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Häufig muss ist allerdings ein nichtlinearer Ansatz gefragt, welcher einfach linearisiert wird. Mit den resultierenden Werten rechnet man dann einen KQ-Ansatz durch und transformiert die Werte anschließend zurück.
Beispiel
Beispiel 63:
Die Beziehung zwischen den Variablen y und x sei gegeben durch eine exponentielle Funktion $ y = a \cdot e^{b \cdot x} $
x | 4 | 8 | 14 | 22 | 32 |
y | 11 | 30 | 420 | 5.280 | 70.400 |
Berechne die Koeffizienten a und b der exponentiellen Schätzung.
Wir gehen in folgenden Schritten vor:
- Linearisierung
$$\ \tilde y= \ln y = \ln(a \cdot e^{b \cdot x}) = \ln a + \ln e^{b \cdot x} = \ln a + b \cdot x = \tilde a + b \cdot x $$ - Bestimme $\ \ln y $
- Nehme eine KQ-Schätzung für x und $ \tilde y = \ln y $ vor, indem du mit $\tilde a = \ln a $ rechnest
- Transformiere zurück, rechne also a aus $\tilde a = \ln a $.
Linearisierung am Beispiel
x | 4 | 8 | 14 | 22 | 32 |
$ \tilde y= \ln y $ | 2,3979 | 3,4012 | 6,0403 | 8,5717 | 11,1619 |
Damit ist $ \overline x = 16 $ und $\ \tilde y = 6,3146 $;
außerdem
$\begin{align} {1 \over n} \sum_{1=n}^n x_i^2 & = 356,8
\\ {1 \over n} \sum y_i^2 & = 50,3731
\\ {1 \over n} \sum x_i y_i & = 133,4248 \end{align}$
also ist
$\begin{align} b & = { \overline {xy} - \overline {x \cdot y} \over s_x^2}
\\ & = {133,4248 - 16 \cdot 6,3146 \over 356,8 - 16^2}
\\ & = 0,3213 \end{align}$
Der Ordinatenschnitt ist
$\begin{align} \ln a & = \overline { \ln y} - b \cdot \overline x
\\ & = 6,3146 - 0,3213 \cdot 16
\\& = 1,1731 \end{align}$
schließlich ist $\ \ln a = 1,1731 $ und also $\ e^{1,1731} = 3,2321 $:
Also liegt insgesamt die exponentielle Regression $\ y = 3,2321 \cdot e^{0,3213 \cdot x} $ vor.
Nichtlineare Regression
Zum Schluss noch ein Schema für nichtlineare Regression:
Methode
- Mit welcher Art von nichtlinearer Regression haben wir es zu tun?
klassische Beispiele:- exponentielle Regression: $\ y = a \cdot e^{bx} $
- Potenzregression: $\ y = a \cdot x^b $
- hyperbolische Regression: $\ y = a + \frac{b}{x} $
- Linearisiere die Ansätze;
- bei exponentieller Regression: $\\ \begin{align} \tilde y & =\ln y,
\\ \tilde y & =\ln a+ b \cdot x = \tilde a+b \cdot x \end{align}$ - für Potenzregression: $\\ \begin{align} \tilde y & =\ ln y,\
\\ \tilde y & = \tilde a+b \cdot x
\\ \tilde x & = \ln x,\
\\ \tilde a & = \ln a \end{align}$ - Hyperbolische Regression: $\\ \begin{align} \tilde y & = a+b \cdot \tilde x,
\\ \tilde x & =\frac {1}{x} \end{align}$
- bei exponentieller Regression: $\\ \begin{align} \tilde y & =\ln y,
- Rechne eine KQ-Schätzung mit den linearisierten Daten.
- Transformiere zurück.
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