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Exkurs: Linearisierung

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Oftmals kommt es vor, dass ein nichtlinearer Ansatz gefragt ist. Dieser wird einfach linearisiert; mit diesen Werten rechnet man dann einen KQ-Ansatz durch und transformiert die Werte dann zurück.

Beispiel

Beispiel 63:
Die Beziehung zwischen den Variablen y und x sei gegeben durch eine exponentielle Funktion $\ y = a \cdot e^{b \cdot x} $

x 2 4 10 15 20
y 5,5 15 300 3.600 44.000

Berechne die Koeffizienten a und b der exponentiellen Schätzung.
Wir gehen in folgenden Schritten vor:

  • Linearisierung
    $$\ \tilde y= \ln y = \ln(a \cdot e^{b \cdot x}) = \ln a + \ln e^{b \cdot x} = \ln a + b \cdot x = \tilde a + b \cdot x $$
  • Berechne also $\ \ln y $ und
  • Führe eine KQ-Schätzung durch für x und $\ \tilde y = \ln y $, d.h. errechne
    $\ \tilde a = \ln a $
  • Transformiere zurück, d.h. berechne a aus $\ \tilde a = \ln a $.

Linearisierung am Beispiel

x 2 4 10 15 20
$\ \tilde y= \ln y $ 1,7047 2,7081 5,7038 8,1887 10,6919

Damit ist $\ \overline x = 10,2 $ und $\ \tilde y=5,79944 $; außerdem $\ {1 \over n} \sum_{1=n}^n x_i^2 =149 $,
$\ {1 \over n} \sum y_i^2 =44,8289 $ , $\ {1 \over n} \sum x_i y_i =81,58966 $, also ist $$\ b= { \overline {xy} - \overline {x \cdot y} \over s_x^2} ={81,58966-10,2 \cdot 5,79944 \over 149 - 10,2^2} =0,499 $$ Der Ordinatenschnitt ist $\ \ln a = \overline { \ln y} - b \cdot \overline x = 5,79944-0,499 \cdot 10,2 = 0,70956 $,
schließlich ist $\ \ln a = 0,70956 $ und also $\ e^{0,70956} = 2,0331 $:
Also liegt insgesamt die exponentielle Regression $\ y = 0,499 \cdot e^{2,033 \cdot x} $ vor.

Nichtlineare Regression

Abschließend ein Schema zur Bestimmung Nichtlinearer Regression

Nichtlineare Regression - Schema:
  1. Welche Art von nichtlinearer Regression liegt vor?
    Typische Beispiele:
    • exponentielle Regression: $\ y = a \cdot e^{bx} $
    • Potenzregression: $\ y = a \cdot x^b $
    • hyperbolische Regression: $\ y = a + \frac{b}{x} $
  2. Linearisiere die Ansätze
    • exponentielle Regression: $\ \tilde y =\ln y,\ \tilde y=\ln a+ b \cdot x= \tilde a+b \cdot x $
    • Potenzregression: $\ \tilde y=\ ln y,\ \tilde y= \tilde a+b \cdot x $
      $\ \tilde x = \ln x,\ \tilde a= \ln a $
    • Hyperbolische Regression: $\ \tilde y =a+b \cdot \tilde x,\ \tilde x =\frac {1}{x} $
  3. Rechne eine KQ-Schätzung mit den linearisierten Daten.
  4. Transformiere zurück.
Multiple-Choice
Welche der folgenden Aussagen zur Linearisierung ist richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Exkurs: Linearisierung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses Deskriptive StatistikDeskriptive Statistik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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  • Grundbegriffe der deskriptiven Statistik
    • Einleitung
      • Statistische Datenauswertung
      • Merkmal, Merkmalsausprägung und Merkmalsträger
    • Masse und Merkmal
      • Statistische Masse
      • Statistisches Merkmal
    • Skalierungen
      • Grundlagen Skalierung
      • Nominalskala
      • Ordinalskala
      • Metrische Skalen
      • Metrische Skalen - Intervallskala
      • Metrische Skalen - Verhältnisskala
      • Metrische Skalen - Absolutskala
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      • Lösung Aufgabe Skalierung
    • Skalentransformation
      • Grundlagen Skalentransformation
      • Skalentransformation auf der Nominalskala
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      • Gründe für quasistetige Merkmale
      • Quasistetige Merkmale
      • Klassierung
    • Selbstkontrollaufgabe zu den Grundbegriffen der deskriptiven Statistik
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    • Unklassierte Daten und ihre Darstellung
      • Grundlagen der Häufigkeitsverteilung
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      • Relative Häufigkeit
      • Graphische Darstellung
      • Stabdiagramm oder Säulendiagramm
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      • Grundlagen Klassierung
      • Klassierung und ihre Darstellung
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      • Aufgabe Histogramm
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    Ein Kursnutzer am 22.07.2015:
    "gut aufgebaut, gut verständlich"

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    Ein Kursnutzer am 18.10.2014:
    "Man super. Mein Professor hat mich total mit seinen Ausführungen verwirrt, wo doch die Antwort so einfach ist. Vielen Dank Herr Lambert. Ich finde sowieso, dass Sie der Beste sind :o)"

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    "sehr gut erklärt, schnell verständlich. Gute Beispiele!"

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    "Locker flockig an anschaulichen Beispielen ausführlich erklärt."

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    Ein Kursnutzer am 14.06.2014:
    "Perfekt erklärt, danke!!!"

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