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Deskriptive Statistik - Exkurs: Linearisierung

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Deskriptive Statistik

Exkurs: Linearisierung

Oftmals kommt es vor, dass ein nichtlinearer Ansatz gefragt ist. Dieser wird einfach linearisiert; mit diesen Werten rechnet man dann einen KQ-Ansatz durch und transformiert die Werte dann zurück.

Beispiel

Beispiel 63:
Die Beziehung zwischen den Variablen y und x sei gegeben durch eine exponentielle Funktion $\ y = a \cdot e^{b \cdot x} $

x 2 4 10 15 20
y 5,5 15 300 3.600 44.000

Berechne die Koeffizienten a und b der exponentiellen Schätzung.
Wir gehen in folgenden Schritten vor:

  • Linearisierung
    $$\ \tilde y= \ln y = \ln(a \cdot e^{b \cdot x}) = \ln a + \ln e^{b \cdot x} = \ln a + b \cdot x = \tilde a + b \cdot x $$
  • Berechne also $\ \ln y $ und
  • Führe eine KQ-Schätzung durch für x und $\ \tilde y = \ln y $, d.h. errechne
    $\ \tilde a = \ln a $
  • Transformiere zurück, d.h. berechne a aus $\ \tilde a = \ln a $.

Linearisierung am Beispiel

x 2 4 10 15 20
$\ \tilde y= \ln y $ 1,7047 2,7081 5,7038 8,1887 10,6919

Damit ist $\ \overline x = 10,2 $ und $\ \tilde y=5,79944 $; außerdem $\ {1 \over n} \sum_{1=n}^n x_i^2 =149 $,
$\ {1 \over n} \sum y_i^2 =44,8289 $ , $\ {1 \over n} \sum x_i y_i =81,58966 $, also ist $$\ b= { \overline {xy} - \overline {x \cdot y} \over s_x^2} ={81,58966-10,2 \cdot 5,79944 \over 149 - 10,2^2} =0,499 $$ Der Ordinatenschnitt ist $\ \ln a = \overline { \ln y} - b \cdot \overline x = 5,79944-0,499 \cdot 10,2 = 0,70956 $,
schließlich ist $\ \ln a = 0,70956 $ und also $\ e^{0,70956} = 2,0331 $:
Also liegt insgesamt die exponentielle Regression $\ y = 2,0331 \cdot e^{0,499 \cdot x} $ vor.

Nichtlineare Regression

Abschließend ein Schema zur Bestimmung Nichtlinearer Regression

Nichtlineare Regression - Schema:
  1. Welche Art von nichtlinearer Regression liegt vor?
    Typische Beispiele:
    • exponentielle Regression: $\ y = a \cdot e^{bx} $
    • Potenzregression: $\ y = a \cdot x^b $
    • hyperbolische Regression: $\ y = a + \frac{b}{x} $
  2. Linearisiere die Ansätze
    • exponentielle Regression: $\ \tilde y =\ln y,\ \tilde y=\ln a+ b \cdot x= \tilde a+b \cdot x $
    • Potenzregression: $\ \tilde y=\ ln y,\ \tilde y= \tilde a+b \cdot x $
      $\ \tilde x = \ln x,\ \tilde a= \ln a $
    • Hyperbolische Regression: $\ \tilde y =a+b \cdot \tilde x,\ \tilde x =\frac {1}{x} $
  3. Rechne eine KQ-Schätzung mit den linearisierten Daten.
  4. Transformiere zurück.