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Deskriptive Statistik - Methode der gleitenden Durchschnitte

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Deskriptive Statistik

Methode der gleitenden Durchschnitte

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Um die Methode der gleitenden Durchschnitte zu verstehen orientieren wir uns wieder an einem Beispiel.

Beispiel

Beispiel 59:
Gegeben seien die Daten

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1 4 4 4 7 7 1 4 4 10
x 1 4 4 4 7 7 1 4 4 10

Berechnung des gleitenden Durchschnitt

Gleitende Durchschnitte m. Ordnung:

  • Liste die Werte auf
  • will man gleitende Durchschnitte ungerader oder gerader Ordnung bilden?
    • bei ungerader Ordnung ist $\ m = 2k +1 $,
    • bei gerader Ordnung $\ m = 2k $ zu bilden

Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung m

  • Entscheide, was m und k ist
    • $\ m $ ist also $\ = 3, 5, 7, ... $
    • $\ k $ ist damit $\ 1, 2, 3, ... $
  • zentrale Formel $$\ x_t^* = {1 \over (2k+1)} \sum_{ \tau=t-k}^{t+k} x_t $$
  • konkretes Vorgehen
    • für den ersten Wert
      • greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus
      • ordne dieses Mittel an die $\ {m+1 \over 2} $-te Stelle der Zeitreihe an
    • für den zweiten Wert
      • nimm dann das $\ 2., 3., ... (m + 1) $. Glied
      • bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen
      • schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die $\ 1+{m+1 \over 2} $-te Stelle
    • Verfahre so mit den folgenden Werten weiter
  • Ergebnis
  • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte
  • Wichtig ist hierbei, dass am Anfang und am Ende der neuen, der geglätteten Zeitreihe, jeweils $\ k = {m-1 \over 2} $ Glieder herausfallen

Video zu den gleitenden Durchschnitten ungerader Ordnung

Video: Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der gleitenden Durchschnitte ist eines der Verfahren der Zeitreihenanalyse

Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung m

  • Entscheide, was $\ m $ und $\ k $ ist
    • $\ m $ ist also $\ = 2, 4, 6, ... $
    • $\ k $ ist damit $\ 1, 2, 3, ... $
  • zentrale Formel $$\ x_t^*=[{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t-k}+ \sum_{ \tau =t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_t] $$
  • konkretes Vorgehen
    • für den ersten Wert
      • greife die ersten $\ m + 1 $ Glieder heraus
      • zähle bei der Bildung des arithmetischen Mittels aber das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte, d.h. bilde $\ {1 \over 2}x_1+x_2+...+x_m+{1 \over 2}x_{m-1} $
      • dividiere diese Summe durch die tatsächliche Anzahl der Werte, also durch $\ m $
      • schreibe dieses (gewogene) arithmetische Mittel an die $\ ({m \over 2}+1) $-te Stelle der ersten m Glieder
    • für den zweiten Wert
      • nimm dann das $\ 2., 3., ..., (m + 2). $ Glied
      • zähle wiederum das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte
      • dividiere die Summe durch die Anzahl $\ m = 2k $ der Werte
      • schreibe diesen Mittelwert an die $\ ({m \over 2}+2) $-te Stelle
    • usw.
  • Ergebnis
    • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte
    • es fallen $\ k= {m \over 2} $Glieder am Anfang und am Ende weg

Oftmals fällt es schwer, zu behalten, wie viele Glieder wegfallen bzw. an welcher Stelle das erste und das letzte vorkommende Glied stehen. Deshalb zur Erleichterung die folgende Tabelle:

  Ordnung
  $\ m=2k+1 $ (ungerade) $\ m=2k $ (gerade)
es fallen weg $\ k = {{m-1} \over 2 } $ $\ k={m \over 2} $
der erste Wert steht an der Stelle $\ k+1= {{m+1} \over 2} $ $\ k+1= {m \over 2}+1 $

Video zu den gleitenden Durchschnitten gerader Ordnung

Video: Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der gleitenden Durchschnitte ist eines der Verfahren der Zeitreihenanalyse

