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Deskriptive Statistik

Schiefe

Die Schiefe sieht man sehr gut an einem Stabdiagramm, das zwar ein Maximum hat, welches aber nicht in der Mitte liegt. Man spricht von rechtsschiefen (= linkssteilen) Verteilungen, wenn sie nach rechts weiter auslaufen als nach links. Wenn die Verteilung hingegen weiter nach links ausläuft als nach rechts, redet man von linksschiefen (= rechtssteilen) Verteilungen.

Linksschiefe Verteilung
Linksschiefe Verteilung
Rechtsschiefe Verteilung
Rechtsschiefe Verteilung

Eine eingipflige, symmetrische Verteilung liegt vor, wenn

  • ca. die Hälfte der Daten unter bzw. über dem mittleren Wert liegt
  • und die meisten Beobachtungswerte sich ungefähr in der Mitte befinden.
Symmetrische Verteilung
Symmetrische Verteilung

Man spricht hingegen von einer u-förmigen Verteilung, wenn sowohl am rechten als auch am linken Rand der Skala gleichviele Beobachtungswerte liegen und sehr wenige dazwischen.

U-förmige Verteilung
U-förmige Verteilung

Bei der Gleichverteilung ist die Anzahl von Beobachtungswerten bei allen Merkmalsausprägungen gleich.

Gleichverteilung
Gleichverteilung

Momente in der Statistik

Um ein Schiefemaß zu entwickeln, benötigen wir zunächst den Begriff der Momente. Unter dem k-ten Moment der Verteilung x um den Wert a versteht man die Zahl $$\ m_k(a)={1 \over n} \sum_{i=1}^n (x_i-a)^k $$
Es gilt:

  • Momente mit $\ a = 0 $ bezeichnet man als gewöhnliche Momente
  • Momente mit $\ a= \overline x $, also in Bezug auf das arithmetische Mittel, werden zentrale Momente genannt.

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  • Das arithmetische Mittel $\ \overline x={1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i={1 \over n} \sum_{i=1}^n (x_i-0)^1 $ ist wegen $\ a = 0 $ und $\ k = 1 $ das 1.gewöhnliche Moment.
  • Die mittlere quadratische Abweichung $\ s^2={1 \over n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2 $ ist wegen $\ a= \overline x $ und $\ k = 2 $ das 2.zentrale Moment.

Es existieren unterschiedliche Maße bzw. Regeln für die Schiefe einer Verteilung, nämlich

  • die Momentschiefe,
  • die Quartilsschiefe und
  • die Fechnersche Lageregel

Momentschiefe

Die Momentschiefe $\ u_M $ ist
$$\ u_M = {m_3(0) \over s^3} = {\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^3 \over {n \cdot s^3 }}= {{\sum_{j=1}^k (a_j- \overline x)^3 \cdot h(a_j)} \over {n \cdot s^3}} $$
Man dividiert also das 3. gewöhnliche Moment durch die dritte Potenz der Standardabweichung.

  • $\ u_M > 0 $ heißt, dass die Verteilung rechtsschief ist,
  • $\ u_M < 0 $ heißt, dass die Verteilung linksschief ist

Quartilsschiefe

Die Quartilsschiefe $\ u_Q $ liest sich als $$\ u_Q={(x_{0,75}-x_{0,5})-(x_{0,5}-x_{0,25}) \over (x_{0,75}-x_{0,25})} $$

Man berechnet die Differenz aus dem Abstand zwischen oberem Quartil und dem Median, d.h. $\ x_{0,75} – x_{0,5} $, sowie aus dem Median und dem unteren Quartil, also $\ x_{0,5} – x_{0,25} $. Diesen Abstand dividiert man durch den Quartilsabstand $\ x_{0,75} – x_{0,25} $. Bei rechtsschiefen Verteilungen liegt das erste Quartil $\ x_{0,25} $ näher am Median $\ x_{0,5} $ als das obere Quartil $\ x_{0,75} $. Dies bedeutet, dass die Differenz $\ x_{0,5} – x_{0,25} $ kleiner sein wird als die Differenz $\ x_{0,75} – x_{0,5} $. Mithin ist die Differenz dieser beiden Differenzen dann positiv. Also

  • $\ u_Q > 0 $ bedeutet, dass die Verteilung rechtsschief ist
  • $\ u_Q < 0 $ bedeutet, dass die Verteilung linksschief ist

Merke

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Merke: Die Quartilsschiefe $\ u_Q $ liegt stets zwischen – 1 und 1, also $\ -1 \leq u_Q \leq 1 $

Fechnersche Lageregel

Nach der Fechnerschen Lageregel ist eine Verteilung rechtsschief, wenn gilt, dass der Modus kleiner als der Median ist und dieser wiederum kleiner als das arithmetische Mittel: $\ x_{Modus} < x_{0,5} < \overline x $. Andernfalls ist sie linksschief, d.h. wenn gilt $\ x_{Modus} > x_{0,5} > \overline x $.

Beispiel Schiefekennzahlen

Beispiel 45: Um die Schiefekennzahlen besser zu verstehen, gehen wir auf die Bearbeitungszeiten der Statistik-Klausur aus einer vorherigen Aufgabe zurück.

Zunächst berechnet man – für die Quartilsschiefe – den Median $\ x_{0,5} = 8 $, das untere Quartil $\ x_{0,25} = 3 $ und das obere Quartil $\ x_{0,75} = 9 $. Damit ist die Quartilsschiefe $$\ u_Q={(x_{0,75}-x_{0,5})-(x_{0,5}-x_{0,25}) \over (x_{0,75}-x_{0,25})}={(9-8)-(8-3) \over (9-3)}=-0,67

Die Momentschiefe ist hingegen etwas mühsamer zu berechnen: $$\ u_m={{\sum_{j=1}^k (a_j- \overline x)^3 \cdot h(a_j)} \over {n \cdot s^3}} ={(1-7)^3+(2-7)^3 \cdot 3+...+(12-7)^3 \over {20 \cdot \sqrt {12^3}}} =-0,3536

Beide Kennzahlen deuten also auf eine linksschiefe Verteilung hin.

Merke

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Merke: Die Schiefekennzahlen $\ u_Q $ und $\ u_M $ sind nicht frei von Fehlern. Es kann durchaus vorkommen, dass $\ u_Q 0 $ ist und man daher meint, dieselbe Verteilung sei doch rechtsschief.