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Deskriptive Statistik - Korrelationskoeffizient von Fechner

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Deskriptive Statistik

Korrelationskoeffizient von Fechner

Der Korrelationskoeffizient von Fechner benötigt Kardinalskalenniveau für beide Merkmale. Er wird folgendermaßen berechnet:

Berechnung Korrelationskoeffizient von Fechner

Korrelationskoeffizient von Fechner - Schema:

  1. Trage die Punktwolke $\ (x_i,y_i) $ in ein Koordinatensystem ab.
  2. Berechne die arithmetischen Mittel $\ (\overline x, \overline y) $.
  3. „Berechne” das Vorzeichen der Abweichungen $\ x_i- \overline x $ und $\ y_i- \overline y $ .
  4. Die Vorzeichen der Abweichungen stimmen in zwei der vier Quadranten überein. Die Anzahl der Punkte in diesen beiden Quadranten bezeichnen wir mit ü. Sollte einer der Werte $\ x_i- \overline x $ oder $\ y_i- \overline y$ gleich Null sein, so wird dies als Übereinstimmung gezählt.
  5. Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Fechner als
    $$\ r_F = {ü-(n-ü) \over ü+(n-ü)}= {2ü-n \over n} $$

Wir rechnen das Kochrezept an einem Beispiel nach:

Beispiel

Beispiel 58:
Die Punkte seien:

i $$\ x_i $$ $$\ y_i $$
1 3 5
2 4 1
3 7 3
4 8 2
5 8 9

Die Tabelle liefert folgendes Diagramm:

Einteilung für Korrelationskoeffizienten nach Fechner
Einteilung für Korrelationskoeffizienten nach Fechner

Die arithmetischen Mittel sind $\ \overline x= 6 $ und $\ \overline y = 4 $, die Tabelle kann dann erweitert werden zu:

i $$\ x_i $$ $$\ y_i $$ $$\ X_i - \overline x $$ Vorzeichen $$\ Y_i - \overline y $$ Vorzeichen Übereinstimmung
1 3 5 -3 - 1 + nein
2 4 1 -2 - -3 - ja
3 7 3 1 + -1 - nein
4 8 2 2 + -2 - nein
5 8 9 2 + 5 + ja

Die Anzahl der „Ja-Antworten”, also der übereinstimmenden Vorzeichen der Abweichungen, ist ü = 2. Also lautet der Korrelationskoeffizient

$$\ r_F = {ü-(n-ü) \over ü+(n-ü)} = {2-(5-2) \over 2+(5-2)} = {2-3 \over 2+3} ={-1 \over 5} = - 0,2 $$

Der Korrelationskoeffizient von Fechner ist nicht sehr bedeutungsvoll, da zwar die Vorzeichen der Abweichungen in die Formel eingehen, nicht jedoch die Abweichungen selbst.

Merke

Merke: Für die Wahl des richtigen Korrelationskoeffizienten ist die Skalierung maßgeblich.

Skalenniveau und Korrelationskoeffizient

Abschließend werden jene Korrelationskoeffizienten, die ab der angegeben Skala verwendbar sind zusammengefasst:

Skala Korrelationskoeffizient
Nominalskala (korrigierter) Kontingenzkoeffizient nach Pearson $\ C_P, C_{korr} $
Kontingenzkoeffizient nach Cramér $\ C_C $
Ordinalskala Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient $\ r_S $
metrische Skalen Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient $\ r_{BP} $, Korrelationskoeffizient nach Fechner $\ r_F $

Wenn zwei Merkmale verglichen werden sollen, die unterschiedlich skaliert sind, so nimmt man stets den Korrelationskoeffizienten, der zu der schwächeren Skalierung passt. Wenn also ein (behaupteter) Zusammenhang zwischen Haarfarbe (nominalskaliert) und IQ (ordinalskaliert) gemessen werden soll, so nimmt man einen Koeffizienten für die Nominalskala.