Beispiel zum gleitenden Durschnitt

Wir rechnen nun das o.e. Beispiel 59.
Bilde zunächst gleitende Durchschnitte dritter Ordnung . Damit ist$\ m = 3 $ und $\ k = 1$ . Rechne mit der Formel
$$\ x_t^*= {1 \over { 2k+1}} \sum_{ \tau =t-k}^{t+k} x_t= {1 \over {2 \cdot 1 +1}} \sum_{ \tau=t-1}^{t+1} x_t = {1 \over 3} \sum_{ \tau= t-1}^{t+1} x_t $$
Man sieht, dass mit $\ t =-2 $ überhaupt erst begonnen werden kann, damit die Summe bei $\ x_1 $ startet. Das arithmetische Mittel der ersten drei Zahlen ist $\ {(1 + 4 + 4) \over 3}= 3 $. Schreibe diese 3 an die $\ {m+1 \over 2}={3+1 \over 2}= 2 $-te Stelle. Bilde das arithmetische Mittel der Zahlen $\ 4, 4, 4 $ (was natürlich wiederum = 4 ist), gehe also eine Zahl weiter. Schreibe die 4 an die $\ 1+{3+1 \over 2}=3 $-te Stelle usw. Man erhält die Zahlen der gleitenden Durchschnitte dritter Ordnung. Am Anfang und am Ende ist jeweils $\ {3-1 \over 2} = 1 $ Glied herausgefallen.

t $$\ x_t $$ $$\ \tilde x_3 $$
1 1  
2 4 3
3 4 4
4 4 5
5 7 6
6 7 5
7 1 4
8 4 3
9 4 6
10 10  

Bilde dann gleitende Durchschnitte vierter Ordnung , d.h. $\ m = 4 $ und $\ k = 2 $. Rechne also nach der Formel $$\ x_t^*= {1 \over 2k} \cdot [{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t+k} + \sum_{ \tau=t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_ \tau] $$ Konkret damit $$\ x_t^*= {1 \over {2 \cdot 2}} \cdot [{1 \over 2} x_{t-2}+{1 \over 2} x_{t+2} + \sum_{ \tau=t-1}^{t+3} x_ \tau] $$ Auch hier ist ersichtlich, dass das kleinste t die Zahl 3 sein muss, damit der erste Wert $\ x_{3-2} = x_1 $ in die Summe zur Hälfte eingeht. Greife die ersten fünf Zahlen heraus, d.h. $\ 1, 4, 4, 4, 7 $. Zähle die 1 und die 7 aber nur zur Hälfte, d.h. $\ 0,5 \cdot 1 + 4 + 4 + 4 + 0,5 \cdot 7 = 0,5 + 12 + 3,5 = 16 $. Bilde das arithmetische Mittel als $\ {1 \over 4} \cdot 16 = 4 $ . Schreibe diese Zahl an die $\ {m \over 2} +1= {4 \over 2}+1=3 $-te Stelle. Mache dasselbe für die Zahlen $\ 4, 4, 4, 7, 7 $. Man rechnet $\ 0,5 \cdot 4 + 4 + 4 + 7 + 0,5 \cdot 7 = 2 + 15 + 3,5 = 20,5 $. Das arithmetische Mittel ist damit 5,125. Diese Zahl wird an die $\ {m \over 2}+2={4 \over 2}+2=4 $-te Stelle geschrieben usw. Man erhält

t $$\ x_t $$ $$\ \tilde x_4 $$
1 1  
2 4  
3 4 4
4 4 5,125
5 7 5,125
6 7 4,75
7 1 4,375
8 4 4,375
9 4  
10 10  

Berechne für die Daten aus Beispiel 59 die gleitenden Durchschnitte 5., 6., 7., 8., 9. Ordnung. Zur Kontrolle und zum eigenen Nachrechnen seien hier die gleitenden Durchschnitte von der zweiten bis zur neunten Ordnung angegeben.

t $$\ x_t $$ $$ \ \tilde x_2 $$ $$ \ \tilde x_3 $$  $$ \ \tilde x_4 $$  $$ \ \tilde x_5 $$  $$ \ \tilde x_6 $$  $$ \ \tilde x_7 $$  $$ \ \tilde x_8 $$  $$ \ \tilde x_9 $$
1 1                
2 4 3,25 3            
3 4 4 4 4 4        
4 4 4,75 5 5,125 5,2 4,5 4    
5 7 6,25 6 5,125 4,6 4,5 4,4286 4,188 4
6 7 5,5 5 4,75 4,6 4,5 4,4286 4,75 5
7 1 3,25 4 4,375 4,6 5 5,2857    
8 4 3,25 3 4,375 5,2        
9 4 5,5 6            
10 10                

Merke

Merke:

  • Für $\ m = 1 $ (also $\ k = 0 $), stimmt die Reihe der gleitenden Durchschnitte (hier erster Ordnung) mit der Originalreihe überein.
  • Für immer größeres $\ k $ nimmt die Anzahl der Werte gleitender Durchschnitte immer weiter ab, da vorne und hinten immer mehr abgeschnitten werden muss.
  • Die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte selbst verläuft für größeres $\ k $ immer glatter.