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Methode der gleitenden Durchschnitte

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Um die Methode der gleitenden Durchschnitte zu verstehen orientieren wir uns wieder an einem Beispiel.

Beispiel

Beispiel 59:
Gegeben seien die Daten

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1 4 4 4 7 7 1 4 4 10
x 1 4 4 4 7 7 1 4 4 10

Berechnung des gleitenden Durchschnitt

Gleitende Durchschnitte m. Ordnung:

  • Liste die Werte auf
  • will man gleitende Durchschnitte ungerader oder gerader Ordnung bilden?
    • bei ungerader Ordnung ist $\ m = 2k +1 $,
    • bei gerader Ordnung $\ m = 2k $ zu bilden

Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung m

  • Entscheide, was m und k ist
    • $\ m $ ist also $\ = 3, 5, 7, ... $
    • $\ k $ ist damit $\ 1, 2, 3, ... $
  • zentrale Formel $$\ x_t^* = {1 \over (2k+1)} \sum_{ \tau=t-k}^{t+k} x_t $$
  • konkretes Vorgehen
    • für den ersten Wert
      • greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus
      • ordne dieses Mittel an die $\ {m+1 \over 2} $-te Stelle der Zeitreihe an
    • für den zweiten Wert
      • nimm dann das $\ 2., 3., ... (m + 1) $. Glied
      • bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen
      • schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die $\ 1+{m+1 \over 2} $-te Stelle
    • Verfahre so mit den folgenden Werten weiter
  • Ergebnis
  • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte
  • Wichtig ist hierbei, dass am Anfang und am Ende der neuen, der geglätteten Zeitreihe, jeweils $\ k = {m-1 \over 2} $ Glieder herausfallen

Video zu den gleitenden Durchschnitten ungerader Ordnung

Video: Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der gleitenden Durchschnitte ist eines der Verfahren der Zeitreihenanalyse

Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung m

  • Entscheide, was $\ m $ und $\ k $ ist
    • $\ m $ ist also $\ = 2, 4, 6, ... $
    • $\ k $ ist damit $\ 1, 2, 3, ... $
  • zentrale Formel $$\ x_t^*=[{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t-k}+ \sum_{ \tau =t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_t] $$
  • konkretes Vorgehen
    • für den ersten Wert
      • greife die ersten $\ m + 1 $ Glieder heraus
      • zähle bei der Bildung des arithmetischen Mittels aber das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte, d.h. bilde $\ {1 \over 2}x_1+x_2+...+x_m+{1 \over 2}x_{m-1} $
      • dividiere diese Summe durch die tatsächliche Anzahl der Werte, also durch $\ m $
      • schreibe dieses (gewogene) arithmetische Mittel an die $\ ({m \over 2}+1) $-te Stelle der ersten m Glieder
    • für den zweiten Wert
      • nimm dann das $\ 2., 3., ..., (m + 2). $ Glied
      • zähle wiederum das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte
      • dividiere die Summe durch die Anzahl $\ m = 2k $ der Werte
      • schreibe diesen Mittelwert an die $\ ({m \over 2}+2) $-te Stelle
    • usw.
  • Ergebnis
    • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte
    • es fallen $\ k= {m \over 2} $Glieder am Anfang und am Ende weg

Oftmals fällt es schwer, zu behalten, wie viele Glieder wegfallen bzw. an welcher Stelle das erste und das letzte vorkommende Glied stehen. Deshalb zur Erleichterung die folgende Tabelle:

  Ordnung
  $\ m=2k+1 $ (ungerade) $\ m=2k $ (gerade)
es fallen weg $\ k = {{m-1} \over 2 } $ $\ k={m \over 2} $
der erste Wert steht an der Stelle $\ k+1= {{m+1} \over 2} $ $\ k+1= {m \over 2}+1 $

Video zu den gleitenden Durchschnitten gerader Ordnung

Video: Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der gleitenden Durchschnitte ist eines der Verfahren der Zeitreihenanalyse

