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Der Korrelationskoeffizient nach Fechner kann nur bei kardinalen Skalenniveaus beider Merkmale angewendet werden. Zu seiner Berechnung wird folgendermaßen vorgegangen:
Berechnung Korrelationskoeffizient von Fechner
Methode
Schema zur Bestimmung des Korrelationskoeffizient von Fechner:
- Punktwolke $\ (x_i,y_i) $ in ein Koordinatensystem eintragen.
- Bestimme das arithmetische Mittel $(\overline x, \overline y)$
- Bestimme das Vorzeichen der Abweichungen $\ x_i- \overline x $ und $\ y_i- \overline y $ .
- In zwei der vier Quadranten sind die Vorzeichen die gleichen ((+;+) und (-;-)). Die Anzahl der Punkte, die innerhalb dieser Felder liegen werden als ü gezählt. Ist einer der Werte $\ x_i- \overline x $ oder $\ y_i- \overline y$ gleich Null wird dieser einfach als ü gezählt.
- Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Fechner als
$$\ r_F = {ü-(n-ü) \over ü+(n-ü)}= {2ü-n \over n} $$
Das beschriebene Schema wollen wir auf das Beispiel 58 anwenden:
Beispiel
Beispiel 58:
Die Punkte seien:
| i | xi | yi |
| 1 | 2 | 7 |
| 2 | 5 | 2 |
| 3 | 6 | 1 |
| 4 | 8 | 3 |
| 5 | 9 | 6 |
| 6 | 9 | 5 |
Aus der Tabelle ergibt sich folgendes Diagramm:
Die arithmetischen Mittel sind $\ \overline x= 6,5 $ und $\ \overline y = 4 $, die Tabelle kann erweitert werden zu:
| i | $x_i $ | $y_i $ | $X_i - \overline x $ | Vorzeichen | $Y_i - \overline y $ | Vorzeichen | Übereinstimmung |
| 1 | 2 | 7 | - 4,5 | - | 3 | + | nein |
| 2 | 5 | 2 | - 1,5 | - | - 2 | - | ja |
| 3 | 6 | 1 | - 0,5 | - | - 3 | - | ja |
| 4 | 8 | 3 | 1,5 | + | - 1 | - | nein |
| 5 | 9 | 6 | 2,5 | + | 2 | + | ja |
| 6 | 9 | 5 | 2,5 | + | 1 | + | ja |
Die Anzahl an Übereinstimmungen der Abweichungen, ist ü = 4. Somit ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von:
$\ r_F = {ü-(n-ü) \over ü+(n-ü)} = {4-(6-4) \over 4+(6-4)} = {4-2 \over 4+2} ={2 \over 6} = 0,33 $
Der Korrelationskoeffizient von Fechner ist nicht sehr bedeutungsvoll, da die Vorzeichen der Abweichungen in der Formel berücksichtigt werden, allerdings nicht die Abweichungen selbst.
Hinweis
Für die Wahl des richtigen Korrelationskoeffizienten ist die Skalierung maßgeblich.
Skalenniveau und Korrelationskoeffizient
Zusammenfassend zu dem Kapitel Zusammenhangsmaße wollen wir nochmal einen kurzen Überblick darüber geben, ab welcher Skala welcher Korrelationskoeffizient anwendbar ist:
| Skala | Korrelationskoeffizient |
| Nominalskala | (korrigierter) Kontingenzkoeffizient nach Pearson $\ C_P, C_{korr} $ Kontingenzkoeffizient nach Cramér $\ C_C $ |
| Ordinalskala | Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient $\ r_S $ |
| metrische Skalen | Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient $\ r_{BP} $, Korrelationskoeffizient nach Fechner $\ r_F $ |
Haben zwei Merkmale unterschiedliche Skalenniveaus, wird immer der, der niedrigeren Skalierung verwendet. Sollen bspw. die Nationalität (nominalskaliert) und das Alter (ordinalskaliert) gemessen werden, verwendet man einen entsprechenden Koeffizienten für Nominalskalen.
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