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Deskriptive Statistik - Methode der gleitenden Durchschnitte

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Deskriptive Statistik

Methode der gleitenden Durchschnitte

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Zum einfacheren Verständnis der Methode der gleitenden Durchschnitte wollen wir sie wieder anhand eines Beispiels kennen lernen.

Beispiel

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Beispiel 59:

Es liegen folgende frei erfundene Daten vor:

t12345678910
x2333882339

Berechnung des gleitenden Durchschnittes

Gleitende Durchschnitte m. Ordnung:

Liste die vorhandenen Werte auf und frage dich, soll der gleitende Durchschnitt ungerader oder gerader Ordnung bestimmt werden?
Für ungerade Ordnungen gilt $\ m = 2k +1 $, für gerade Ordnungen $\ m = 2k $

Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung m

  1. Welchen Wert hat m und k?
    • Ist $\ m = 3, 5, 7, ... $ergibt sich für $\ k $entsprechend $\ 1, 2, 3, ... $

  2. zentrale Formel: $$\ x_t^* = {1 \over (2k+1)} \sum_{ \tau=t-k}^{t+k} x_t $$

  3. konkretes Vorgehen:
    • für den 1. Wert greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus und ordne dieses Mittel an die $\ {m+1 \over 2} $-te Stelle der Zeitreihe an.
    • für den 2. Wert nimm das $\ 2., 3., ... (m + 1) $. Glied, bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen und schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die $\ 1+{m+1 \over 2} $-te Stelle
    • Wiederhole dieses Vorgehen für alle weiteren Werte

  4. Ergebnis:
    • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte

Wichtig ist hierbei, dass am Anfang und am Ende der neuen, der geglätteten Zeitreihe, jeweils $\ k = {m-1 \over 2} $ Glieder herausfallen

Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung m

  1. Welchen Wert hat m und k?
    • Ist $\ m = 3, 5, 7, ... $ergibt sich für $\ k $entsprechend $\ 1, 2, 3, ... $

  2. zentrale Formel: $$\ x_t^*=[{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t-k}+ \sum_{ \tau =t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_t] $$

  3. konkretes Vorgehen
    • für den 1. Wert greife die ersten $\ m + 1 $ Glieder heraus. Bei der Bildung des arithmetischen Mittels zählt jedoch das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte, also $\ {1 \over 2}x_1+x_2+...+x_m+{1 \over 2}x_{m-1} $ Dividiere die Summe durch $\ m $. Schreibe dieses (gewogene) arithmetische Mittel an die $\ ({m \over 2}+1) $-te Stelle der ersten m Glieder
    • für den 2. Wert nimm dann das $\ 2., 3., ..., (m + 2). $ Glied und zähle wiederum das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte. Dividiere die Summe durch die Anzahl $\ m = 2k $ der Werte und schreibe diesen Mittelwert an die $\ ({m \over 2}+2) $-te Stelle
    • usw.

  4. Ergebnis:
    • man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte, wobei  $\ k= {m \over 2} $ Glieder am Anfang und am Ende wegfallen.

Häufig ist es schwierig den Überblick zu behalten, wie viele Glieder wegfallen bzw. an welcher Stelle das erste und das letzte vorkommende Glied stehen. Darum soll die folgende Tabelle eine Möglichkeit zur Vereinfachung bieten:

  Ordnung
  $\ m=2k+1 $ (ungerade) $\ m=2k $ (gerade)
es fallen weg$\ k = {{m-1} \over 2 } $$\ k={m \over 2} $
der erste Wert steht an der Stelle$\ k+1= {{m+1} \over 2} $$\ k+1= {m \over 2}+1 $

Beispiel zum gleitenden Durschnitt

Wenden wir das beschriebene Vorgehen auf das Beispiel 59 an.

