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Hochrechnung

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 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Hochrechnung (freie Hochrechnung, gebundene Hochrechnung, Prognose)

Die Hochrechnung

Merke

Die Hochrechnung ist ein statistisches Verfahren, mit dem von (durch eine Stichprobe ermittelten) Daten einer Teilmenge auf die Verteilung in der Grundgesamtheit geschlossen werden kann.

Beachte

Merke

Die Hochrechnung wird in vielen unterschiedlichen Bereichen angewandt, zum Beispiel bei politischen Wahlen oder Verkehrszählungen. Sie ist ein allgemeines Schätzverfahren

Merke

Merke

Es kommt immer wieder zu Verwechselungen. Es geschieht oft, dass der Begriff der Hochrechnung mit dem der Prognose gleichgesetzt wird. Dies ist jedoch nicht richtig. Der Begriff der Hochrechnung bezieht sich ausschließlich auf Schätzverfahren, bei denen die Datenqualität der Teilmenge, aufgrund der auf die Grundgesamtheit geschlossen wird, genau so gut ist wie die Datenqualität der Grundgesamtheit selbst.

Der Begriff Prognose findet vor allem dann Anwendung, wenn es darum geht, ein Ereignis vorherzusagen, welches zu diesem Zeitpunkt natürlich noch nicht eingetreten ist.
Die nötigen Daten für eine Prognose dürfen das vorhergesagte Ereignis nicht messen.

Schauen wir uns die Hochrechnung am Beispiel von Wahlen an, so stellen wir fest, dass die Hochrechnung mittels bereits ausgezählter Teilergebnisse stattfindet. Die Hochrechnung hat als Fundament das tatsächliche Verhalten.
Hingegen wird die Prognose anhand von Umfrageerhebungen vor der Auszählung der Stimmen erhoben. Hier liegen somit Daten vor, die nicht das tatsächliche Verhalten, sondern Verhaltensabsichten beinhalten.
Aber auch noch eine andere Bedeutung kommt dem Begriff der Prognose zu, nämlich in der schließenden Statistik.

Eine Hochrechnung kann getätigt werden unter Verwendung aller verfügbaren Teilmengen oder aber unter Berücksichtigung von nur zu einer Stichprobe gehörenden Teilmengen.

Die Vorhersage (Prognose) eines Ereignisses baut ausschließlich auf den aktuellen Informationen der Teilmengen auf.

Die Vorhersage eines Ereignisses kann

  1. Fall: ausschließlich auf den neuen Informationen der Teilmengen aufbauen

    oder

  2. Fall: die neuen Informationen durch andere Eigenschaften der Teilmengen ergänzen, die schon vor dem Ereignis, das hochgerechnet wird, gegeben sind.

Beachte

Merke

Im ersten Fall liegt eine Schätzung der Ergebnisse der Grundgesamtheit vor, die ausschließlich aus den Ergebnissen der verwendeten Teilmengen sich ergibt. Hier handelt es sich um ein freie Hochrechnung.

Konkret ergeben sich folgende Schätzer für den Erwartungswert und die Standardabweichung:

$\hat{\mu _x}=\overline x$  mit  $\hat{\sigma }=\frac{s_x}{\sqrt n}.$

Beachte

Merke

Ist es nun so, dass zusätzlich zu den neuen Ergebnissen der Teilmengen noch ein weiteres Merkmal berücksichtigt wird, dessen Wert in der Grundgesamtheit bereits bekannt ist, so redet man von einer gebundenen Hochrechnung.

1. Hochrechnung bezüglich Wahlen

Sie findet am Tag der Wahl statt. Sie berücksichtigt ausschließlich vorliegende Teilergebnissse.

Hier wird nicht ein kleiner Ausschnitt der Wahlberechtigten mit Fragen konfrontiert, welche eine Vorausschau über das spätere Wahlverhalten (Stimmabgabe) gestatten.

