilen Verteilungen spricht man, wenn sie weiter nach rechts abfallen als nach links. Fallen die Werte jedoch weiter nach links ab als nach recht, so spricht man von einer linksschiefen bzw. rechtssteilen Verteilung.

Abb.20: Linksschiefe Verteilung

Abb.21: Rechtsschiefe Verteilung

Man spricht von einer symmetrischen Verteilung, wenn ungefähr die Hälfte der Daten unter bzw. über dem mittleren Wert liegt und meisten Beobachtungswerte ca. in der Mitte sind.

Abb.22: Symmetrische Verteilung

Im Gegensatz dazu liegt eine u-förmige Verteilung vor, wenn an dem rechten und dem linken Rand der Skala gleichviele Beobachtungswerte liegen und mittig nur sehr wenige.

Abb.23: U-förmige Verteilung

Wie der Name schon vermuten lässt, liegt eine Gleichverteilung vor, wenn die Anzahl der Beobachtungswerte bei allen Merkmalsausprägungen gleich ist.

Abb.24: Gleichverteilung

Momente in der Statistik

Bevor wir ein Schiefemaß entwickeln können, müssen wir als erstes den Begriff der Momente besprechen.

Unter dem k-ten Moment der Verteilung x um den Wert a versteht man die Zahl

$ m_k(a)={1 \over n} \sum_{i=1}^n (x_i-a)^k $

Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen Momenten für die gilt $ a = 0 $ und  zentrale Momente für die $ a= \overline x $ gilt, sich also auf das arithmetische Mittel beziehen.

Es existieren unterschiedliche Maße bzw. Regeln für die Schiefe einer Verteilung, die lauten:

• die Momentschiefe
• die Quartilsschiefe
• die Fechnersche Lageregel

Momentschiefe

Die Formel für die Momentschiefe $\ u_M $ lautet:

$\ u_M = {m_3(0) \over s^3} = {\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^3 \over {n \cdot s^3 }}= {{\sum_{j=1}^k (a_j- \overline x)^3 \cdot h(a_j)} \over {n \cdot s^3}} $

Man dividiert also das 3. gewöhnliche Moment durch die dritte Potenz der Standardabweichung.

Dabei ist dann die Verteilung rechtsschief, wenn $\ u_M > 0 $ und linksschief, wenn $\ u_M < 0 $.

Quartilsschiefe

Die Quartilsschiefe $\ u_Q $ berechnet man durch die Formel:

$$\ u_Q={(x_{0,75}-x_{0,5})-(x_{0,5}-x_{0,25}) \over (x_{0,75}-x_{0,25})} $$

Man bildet also den Quotienten aus der Differenz vom Abstand zwischen oberem Quartil und Median ($\ x_{0,75} – x_{0,5} $) und dem Abstand zwischen Median und unterem Quartil ($ x_{0,5} – x_{0,25} $) und der Differenz zwischen oberem und unterem Quartil ($\ x_{0,75} – x_{0,25} $).
Weil in rechtsschiefen Verteilungen das untere Quartil $\ x_{0,25} $ näher am Median $\ x_{0,5}$ liegt, als das obere Quartil $\ x_{0,75} $, hat dies zur Konsequenz, dass der Unterschied $\ x_{0,5} – x_{0,25} $ kleiner sein wird als $\ x_{0,75} – x_{0,5} $ und somit die Differenz dieser beiden Subtraktionen positiv ist. Daraus folgt eine rechtsschiefe Verteilung, wenn $\ u_Q > 0 $ und eine linksschiefe Verteilung, wenn $\ u_Q < 0 $.

Fechnersche Lageregel

Nach der Fechnerschen Lageregel ist eine Verteilung rechtsschief, wenn gilt, dass der Modus kleiner als der Median ist und dieser wiederum kleiner als das arithmetische Mittel: $\ x_{Modus} < x_{0,5} < \overline x $. Andernfalls ist sie linksschief, d.h. wenn gilt $\ x_{Modus} > x_{0,5} > \overline x $.

Schiefekennzahlen

Sowohl die Quartilsschiefe $u_Q$ als auch die Momentschiefe  $u_m$ weisen auf eine linksschiefe Verteilung hin.