Ereignisse

Begriffe

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren viele unterschiedliche Begriffe in Zusammenhang mit dem Wort „Ereignis“. Diese sollen an dem folgenden Beispiel klargemacht werden.

Ein Elementarereignis lässt sich nicht weiter in kleinere Ergebnisse zerlegen. So lautet hier die Menge der Elementarereignisse beim doppelten Würfelwurf

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

Ω = (2,1), (2,2), (2,6),

(6,1), (6,2), (6,6)}

Der erste Eintrag gibt das Ergebnis des ersten Wurfs an, der zweite jenes des zweiten Wurfs.

Wir werden manche der folgenden Begriffe auch bildlich klarmachen anhand eines sogenannten Venn-Diagramms, das aus den Mengen A und B besteht:

Abb. 2.1: Venn-Diagramm

Elementarereignis

• gibt die kleinsten, sich gegenseitig ausschließenden Situationen an. Ein Elementarereignis kann nicht mehr aufgeteilt werden in kleinere Ereignisse. Beispiele im obigen Fall 2.1 sind (1,3), (2,6) und jedes andere der 36 Elemente von Ω, also der Elementarereignisse.

Ereignis

• eine Teilmenge von Ω und damit i.A. eine Vereinigung von Elementarereignissen (Ausnahme: das unmögliche Ereignis Ø – dieses ist ein Ereignis, das eintreten kann, ist aber keine Teilmenge der Menge der Elementarereignisse). So ist z.B. A das Ereignis, dass beim zweifachen Würfelwurf „Pasch“ fällt, d.h. A= {(1,1), (2,2), (3,3), … (6,6)}. A besteht damit aus sechs Elementen, d.h. # A = 6,

sicheres Ereignis

• ein Ereignis, das auf jeden Fall eintritt, also A = Ω. Es ist z.B. sicher, dass eine Zahl zwischen 1 und 6 in jedem der Versuche gewürfelt wird

unmögliches Ereignis

• ein Ereignis, das auf keinen Fall eintritt, d.h. A = Ø. So ist z.B. das Ereignis, dass im ersten Wurf eine 7 gewürfelt wird, unmöglich, genau wie eine 9 im zweiten Wurf etc.

• es gibt also nicht das unmögliche Ereignis, sondern viele unmögliche Ereignisse

disjunkte Ereignisse

• zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können, d.h. $ A \cap B = Ø$. So ist es z.B. nicht möglich, dass im ersten Wurf gleichzeitig eine 5 und eine 4 gewürfelt wird.

Vereinigung von Ereignissen

• verbal: die Vereinigung bedeutet, dass

  • A allein eintritt oder

  • B allein eintritt oder

  • A und B beide eintreten

• in Formeln: $ A \cup B$

• anders ausgedrückt: mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein

• das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ bedeutet also nichts anderes als „oder“

• so ist z.B. A das Ereignis, dass die Augensumme kleiner oder gleich 5 ist: A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} und B das Ereignis, dass ein Pasch gewürfelt wird, also B = {(1,1), (2,2), (3,3) … (6,6)}. Dann ist $A \cup B = {(1,1), (1,2), … (4,1)} \cup {(1,1), (2,2), (3,3),… (6,6)} = A \cup {(3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}$

Abb. 2.2: Vereinigung von Ereignissen

Durchschnitt von Ereignissen

• verbal: beide Ereignisse müssen eintreten, d.h. dass

  • A eintritt und

  • B eintritt

• in Formeln: A $\cap$ B

• anders ausgedrückt: beide Ereignisse A und B treten ein

• das Geschnitten-Zeichen „$\cap$“ bedeutet also nichts anderes als „und“

• so muss im Beispiel 2.1 also die Augensumme kleiner oder gleich 5 sein (Ereignis A) und gleichzeitig müssen beide Zahlen gleich sein, d.h. ein Pasch tritt ein (Ereignis B). Dies passiert aber dann, wenn in beiden Würfen eine 1 oder in beiden eine 2 auftritt:

  A $\cap$ B = {(1,1), (1,2), ... (4,1)} $\cap$ {(1,1), (2,2), (3,3), ... (6,6)} = {(1,1), (2,2)}.

Abb. 2.3: Schnitt von Ereignissen

Ausschluss von Ereignissen

• sprich „A ohne B“

• in Zeichen: A \ B

• hierin sind alle Elemente von A enthalten mit Ausnahme jener Elemente, die auch in B sind

• so ist z.B. im Beispiel 2.1 also A \ B die Menge aller Elementareignisse, deren Augensumme kleiner oder gleich 5 ist und die zusätzlich kein Pasch sind:

• A\B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)}\{(1,1), (2,2), (3,3), ,6,6)} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} , denn in A sind die beiden Paschs (1,1), (2,2) enthalten, die natürlich auch in B sind und deswegen in A \ B nicht enthalten sein dürfen

Komplement

• das Gegenteil eines Ereignisses

• wenn A das Ereignis ist, ein Pasch zu würfeln, dann ist das Komplement von A, geschrieben $\overline{A}$ , der gesamte Rest, d.h. alle Elementarereignisse, in denen kein Pasch auftritt: = {(1,2), (1,3), …, (1,6), (2,1), (2,3), …, (2,6),…, (6,5)}

• da A aus sechs Ereignissen besteht, umfasst das Komplement, also das Gegenteil wegen $\overline{A}$ = Ω\ A insgesamt #$\overline{A}$ = # Ω - # A = 36 – 6 = 30 Elementarereignisse.

Abb. 2.4: Komplement eines Ereignisses

Teilmenge

• eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element aus A auch in B enthalten ist, man schreibt A $\subseteq$ B

• so ist die Menge aller Paschs A enthalten in der Menge B der geraden Augensummen B = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), … , (6,6)} (eine Menge mit 18 Elementen), d.h. es ist A $\subseteq$ B

• wenn außerdem in B, der sogenannten Obermenge, mehr Elemente enthalten sind als in A, so spricht man von A als „echter Teilmenge“ von B

Abb. 2.5: Echte Teilmenge

Ergebnismenge

• dies bezeichnet die Menge aller Elementarereignisse, man schreibt Ω

• im vorliegenden Beispiel ist Ω = {(1,1), …, (1,6), (2,1), … (2,6), …, (6,1), …, (6,6)}, eine Menge mit # Ω = 36 Elementen

• Ω ist die Menge all jener Ereignisse, die tatsächlich eintreten können

• die Elemente von Ω sind die Elementarereignisse, Teilmengen von Ω heißen Ereignisse

Es gibt außerdem die Regeln nach de Morgan:

$\overline{A\cap B} = \overline {A} \cup \overline{B}$ sowie

$\overline{A\cup B} = \overline {A} \cap \overline{B}$

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