Statt dessen werden zwei Untersuchungsobjekte, nämlich die Wähler und ihre Wahlentscheidung bei einer vergleichbaren Wahl von ähnlichem Typus (also beispielsweise bei einer Landtagswahl die vorhergegangene Landtagswahl) und die Wähler und ihre Wahlentscheidungen bei der aktuellen Wahl miteinander verglichen. Anschließend werden mit statistischen Methoden die Bewegungen geschätzt, die zur beobachteten Veränderung in den beiden Untersuchungsobjekten (bzw. Wahlergebnissen) geführt haben. Die mitunter größte Schwierigkeit besteht bei der Wahlhochrechnung darin, dass natürlich die Wahlergebnisse der alten Wahl für alle Gemeinden vorliegen, die Wahlergebnisse der neuen Wahl aber erst -während die Hochrechnung läuft- sozusagen portionsweise eintreffen.

Für einen in Statistik vollkommen Unerfahrenen scheint es unmöglich, aus den beiden Wahlergebnissen „herauszurechnen“ welche der verschiedenen möglichen Wählerwanderungen vom alten Zustand zum neuen Zustand geführt haben.

Solche Berechnungen können mit geeigneten Modellannahmen durchgeführt werden.

Die Übergangsphänomene (hier Wählerwanderung) können von der Statistik genau untersucht werden. Es gibt unterschiedliche Modelle, welche nahezu jedes Phänomen berücksichtigen.

Es kommt darauf an, wann welches angewendet werden sollte.

Neben der Wahlforschung können diese Modelle ebenfalls bei statistischen Modellen für demographische Populationsbewegungen oder Jobwechsel angewendet werden.

Bevor es zur Anwendung kommt, muss der Statistiker die im Rahmen der Theorie entwickelten mathematischen Konzepte ganz genau dem gegebenen Untersuchungsproblem anpassen. Erst dann bekommt man praktikable und zuverlässige Verfahren. Auf keinen Fall sind solche Verfahren in Form von Computerprogrammen oder ähnlich bereits erstellt.

Liegen Teilergebnisse einer Wahl vor, so ermittelt der Statistiker in der Wahlhochrechnung, anhand von Wahlergebnissen, aus jenen Gemeinden, in denen schon das neue Wahlergebnis vorliegt, Schätzungen für das Wahlverhalten.

Aufgrund dieser Schätzungen kann das neue Ergebnis in den noch nicht ausgewerteten Gemeinden vorhergesagt werden. Dies geschieht dadurch, dass man von den alten Wahlergebnissen ausgeht und diese um die geschätzten Wählerströme abändert.

Bei dieser Wahlhochrechnung ist eine sehr wichtige Komponente enthalten, nämlich die Wählerstromanalyse.

Die Einbeziehung weiterer Merkmale ist vor allem dann äußerst empfehlenswert, wenn diese mit dem hochzurechnenden Ereignis eng miteinander korrelieren.

Das heißt, dass im positiven Fall eine „... je mehr , desto mehr ...“ Beziehung besteht und im negativen Fall eine “...je mehr, desto weniger ...“ Beziehung besteht, zum Beispiel wenn für die zu schätzende Variable Messungen zu einem früheren Zeitpunkt bereits vorliegen (Korrelation).

2. Wahlprognose bezüglich Wahlen

Das Wesentiche einer Wahlprognose ist, dass sie versucht – anhand von Meinungsumfragen- das Wahlergebnis vorherzusagen.

Dies wird meistens unmittelbar vor der Wahl veröffentlicht.

Der elementare Baustein der Wahlprognose ist, dass sie von der Stimmung einer relativ kleinen Gruppe von Wählern eine „Augenblickaufnahme“ macht. Anschließend wird diese Aufnahme maßstäblich auf alle Wähler projiziert. Mit Hilfe der statistischen Stichprobentheorie kann die Genauigkeit der Schlüsse auf die Grundgesamtheit aller Wahlberechtigten errechnet werden.

Es muss allerdings jedem bewußt sein, dass Daten zur Meinungsumfrage bezüglich Wahlen,

Daten über Einstellungen und Meinungen sind, sogenannte „weiche Daten“. Hier können methodische Erhebungsprobleme auftreten. Darunter fällt zum Beispiel die Antwortverweigerung, welche zu realitätsabweichenden Einschätzung, des zu erwartenden Wahlergebnisses, führen kann. 

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Hochrechnung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
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    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
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      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
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    • Einleitung zu Hochrechnung
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      • Einleitung zu Differenzenschätzung
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      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
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  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
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    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
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    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
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