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Deskriptive Statistik - Methode der Reihenhälften

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Deskriptive Statistik

Methode der Reihenhälften

Die letzte Methode, die wir hier behandeln wollen, ist die Methode der Reihenhälften, bei der wie folgt vorgegangen wird:

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Schema für die Methode der Reihenhälften:

  1. Die Punktewolke wird von der x-Achse aus in zwei Teile unterteilt, also die erste Hälfte besteht aus den ersten n1 Punkten, die zweite Hälfte besteht aus den zweiten n2  Punkten und n = n1 + n2.

  2. Rechne für beide Hälften das arithmetische Mittel jeweils auf der Abszisse und auf der Ordinate, bestimme also $\ (\overline x_1, \overline y_1) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2) $ .

  3. Verbinde die beiden Punkte zur Regressionsgerade $\ y = a \cdot x + b$ .

  4. Die Steigung ist $\  a = {\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1} $, der Ordinatenabschnitt ist $\  b = \overline y_1 - a \cdot \overline x_1 $ bzw. $\ b = \overline y_2 - a \cdot \overline x_2 $.

Methode der Reihenhälften am Beispiel

Diese Methode wird anhand eines Beispiel erläutert:

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Beispiel 64:

Folgende Punkte sind gegeben (2,6), (5,1), (2,2), (1,2), (4,3), (7,5), (7,8) und (6,4)

Bestimme die Trendgerade durch die Methode der Reihenhälften.

Als erstes werden die Punkte in das Koordinatensystem eingetragen, sodass die Hälfte sichtbar wird.

Sreudiagramm Reihenhälften
Abb.35: Streudiagramm Reihenhälften

 
Die arithmetischen Mittel sind:

$\begin{align} \overline x_1 & = {1 \over 4} \cdot ( 1 + 2 + 2 + 4) = 2,25
\\ \overline y_1 & ={1 \over 4} \cdot (2 + 6 + 2 + 3) = 3,25 \\
\\ \text{sowie}\\
\\ \overline x_2 & = 6,25
\\ \overline y_2 & = 4,5 \end{align}$.

Die beiden Punkte, die die Regressionsgerade festlegen, sind also $\ (\overline x_1, \overline y_1) = (2,25 ; 3,25) $ und $\ (\overline x_2, \overline y_2) = (6,25 ; 4,5) $.

Die Steigung a der Regressionsgeraden lautet:

$\begin{align} a & = {\overline y_2 - \overline y_1 \over \overline x_2 - \overline x_1}
\\ & = {4,5 - 3,25 \over 6,25 - 2,25}
\\ & = {1,25 \over 4} = {5 \over 16}
\\ & = 0,3125 \end{align}$

Der Ordinatenabschnitt b lautet:

$\begin{align} b & = \overline y_1 - b \cdot \overline x_1
\\ & = 3,25 - {5 \over 16} \cdot 2,25
\\ & = 3,25 - {5 \over 16} \cdot {9 \over 4}
\\ & = 3,25 - {45 \over 64}
\\ & = 2,5469 \\
\\ \text{oder} \\
\\ b & = \overline y_2 - b \cdot \overline x_2
\\ & = 4,5 - {5 \over 16} \cdot 6,25
\\ & = 2,5469 \end{align}$

Somit ergibt sich folgende Regressionsgerade: $\ y = 0,3125 \cdot x + 2,5469 $.