Methode der gleitenden Durchschnitte

Zum einfacheren Verständnis der Methode der gleitenden Durchschnitte wollen wir sie wieder anhand eines Beispiels kennen lernen.

Berechnung des gleitenden Durchschnittes

Gleitende Durchschnitte m. Ordnung:

Liste die vorhandenen Werte auf und frage dich, soll der gleitende Durchschnitt ungerader oder gerader Ordnung bestimmt werden?
Für ungerade Ordnungen gilt $\ m = 2k +1 $, für gerade Ordnungen $\ m = 2k $

Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung m

1. Welchen Wert hat m und k?
   • Ist $\ m = 3, 5, 7, ... $ergibt sich für $\ k $entsprechend $\ 1, 2, 3, ... $
     
     
2. zentrale Formel: $$\ x_t^* = {1 \over (2k+1)} \sum_{ \tau=t-k}^{t+k} x_t $$
   
   
3. konkretes Vorgehen:
   • für den 1. Wert greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus und ordne dieses Mittel an die $\ {m+1 \over 2} $-te Stelle der Zeitreihe an.
   • für den 2. Wert nimm das $\ 2., 3., ... (m + 1) $. Glied, bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen und schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die $\ 1+{m+1 \over 2} $-te Stelle
   • Wiederhole dieses Vorgehen für alle weiteren Werte
     
     
4. Ergebnis:
   
   • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte

Wichtig ist hierbei, dass am Anfang und am Ende der neuen, der geglätteten Zeitreihe, jeweils $\ k = {m-1 \over 2} $ Glieder herausfallen

Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung m

1. Welchen Wert hat m und k?
   • Ist $\ m = 3, 5, 7, ... $ergibt sich für $\ k $entsprechend $\ 1, 2, 3, ... $
     
     
2. zentrale Formel: $$\ x_t^*=[{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t-k}+ \sum_{ \tau =t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_t] $$
   
   
3. konkretes Vorgehen
   • für den 1. Wert greife die ersten $\ m + 1 $ Glieder heraus. Bei der Bildung des arithmetischen Mittels zählt jedoch das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte, also $\ {1 \over 2}x_1+x_2+...+x_m+{1 \over 2}x_{m-1} $ Dividiere die Summe durch $\ m $. Schreibe dieses (gewogene) arithmetische Mittel an die $\ ({m \over 2}+1) $-te Stelle der ersten m Glieder
   • für den 2. Wert nimm dann das $\ 2., 3., ..., (m + 2). $ Glied und zähle wiederum das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte. Dividiere die Summe durch die Anzahl $\ m = 2k $ der Werte und schreibe diesen Mittelwert an die $\ ({m \over 2}+2) $-te Stelle
   • usw.
     
     
4. Ergebnis:
   • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte, wobei  $\ k= {m \over 2} $ Glieder am Anfang und am Ende wegfallen.

Häufig ist es schwierig den Überblick zu behalten, wie viele Glieder wegfallen bzw. an welcher Stelle das erste und das letzte vorkommende Glied stehen. Darum soll die folgende Tabelle eine Möglichkeit zur Vereinfachung bieten:

Beispiel zum gleitenden Durschnitt

Wenden wir das beschriebene Vorgehen auf das Beispiel 59 an.

Wir bilden als erstes den gleitenden Durchschnitt dritter Ordnung. Damit ist$\ m = 3 $ und $\ k = 1$ . Rechne mit der Formel

$\begin{align} x_t^* & = {1 \over { 2k+1}} \sum_{ \tau =t-k}^{t+k}
\\ x_t & = {1 \over {2 \cdot 1 +1}} \sum_{ \tau=t-1}^{t+1}
\\ x_t & = {1 \over 3} \sum_{ \tau= t-1}^{t+1} x_t \end{align}$

Zu erkennen ist, dass man erst ab $\ t = 2 $ anfangen kann, sodass die die Summe bei $\ x_1 $ startet. Das arithmetische Mittel der ersten drei Zahlen ist $\ {(2 + 3 + 3) \over 3}= 2,6667 $. Die 2,6667 ist folglich an der ${m+1 \over 2}={3+1 \over 2}= 2 $-te Stelle zu notieren. Als nächstes berechnet man das arithmetische Mittel der Zahlen $ 3, 3, 3 $ (was logischerweise 3 ergibt), man rutscht also eine Zahl weiter. Die 3 ist dann an der $\ 1+{3+1 \over 2}=3 $-te Stelle aufzuschreiben. So verfährt man immer weiter bis zur 9. Stelle und bestimmt somit den gleitenden Durchschnitt dritter Ordnung. Je am Beginn und am Ende der Reihe fällt $k = {{m-1} \over 2 } = {3-1 \over 2} = 1 $ Glied weg.

Daraufhin bilden wir den gleitenden Durchschnitt vierter Ordnung, ergo $\ m = 4 $ und $\ k = 2 $.

Rechne also nach der Formel

$\ x_t^*= {1 \over 2k} \cdot [{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t+k} + \sum_{ \tau=t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_ \tau] $

Für unser Beispiel ergibt sich:

$\ x_t^*= {1 \over {2 \cdot 2}} \cdot [{1 \over 2} x_{t-2}+{1 \over 2} x_{t+2} + \sum_{ \tau=t-1}^{t+3} x_ \tau] $

Auch hier ist klar erkennbar, dass das kleinste t = 3 sein muss, damit der erste Wert $\ x_{3-2} = x_1 $ in die Summe zur Hälfte eingeht. Nehme die ersten fünf Zahlen heraus, also $ 2, 3, 3, 3, 8$. Zähle die 2 und die 8 aber nur zur Hälfte, d.h. $\ (0,5 \cdot 2) + 3 + 3 + 3 + (0,5 \cdot 8) = 1 + 9 + 4 = 14 $. Bilde das arithmetische Mittel als $\ {1 \over 4} \cdot 14 = 2,5 $ . Schreibe diese Zahl an die $ {m \over 2} +1= {4 \over 2}+1=3 $-te Stelle.
Verfahre genauso mit den Zahlen $ 3, 3, 3, 8, 8 $. Man rechnet $ (0,5 \cdot 3) + 3 + 3 + 8+ (0,5 \cdot 8) = 1,5 + 14 + 4 = 19,5 $. Das arithmetische Mittel ist damit 4,875. Diese Zahl wird an die $\ {m \over 2}+2={4 \over 2}+2=4 $-te Stelle geschrieben. So geht es dann immer weiter und es ergibt sich ein gleitender Durchschnitt vierter Ordnung:

Berechne für die Daten aus Beispiel 59 die gleitenden Durchschnitte 2., 5., 6., 7., 8., 9. Ordnung.