Wir bilden als erstes den gleitenden Durchschnitt dritter Ordnung. Damit ist$\ m = 3 $ und $\ k = 1$ . Rechne mit der Formel

$\begin{align} x_t^* & = {1 \over { 2k+1}} \sum_{ \tau =t-k}^{t+k}
\\ x_t & = {1 \over {2 \cdot 1 +1}} \sum_{ \tau=t-1}^{t+1}
\\ x_t & = {1 \over 3} \sum_{ \tau= t-1}^{t+1} x_t \end{align}$

Zu erkennen ist, dass man erst ab $\ t = 2 $ anfangen kann, sodass die die Summe bei $\ x_1 $ startet. Das arithmetische Mittel der ersten drei Zahlen ist $\ {(2 + 3 + 3) \over 3}= 2,6667 $. Die 2,6667 ist folglich an der ${m+1 \over 2}={3+1 \over 2}= 2 $-te Stelle zu notieren. Als nächstes berechnet man das arithmetische Mittel der Zahlen $ 3, 3, 3 $ (was logischerweise 3 ergibt), man rutscht also eine Zahl weiter. Die 3 ist dann an der $\ 1+{3+1 \over 2}=3 $-te Stelle aufzuschreiben. So verfährt man immer weiter bis zur 9. Stelle und bestimmt somit den gleitenden Durchschnitt dritter Ordnung. Je am Beginn und am Ende der Reihe fällt $k = {{m-1} \over 2 } = {3-1 \over 2} = 1 $ Glied weg.

t $\ x_t $ $\ \tilde x_3 $
12 
232,6667
333
434,6667
586,3333
686
724,3333
832,6667
935
109 

Daraufhin bilden wir den gleitenden Durchschnitt vierter Ordnung, ergo $\ m = 4 $ und $\ k = 2 $.

Rechne also nach der Formel

$\ x_t^*= {1 \over 2k} \cdot [{1 \over 2} x_{t-k}+{1 \over 2} x_{t+k} + \sum_{ \tau=t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_ \tau] $

Für unser Beispiel ergibt sich:

$\ x_t^*= {1 \over {2 \cdot 2}} \cdot [{1 \over 2} x_{t-2}+{1 \over 2} x_{t+2} + \sum_{ \tau=t-1}^{t+3} x_ \tau] $

Auch hier ist klar erkennbar, dass das kleinste t = 3 sein muss, damit der erste Wert $\ x_{3-2} = x_1 $ in die Summe zur Hälfte eingeht. Nehme die ersten fünf Zahlen heraus, also $ 2, 3, 3, 3, 8$. Zähle die 2 und die 8 aber nur zur Hälfte, d.h. $\ (0,5 \cdot 2) + 3 + 3 + 3 + (0,5 \cdot 8) = 1 + 9 + 4 = 14 $. Bilde das arithmetische Mittel als $\ {1 \over 4} \cdot 14 = 2,5 $ . Schreibe diese Zahl an die $ {m \over 2} +1= {4 \over 2}+1=3 $-te Stelle.
Verfahre genauso mit den Zahlen $ 3, 3, 3, 8, 8 $. Man rechnet $ (0,5 \cdot 3) + 3 + 3 + 8+ (0,5 \cdot 8) = 1,5 + 14 + 4 = 19,5 $. Das arithmetische Mittel ist damit 4,875. Diese Zahl wird an die $\ {m \over 2}+2={4 \over 2}+2=4 $-te Stelle geschrieben. So geht es dann immer weiter und es ergibt sich ein gleitender Durchschnitt vierter Ordnung:

t $\ x_t $ $\tilde x_4 $
11 
24 
343,5
444,875
575,375
675,25
714,625
844,125
94 
1010 

 

 

Berechne für die Daten aus Beispiel 59 die gleitenden Durchschnitte 2., 5., 6., 7., 8., 9. Ordnung. 

Vertiefung

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Zur Kontrolle und zum eigenen Nachrechnen sind hier die gleitenden Durchschnitte von der zweiten bis zur neunten Ordnung angegeben.

t $ x_t $$\tilde x_2 $$\tilde x_3 $$\tilde x_4 $$\tilde x_5 $$\tilde x_6 $$\tilde x_7 $$\tilde x_8 $$\tilde x_9 $
12        
232,752,6667      
33333,53,8    
434,254,66674,87554,54,1429  
586,756,33335,3754,84,54,28574,06253,8889
686,565,254,84,54,28574,54,6667
723,754,33334,6254,855,1429  
832,752,66674,1255    
934,55      
109        

 

Merke

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Für $\ m = 1 $ (also $\ k = 0 $), stimmt die Reihe der gleitenden Durchschnitte (hier erster Ordnung) mit der Originalreihe überein.

Für immer größeres $\ k $ nimmt die Anzahl der Werte gleitender Durchschnitte immer weiter ab, da vorne und hinten immer mehr abgeschnitten werden muss.

Die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte selbst verläuft für größeres $\ k $ immer glatter.