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Der Median oder auch Zentralwert ist, wie im vorigen Kapitel erwähnt ein besonderes Fraktil, nämlich der 0,5–Wert ($\ x_{0,5} $). Aufgrund seiner besonderen Stellung behandeln wir ihn in einem eigenen Kapitel und belassen es nicht bei einer bloßen Erwähnung. Um den Median bestimmen zu können, muss man als erstes die Urliste ordnen, damit die Mitte bestimmt werden kann
Beispiel
Beispiel 33:
Gegeben ist eine Reihe von Noten für Hausarbeiten: 2,0 ; 2,3 ; 3,3 ; 1,7 ; 5,0 ; 4,0 ; 3,7 Gib einen geeigneten Mittelwert an.
Die geordnete Urliste ist:
1,7 ; 2,0 ; 2,3 ; 3,3 ; 3,7 ; 4,0 ; 5,0
Der Median, also der Wert in der Mitte, ist 3,3.
Mit der Mitte ist gemeint, dass sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite gleich viele Werte sind (hier je 3 Stk.). Dies wird jedoch zum Problem, wenn wir keine ungerade Anzahl an Werten haben (wie im Bsp. 33, also n=7), sondern eine gerade Anzahl.
Beispiel
Beispiel 34:
Zu der bestehenden Liste aus Beispiel 33 kommt nun noch die Note einer Hausarbeit eines weiteren Studierenden, der mit 2,3 bewertet wurde. Geordnet sieht die Liste der n = 8 Werte wie folgt aus:
1,7 ; 2,0 ; 2,3 ; 2,3 ; 3,3 ; 3,7 ; 4,0 ; 5,0
Jetzt befinden sich zwei Werte in der Mitte, nämlich 2,3 und 3,3. Bei der zweiten 2,3 sind drei Werte links, bei der 3,3 liegen drei Werte rechts.
Als Median sieht man dann meistens das arithmetische Mittel der beiden Werte der Mitte an.
Definition Median
Der Median wird wie folgt definiert:
Merke
Ist n = ungerade gilt: $\ x_{0,5} = x_{(n+1)\over 2} $
Ist n = gerade gilt: $\ x_{0,5}= {1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} + x_{{n\over 2}+1}) $
$\\$
Hinweis
Würde man mit Schulnoten arbeiten, müsste eine Skalentransformation gemacht werden, also sehr gut = 1, gut = 2 usw. Man würde sich also über das Verbot hinweg setzten, mit Ordinalskalen zu rechnen. Wie könnte man bspw. auch „mangelhaft + ungenügend“ ausrechnen? Nur durch eine Transformation zu den Werten 5 und 6 können sie summiert werden, dies ergibt jedoch keine sinnvollen Werte, denn $\ 5 + 6 = 11 $ und 11 ergibt keine Note ist.
Also bezogen auf das Beispiel 33: bei n = 7 ist n ungerade, also $$x_{0,5} = x_{(n+1) \over 2}= x_{(7+1) \over 2}= x_{4} = 3,3$$ , denn der vierte Wert der geordneten Urliste ist 3,3.
Bei n = 8 ist n gerade, also $$\ x_{0,5} = {1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} + x_{{n\over 2}+1}) = {1 \over 2} \cdot (x_{8 \over 2} + x_{{8\over 2}+1}) = {1 \over 2} \cdot (x_{4} + x_{5}) = 2,8 $$, denn in der geordneten Urliste ist 2,3 der vierte Wert, also $\ x_4 = 2,3 $, und 3,3 der fünfte, also $\ x_5 = 3,3 $.
Zusammenfassend einige Hilfestellungen zur Bestimmung des Median $\ x_{0,5} $:
- Ist das Merkmal mindestens ordinalskaliert?
- Bilde die Urliste.
- Bilde die geordnete Urliste.
- Ist der Umfang n gerade oder ungerade? Es gilt:
n = ungerade gilt: $\ x_{0,5} = x_{(n+1)\over 2} $
n = gerade gilt: $\ x_{0,5}= {1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} + x_{{n\over 2}+1}) $
Merke
Der Unterschied zwischen folgenden Fraktilen = Quantilen ist:
- spezielle Fraktile:
- Dezile (10 % - Werte),
- Pentile (20 % - Werte)
- Quartile (25 % - Werte)
- spezielle Quartile:
- das 25 % - Quantil (= erste Quartil = unteres Quartil)
- das 50 % - Quantil (= zweite Quartil = der Median)
- das 75 % - Quantil (= drittes Quartil = oberes Quartil)
- spezielle Quartile:
Der Median zeichnet sich durch eine gewisse Optimalitätseigenschaft aus:
Hat man nämlich kardinalskalierte Merkmale vorliegen und bestimmt davon den Median, ist die Summe der absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von einem Punkt m dann minimal, wenn m der Median ist, also:
$\ \sum_{i=1}^{m} |x_i - m| $ min! $\ \leftrightarrow m =x_{0,5} $.
Beispiel
Beispiel 35:
Gegeben seien diese zehn Zahlen:
9, 7, 4, 3, 3, 6, 2, 1, 3, 6
Die geordnete Urliste: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 9
Median ist $\ x_{0,5} = 3,5 $.
Die Beträge der Differenzen der Beobachtungswerte z.B. von der Zahl m = 1 sind
$\ |1 – 1| + |2 - 1| + ... + |9 – 1| = 0 + 1 + ... + 8 = 34$,
bei m = 1,5 erhält man $\ |1 – 1,5| + |2 – 1,5| + ... + |9 – 1,5| = 0,5 + 0,5 + ... + 7,5 = 30 $,
beim Median hingegen lediglich $\ |1 – 3,5| + |2 – 3,5| + ... + |8 – 3,5| = 20$.
Diese Zahl 20 wird nicht unterschritten! Es gibt kein m, das eine kleinere Summe von absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von sich selbst liefert als der Median.
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