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Deskriptive Statistik - Methode der Reihenhälften

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Deskriptive Statistik

Methode der Reihenhälften

Bei der Methode der Reihenhälften, das letzte hier vorgestellte Verfahren der Zeitreihenanalyse, geht man folgendermaßen vor:

Expertentipp

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Methode der Reihenhälften - Schema:

  1. Teile die Punktwolke von der Abszisse her in zwei Hälften ein, d.h. die erste Hälfte besteht aus den ersten $\ n_1 $ Punkten, die zweite Hälfte besteht aus den zweiten $\ n_2 $ Punkten und $\ n = n_1 + n_2 $.
  2. Bestimme in beiden Hälften das arithmetische Mittel jeweils auf der Abszisse und auf der Ordinate, d.h. bilde $\ (\overline x_1, \overline y_1) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2) $ .
  3. Verbinde die beiden Punkte. Die Verbindung bildet die Regressionsgerade $\ y = a + b \cdot x $ .
  4. Die Steigung ist $\ b= {\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1} $, der Ordinatenabschnitt ist $\ a= \overline y_1 - b \cdot \overline x_1 $ bzw. $\ a= \overline y_2 - b \cdot \overline x_2 $.

Methode der Reihenhälften am Beispiel

Wir führen die Methode an einem Beispiel vor.

Beispiel

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Beispiel 64:
Gegeben seien die Punkte (3,5), (4,2), (1,3), (2,1), (5,2), (6,4), (8,7) und (7,3).

Bestimme eine Trendgerade mit der Methode der Reihenhälften. Zunächst zeichnet man die Punkte, um zu erkennen, wo die Hälfte liegt.

Streudiagramm für Reihenhälften
Streudiagramm für Reihenhälften

Die arithmetischen Mittel sind $\ \overline x_1 = {1 \over 4} \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 2,5 $,
$\ \overline y_1={1 \over 4} \cdot (1 + 2 + 3 + 5) = 2,75 $ sowie $\ \overline x_2= 6,5,\ \overline y_2=4 $.
Die beiden Punkte, die die Regressionsgerade festlegen, sind also $\ (\overline x_1, \overline y_1) = (2,5;2,75) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2)=(6,5; 4) $.
Die Steigung der Regressionsgeraden ist
$$\ b={\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1}= {4-2,75 \over 6,5-2,5}={1,25 \over 4}={5 \over 16}=0,3125 $$
$$\ a= \overline y_1 - b \cdot \overline x_1 = 2,75 - {5 \over 16} \cdot 2,5 $$

$$\ = 2,75 - {5 \over 16} \cdot {5 \over 2} = 2,75 - {25 \over 32} = 1,96875 $$
$$\ a= \overline y_2 - b \cdot \overline x_2 = 4 - {5 \over 16} \cdot 6,5 =1,96875 $$
Die Regressionsgerade ist daher $\ y = 1,96875 + 0,3125 \cdot x $.