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Methode der Reihenhälften

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Bei der Methode der Reihenhälften, das letzte hier vorgestellte Verfahren der Zeitreihenanalyse, geht man folgendermaßen vor:

Methode der Reihenhälften - Schema:

  1. Teile die Punktwolke von der Abszisse her in zwei Hälften ein, d.h. die erste Hälfte besteht aus den ersten $\ n_1 $ Punkten, die zweite Hälfte besteht aus den zweiten $\ n_2 $ Punkten und $\ n = n_1 + n_2 $.
  2. Bestimme in beiden Hälften das arithmetische Mittel jeweils auf der Abszisse und auf der Ordinate, d.h. bilde $\ (\overline x_1, \overline y_1) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2) $ .
  3. Verbinde die beiden Punkte. Die Verbindung bildet die Regressionsgerade $\ y = a + b \cdot x $ .
  4. Die Steigung ist $\ b= {\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1} $, der Ordinatenabschnitt ist $\ a= \overline y_1 - b \cdot \overline x_1 $ bzw. $\ a= \overline y_2 - b \cdot \overline x_2 $.

Methode der Reihenhälften am Beispiel

Wir führen die Methode an einem Beispiel vor.

Beispiel

Beispiel 64:
Gegeben seien die Punkte (3,5), (4,2), (1,3), (2,1), (5,2), (6,4), (8,7) und (7,3).

Bestimme eine Trendgerade mit der Methode der Reihenhälften. Zunächst zeichnet man die Punkte, um zu erkennen, wo die Hälfte liegt.

Streudiagramm für Reihenhälften
Streudiagramm für Reihenhälften

Die arithmetischen Mittel sind $\ \overline x_1 = {1 \over 4} \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 2,5 $,
$\ \overline y_1={1 \over 4} \cdot (1 + 2 + 3 + 5) = 2,75 $ sowie $\ \overline x_2= 6,5,\ \overline y_2=4 $.
Die beiden Punkte, die die Regressionsgerade festlegen, sind also $\ (\overline x_1, \overline y_1) = (2,5;2,75) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2)=(6,5; 4) $.
Die Steigung der Regressionsgeraden ist
$$\ b={\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1}= {4-2,75 \over 6,5-2,5}={1,25 \over 4}={5 \over 16}=0,3125 $$
$$\ a= \overline y_1 - b \cdot \overline x_1 = 2,75 - {5 \over 16} \cdot 2,5 $$

$$\ = 2,75 - {5 \over 16} \cdot {5 \over 2} = 2,75 - {25 \over 32} = 1,96875 $$
$$\ a= \overline y_2 - b \cdot \overline x_2 = 4 - {5 \over 16} \cdot 6,5 =1,96875 $$
Die Regressionsgerade ist daher $\ y = 1,96875 + 0,3125 \cdot x $.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Methode der Reihenhälften ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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