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Oftmals kommt es vor, dass ein nichtlinearer Ansatz gefragt ist. Dieser wird einfach linearisiert; mit diesen Werten rechnet man dann einen KQ-Ansatz durch und transformiert die Werte dann zurück.
Beispiel
Beispiel 63:
Die Beziehung zwischen den Variablen y und x sei gegeben durch eine exponentielle Funktion $\ y = a \cdot e^{b \cdot x} $
x | 2 | 4 | 10 | 15 | 20 |
y | 5,5 | 15 | 300 | 3.600 | 44.000 |
Berechne die Koeffizienten a und b der exponentiellen Schätzung.
Wir gehen in folgenden Schritten vor:
- Linearisierung
$$\ \tilde y= \ln y = \ln(a \cdot e^{b \cdot x}) = \ln a + \ln e^{b \cdot x} = \ln a + b \cdot x = \tilde a + b \cdot x $$ - Berechne also $\ \ln y $ und
- Führe eine KQ-Schätzung durch für x und $\ \tilde y = \ln y $, d.h. errechne
$\ \tilde a = \ln a $ - Transformiere zurück, d.h. berechne a aus $\ \tilde a = \ln a $.
Linearisierung am Beispiel
x | 2 | 4 | 10 | 15 | 20 |
$\ \tilde y= \ln y $ | 1,7047 | 2,7081 | 5,7038 | 8,1887 | 10,6919 |
Damit ist $\ \overline x = 10,2 $ und $\ \tilde y=5,79944 $; außerdem $\ {1 \over n} \sum_{1=n}^n x_i^2 =149 $,
$\ {1 \over n} \sum y_i^2 =44,8289 $ , $\ {1 \over n} \sum x_i y_i =81,58966 $, also ist $$\ b= { \overline {xy} - \overline {x \cdot y} \over s_x^2} ={81,58966-10,2 \cdot 5,79944 \over 149 - 10,2^2} =0,499 $$ Der Ordinatenschnitt ist $\ \ln a = \overline { \ln y} - b \cdot \overline x = 5,79944-0,499 \cdot 10,2 = 0,70956 $,
schließlich ist $\ \ln a = 0,70956 $ und also $\ e^{0,70956} = 2,0331 $:
Also liegt insgesamt die exponentielle Regression $\ y = 2,0331 \cdot e^{0,499 \cdot x} $ vor.
Nichtlineare Regression
Abschließend ein Schema zur Bestimmung Nichtlinearer Regression
Expertentipp
- Welche Art von nichtlinearer Regression liegt vor?
Typische Beispiele:- exponentielle Regression: $\ y = a \cdot e^{bx} $
- Potenzregression: $\ y = a \cdot x^b $
- hyperbolische Regression: $\ y = a + \frac{b}{x} $
- Linearisiere die Ansätze
- exponentielle Regression: $\ \tilde y =\ln y,\ \tilde y=\ln a+ b \cdot x= \tilde a+b \cdot x $
- Potenzregression: $\ \tilde y=\ ln y,\ \tilde y= \tilde a+b \cdot x $
$\ \tilde x = \ln x,\ \tilde a= \ln a $ - Hyperbolische Regression: $\ \tilde y =a+b \cdot \tilde x,\ \tilde x =\frac {1}{x} $
- Rechne eine KQ-Schätzung mit den linearisierten Daten.
- Transformiere zurück.
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