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Deskriptive Statistik - Exkurs: Linearisierung

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Deskriptive Statistik

Exkurs: Linearisierung

Häufig muss ist allerdings ein nichtlinearer Ansatz gefragt, welcher einfach linearisiert wird. Mit den resultierenden Werten rechnet man dann einen KQ-Ansatz durch und transformiert die Werte anschließend zurück.

Beispiel

Beispiel 63:

Die Beziehung zwischen den Variablen y und x sei gegeben durch eine exponentielle Funktion $ y = a \cdot e^{b \cdot x} $

x48142232
y11304205.28070.400

Berechne die Koeffizienten a und b der exponentiellen Schätzung.

Wir gehen in folgenden Schritten vor:

  1. Linearisierung
    $$\ \tilde y= \ln y = \ln(a \cdot e^{b \cdot x}) = \ln a + \ln e^{b \cdot x} = \ln a + b \cdot x = \tilde a + b \cdot x $$

  2. Bestimme $\ \ln y $

  3. Nehme eine KQ-Schätzung für x und $ \tilde y = \ln y $ vor, indem du mit $\tilde a = \ln a $ rechnest

  4. Transformiere zurück, rechne also a aus $\tilde a = \ln a $.

Linearisierung am Beispiel

x48142232
$ \tilde y= \ln y $2,39793,40126,04038,571711,1619

Damit ist $ \overline x = 16 $ und $\ \tilde y = 6,3146 $;

außerdem

$\begin{align} {1 \over n} \sum_{1=n}^n x_i^2 & = 356,8
\\ {1 \over n} \sum y_i^2 & = 50,3731
\\ {1 \over n} \sum x_i y_i & = 133,4248 \end{align}$

also ist

$\begin{align} b & = { \overline {xy} - \overline {x \cdot y} \over s_x^2}
\\ & = {133,4248 - 16 \cdot 6,3146 \over 356,8 - 16^2}
\\ & = 0,3213 \end{align}$

Der Ordinatenschnitt ist

$\begin{align} \ln a & = \overline { \ln y} - b \cdot \overline x
\\ & = 6,3146 - 0,3213 \cdot 16
\\& = 1,1731 \end{align}$

schließlich ist $\ \ln a = 1,1731 $ und also $\ e^{1,1731} = 3,2321 $:

Also liegt insgesamt die exponentielle Regression $\ y = 3,2321 \cdot e^{0,3213 \cdot x} $ vor.

Nichtlineare Regression

Zum Schluss noch ein Schema für nichtlineare Regression:

Methode

Schema für nichtlineare Regression:
  1. Mit welcher Art von nichtlinearer Regression haben wir es zu tun?
    klassische Beispiele:
    • exponentielle Regression: $\ y = a \cdot e^{bx} $
    • Potenzregression: $\ y = a \cdot x^b $
    • hyperbolische Regression: $\ y = a + \frac{b}{x} $

  2. Linearisiere die Ansätze;
    • bei exponentieller Regression: $\\ \begin{align} \tilde y & =\ln y,
      \\ \tilde y & =\ln a+ b \cdot x = \tilde a+b \cdot x \end{align}$

    • für Potenzregression: $\\ \begin{align} \tilde y & =\ ln y,\
      \\ \tilde y & = \tilde a+b \cdot x
      \\ \tilde x & = \ln x,\
      \\ \tilde a & = \ln a \end{align}$

    • Hyperbolische Regression: $\\ \begin{align} \tilde y & = a+b \cdot \tilde x,
      \\ \tilde x & =\frac {1}{x} \end{align}$

  3. Rechne eine KQ-Schätzung mit den linearisierten Daten.

  4. Transformiere zurück.