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Median

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Der Median (= Zentralwert) ist, wie schon angedeutet, ein spezielles Fraktil, nämlich der 0,5–Wert, in Zeichen $\ x_{0,5} $. Wegen seiner großen Bedeutung widmen wir ihm trotzdem ein spezielles Kapitel und lassen es nicht bei der Erwähnung im Abschnitt über Fraktile. Man muss für den Zentralwert zunächst die Urliste in eine geordnete Urliste verwandeln, um dann den Wert in der Mitte zu erkennen.

Beispiel 33:
Gegeben seien die Schulnoten gut, gut, befriedigend, sehr gut, mangelhaft, ausreichend, ungenügend. Gib einen geeigneten Mittelwert an. Die geordnete Urliste ist:
sehr gut, gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend.
Der Wert in der Mitte, also der Median, lautet „befriedigend“.

In der Mitte bedeutet, dass genau so viele Werte links liegen wie rechts (hier jeweils genau drei Stück). Problematisch wird diese Definition, wenn keine ungerade Anzahl von Werten vorliegt (wie hier n = 7), sondern eine gerade Anzahl.

Beispiel 34:
Ein achter Schüler habe die Note ausreichend, ansonsten gelten die Zahlen aus dem vorherigen Beispiel.
Angeordnet erhält man die n = 8 Werte: sehr gut, gut, gut, befriedigend, ausreichend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend. Nun liegen zwei Werte in der Mitte, denn es sind drei Noten links von befriedigend und drei Noten rechts von der ersten ausreichend-Note vorhanden.

Als Median sieht man dann meistens das arithmetische Mittel der beiden Werte der Mitte an.

Definition Median

Der Median wird wie folgt definiert:

  • $\ x_{0,5} = x_{(n+1)\over 2} $, wenn n ungerade ist, und
  • $\ x_{0,5}= {1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} + x_{{n\over 2}+1}) $, wenn n gerade ist.

Problematisch hierbei:

  • Man muss eine Skalentransformation durchführen, d.h. befriedigend = 3, ausreichend = 4 usw.
  • Man setzt sich über das Verbot hinweg, auf der Ordinalskala zu rechnen. Wer würde schon „befriedigend + ausreichend“ rechnen wollen? Erst mit den transformierten Werten 3 und 4 lässt sich etwas addieren, was aber nicht sinnvoll ist: $\ 3 + 4 = 7 $ , und 7 ist keine Note.

Also bezogen auf das Beispiel 34: bei n = 7 ist n ungerade, d.h. $\ x_{0,5} = x_{(n+1) \over 2}= x_{(7+1) \over 2}= x_{4} $ = befriedigend, denn der vierte Wert der geordneten Urliste ist befriedigend.
Bei n = 8 ist n gerade, d.h., $\ x_{0,5} = {1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} + x_{{n\over 2}+1}) = {1 \over 2} \cdot (x_{8 \over 2} + x_{{8\over 2}+1}) ={1 \over 2} \cdot (x_{4} + x_{5})=3,5 $, denn in der geordneten Urliste ist befriedigend (= 3) der vierte Wert, also $\ x_4 = 3 $, und ausreichend (= 4) der fünfte, d.h. $\ x_5 = 4 $.
Zusammenfassend einige Hilfestellungen zur Bestimmung des Median

Bestimmung des Median $\ x_{0,5} $:

1. Ist das Merkmal mindestens ordinalskaliert?

2. Bilde die Urliste.

3. Bilde die geordnete Urliste.

4. Ist der Umfang n gerade oder ungerade?

  • n ungerade: $\ x_{0,5}= x_{(n+1)\over 2} $,
  • n gerade: $\ x_{0,5} ={1 \over 2} \cdot (x_{n \over 2} +x_{{n\over 2}+1})$.

Merke

Merke: Der Unterschied zwischen folgenden Fraktilen = Quantilen ist:

spezielle Fraktile:   
  • Dezile (10 % - Werte),    
  • Pentile (20 % - Werte),   
  • Quartile,

spezielle Quartile, nämlich die jeweiligen 25 % - Werte:    
  • das 25 % - Quantil (= erste Quartil = unteres Quartil),  
  • das 50 % - Quantil (= zweite Quartil = der Median),   
  • das 75 % - Quantil (= drittes Quartil = oberes Quartil).