Beispiel zum gleitenden Durschnitt

Wir rechnen nun das o.e. Beispiel 59.
Bilde zunächst gleitende Durchschnitte dritter Ordnung . Damit ist$\ m = 3 $ und $\ k = 1$ . Rechne mit der Formel
$$\ x_t^*= {1 \over { 2k+1}} \sum_{ \tau =t-k}^{t+k} x_t= {1 \over {2 \cdot 1 +1}} \sum_{ \tau=t-1}^{t+1} x_t = {1 \over 3} \sum_{ \tau= t-1}^{t+1} x_t $$
Man sieht, dass mit $\ t =-2 $ überhaupt erst begonnen werden kann, damit die Summe bei $\ x_1 $ startet. Das arithmetische Mittel der ersten drei Zahlen ist $\ {(1 + 4 + 4) \over 3}= 3 $. Schreibe diese 3 an die $\ {m+1 \over 2}={3+1 \over 2}= 2 $-te Stelle. Bilde das arithmetische Mittel der Zahlen $\ 4, 4, 4 $ (was natürlich wiederum = 4 ist), gehe also eine Zahl weiter. Schreibe die 4 an die $\ 1+{3+1 \over 2}=3 $-te Stelle usw. Man erhält die Zahlen der gleitenden Durchschnitte dritter Ordnung. Am Anfang und am Ende ist jeweils $\ {3-1 \over 2} = 1 $ Glied herausgefallen.

t $$\ x_t $$ $$\ \tilde x_3 $$
1 1  
2 4 3
3 4 4
4 4 5
5 7 6
6 7 5
7 1 4
8 4 3
9 4 6
10 10  

Bilde dann gleitende Durchschnitte vierter Ordnung , d.h. $\ m = 4 $ und $\ k = 2 $. Rechne also nach der Formel $$\ x_t^*= {1 \over 2k} \cdot [{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t+k} + \sum_{ \tau=t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_ \tau] $$ Konkret damit $$\ x_t^*= {1 \over {2 \cdot 2}} \cdot [{1 \over 2} x_{t-2}+{1 \over 2} x_{t+2} + \sum_{ \tau=t-1}^{t+3} x_ \tau] $$ Auch hier ist ersichtlich, dass das kleinste t die Zahl 3 sein muss, damit der erste Wert $\ x_{3-2} = x_1 $ in die Summe zur Hälfte eingeht. Greife die ersten fünf Zahlen heraus, d.h. $\ 1, 4, 4, 4, 7 $. Zähle die 1 und die 7 aber nur zur Hälfte, d.h. $\ 0,5 \cdot 1 + 4 + 4 + 4 + 0,5 \cdot 7 = 0,5 + 12 + 3,5 = 16 $. Bilde das arithmetische Mittel als $\ {1 \over 4} \cdot 16 = 4 $ . Schreibe diese Zahl an die $\ {m \over 2} +1= {4 \over 2}+1=3 $-te Stelle. Mache dasselbe für die Zahlen $\ 4, 4, 4, 7, 7 $. Man rechnet $\ 0,5 \cdot 4 + 4 + 4 + 7 + 0,5 \cdot 7 = 2 + 15 + 3,5 = 20,5 $. Das arithmetische Mittel ist damit 5,125. Diese Zahl wird an die $\ {m \over 2}+2={4 \over 2}+2=4 $-te Stelle geschrieben usw. Man erhält

t $$\ x_t $$ $$\ \tilde x_4 $$
1 1  
2 4  
3 4 4
4 4 5,125
5 7 5,125
6 7 4,75
7 1 4,375
8 4 4,375
9 4  
10 10  

Berechne für die Daten aus Beispiel 59 die gleitenden Durchschnitte 5., 6., 7., 8., 9. Ordnung. Zur Kontrolle und zum eigenen Nachrechnen seien hier die gleitenden Durchschnitte von der zweiten bis zur neunten Ordnung angegeben.