Der Median zeichnet sich aus durch eine gewisse Optimalitätseigenschaft: Wenn man kardinalskalierte Merkmale wählt und hiervon den Median berechnet, so ist die Summe der absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von einem Punkt m dann minimal, wenn m der Median ist, d.h. $\ \sum_{i=1}^{m} |x_i - m| $ min! $\ \leftrightarrow m =x_{0,5} $.

Beispiel 35:
Gegeben seien die Zahlen 8, 3, 3, 5, 2, 1, 3, 4.
Die geordnete Urliste ist 1 2 3 3 3 4 5 8 Median ist $\ x_{0,5} = 3 $. Die Beträge der Differenzen der Beobachtungswerte z.B. von der Zahl m = 2 sind $\ |1 – 2| + |2 - 2| + ... + |8 – 2| = 1 + 0 + ... + 6 = 14 $, bei m = 0,5 erhält man $\ |1 – 0,5| + |2 – 0,5| + ... + |8 – 0,5| = 0,5 + 1,5 + ... + 7,5 = 22,5 $, beim Median hingegen lediglich $\ |1 – 3| + |2 – 3| + ... + |8 – 3| = 11 $. Diese Zahl 11 wird nicht unterschritten! Es gibt kein m, das eine kleinere Summe von absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von sich selbst liefert als der Median.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Das fünfte Dezil einer Verteilung nennt man auch .
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Median

  • Maren Nebeling schrieb am 11.11.2014 um 10:44 Uhr
    Hallo, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe den Fehler soeben korrigiert. Schöne Grüße
  • Nowicka-Mahdar schrieb am 08.11.2014 um 15:46 Uhr
    Die Formel beim Punkt 4. stimmen zwar, aber man hat sich da bissle verschrieben, derade/ungerade
  • Maren Nebeling schrieb am 07.07.2014 um 15:00 Uhr
    Hallo Benedikt, ja ist richtig. Ich bitte den Fehler zu entschuldigen. Schöne Grüße.
  • Benedikt Boldt schrieb am 02.07.2014 um 13:24 Uhr
    Müsste es in Beispiel 35 in Spalte 4 nicht |2-2| anstelle |2+2| heißen?
  • Maren Nebeling schrieb am 11.02.2014 um 14:35 Uhr
    Hallo Julia. Leider war die Formel wirklich noch falsch, da (n/2)+1 gereichnet werden muss. Das Ergebnis jedoch war richtig, da trotzdem mit den richtigen Werten gerechnet wurde und leider nur ein Tippfehler vorlag. Schöne Grüße
  • Julia Bauch schrieb am 09.02.2014 um 17:54 Uhr
    Bei dem Beispiel für den Median n=8 muss irgendwas verkehrt sein. Dass 05*3+4=3,5 ergibt, ist doch nicht richtig? Ferner verstehe ich nicht, warum dort in der Formel (n+2)/2 gerechnet wird, wenn sonst (n+1)/2 angegeben wird. Und wenn ich das mit der (n+1)/2 Formel rechne, kommt x4,5 raus und welchen Wert nimmt dieses x dann an? Oder habe ich da etwas nicht richtig verstanden was mir jetzt noch nicht einleuchtet?
  • Maren Nebeling schrieb am 06.02.2014 um 13:14 Uhr
    Hallo Thomas. Vielen Dank für dein Feedback. Du siehst das vollkommen richtig, ich habe die Formel selbstverständlich korrigiert. Schöne Grüße.
  • Thomas Ingenhorst schrieb am 06.02.2014 um 09:29 Uhr
    Die Formel für den Median bei einer geraden Anzahl an Ausprägungen ist falsch. Der zweite Wert ist (n+1)/2 und nicht (n+2)/2, da wir doch das arithmetische Mittel bei n=8 von x4 und x5 nehmen und nicht von x4 und x6. Oder sehe ich das falsch?
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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