t $$\ x_t $$ $$ \ \tilde x_2 $$ $$ \ \tilde x_3 $$  $$ \ \tilde x_4 $$  $$ \ \tilde x_5 $$  $$ \ \tilde x_6 $$  $$ \ \tilde x_7 $$  $$ \ \tilde x_8 $$  $$ \ \tilde x_9 $$
1 1                
2 4 3,25 3            
3 4 4 4 4 4        
4 4 4,75 5 5,125 5,2 4,5 4    
5 7 6,25 6 5,125 4,6 4,5 4,4286 4,188 4
6 7 5,5 5 4,75 4,6 4,5 4,4286 4,75 5
7 1 3,25 4 4,375 4,6 5 5,2857    
8 4 3,25 3 4,375 5,2        
9 4 5,5 6            
10 10                

Merke

Merke:

  • Für $\ m = 1 $ (also $\ k = 0 $), stimmt die Reihe der gleitenden Durchschnitte (hier erster Ordnung) mit der Originalreihe überein.
  • Für immer größeres $\ k $ nimmt die Anzahl der Werte gleitender Durchschnitte immer weiter ab, da vorne und hinten immer mehr abgeschnitten werden muss.
  • Die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte selbst verläuft für größeres $\ k $ immer glatter.
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Gegeben seien die Zahlen 3,5,8,2,5,7,6. Man möchte nun die gleitenden Durchschnitte fünfter Ordnung berechnen. Wie lauten die ersten drei Ergebnisse? ;  und 
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Methode der gleitenden Durchschnitte

  • Amit Yadava schrieb am 12.01.2015 um 17:09 Uhr
    Das hört sich doch mal gut an! ;) Danke Daniel
  • Daniel Lambert schrieb am 10.01.2015 um 00:54 Uhr
    Hi Eugen, hi Amit, besten Dank für den Hinweis. Ich werde ein Video erstellen, welches das Thema rocken wird... ;-)
  • Amit Yadava schrieb am 28.12.2014 um 11:13 Uhr
    Es ist wirklich teilweise unverständlich. Ein "Lambert-Video" zur Veranschaulichung wäre sehr sehr angebracht. Zudem denke ich dass sich vlt. ein paar Fehler eingeschlichen haben könnten. Bitte korrigieren Sie die Überschrift "Beispiel zum gleitenden Durschnitt". Darüberhinaus vermute ich das im selben abschnitt t=-2 falsch ist, müsste es nicht t=2 heißen? Ein negativer Zeitpunkt erscheint mir nicht sinnvoll. Bitte um Aufklärung.
  • Eugen Fritzler schrieb am 27.07.2014 um 15:51 Uhr
    Ich will jetzt keine Unlust des Autoren unterstellen... aber das ist ein vollkommen unverständliches Kapitel. Ohne weitere Erklärungen im Netz versteht man überhaupt nicht worum es geht. Z.b. was ist dieses m? Es kommt überhaupt nicht in der Formel vor. Was soll das Ziel dieser Methode sein? .... Fragen hab ich für mich selbst beantwortet, aber es wäre ganz nett wenn die Antworten im Kapitel hier sind und nicht irgendwo in den weiten des Internets....
  • Maren Nebeling schrieb am 07.07.2014 um 14:51 Uhr
    Hallo Mario, vielen Dank für dein Feedback. Vielleicht hilft dir folgendes: Die Methode der gleitenden Durchschnitte basiert auf der Berechnung von Mittelwerten und ist eine Methode zur Glättung von Zeit- bzw. Datenreihen. Die Entfernung höherer Frequenzteile ist dabei die Glättung. Im Ergebnis erhält man eine neue Datenpunktmenge, die aus den Mittelwerten der ursprünglichen Datenpunktmenge besteht. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Schöne Grüße, Maren Nebeling
  • Mario Below schrieb am 05.07.2014 um 16:53 Uhr
    Unverständlich! Eine genaue EInführung in diese Art der Bezeichnung wäre wünschenswert!
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Methode der gleitenden Durchschnitte ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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