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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Ereignisse

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ereignisse

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Begriffe

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren viele unterschiedliche Begriffe in Zusammenhang mit dem Wort „Ereignis“. Diese sollen an dem folgenden Beispiel klargemacht werden.

Man werfe eine faire farbige Münze dreimal. Beschreibe die Begriffe:

  • Durchschnitt
  • Ausschluss von Ereignissen
  • Komplement
  • Teilmenge
  • Ergebnismenge
  • Elementarereignis
  • Ereignis
  • sicheres Ereignis
  • unmögliches Ereignis
  • disjunkte Ereignisse
  • Vereinigung von Mengen

Elementarereignis

Gib die Menge der Elementarereignisse beim dreifachen Münzwurf (R=rot , S=schwarz):

{(S,S,S), (S,S,R), Ω = (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}

Der erste Eintrag gibt das Ergebnis des ersten Wurfs an, der zweite jenes des zweiten Wurfs, usw.

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Ein Elementarereignis lässt sich nicht weiter in kleinere Ergebnisse zerlegen. Es gibt die kleinsten, sich gegenseitig ausschließenden Situationen an.

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 So sind (S,S,R), (S,R,R) und jedes andere der 8 Elemente von Ω ein Beispiel für Elementarereignis.

Einige der folgenden Begriffe werden wir auch durch ein sogenanntes Venn-Diagramm verdeutlichen, welches aus den Mengen A und B besteht:

Abb. 2.1: Venn-Diagramm
Abb. 2.1: Venn-Diagramm

Ergebnismenge

Merke

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Ergebnismenge (Ω) bezeichnet die Menge aller Elementarereignisse. Dabei ist Ω die Menge all jener Ereignisse, die tatsächlich eintreten können. Die Elemente von Ω sind die Elementarereignisse, Teilmengen von Ω heißen Ereignisse.

-

Hier klicken zum AusklappenIn diesem Beispiel ist Ω = {(S,S,S), …, (S,R,S), …, (R,S,R), …, (R,R,R)}, eine Menge mit # Ω = 8 Elementen

Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. (Ausnahme: das unmögliche Ereignis Ø) Das Ereignis, welches eintreten kann, ist aber keine Teilmenge der Menge der Elementarereignisse.

So ist z.B. A das Ereignis, dass beim dreifachen Münzwurf „nur eine Farbe“, also A= {(S,S,S), (R,R,R)}, geworfen wird. A besteht damit aus zwei Elementen, # A = 2.

 

sicheres Ereignis

Merke

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Unter einem sicheren Ereignis versteht man ein Ereignis, das auf jeden Fall eintritt. Also A = Ω.

Beispiel

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Es ist sicher, dass entweder Rot oder Schwarz geworfen wird.

 

unmögliches Ereignis

Merke

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Unter einem unmöglichen Ereignis versteht man ein Ereignis, das auf keinen Fall eintritt, d.h. A = Ø.

-

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Es ist nicht möglich, dass beim Münzwurf die Farben blau oder gelb geworfen werden.

 

Es existiet daher nicht das unmögliche Ereignis, sondern viele unmögliche Ereignisse.

 

disjunkte Ereignisse

Merke

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Unter disjunkten Ereignissen versteht man zwei Ereignisse, bei denen es unmöglich ist, dass sie gleichzeitig eintreten. $ A \cap B = Ø$.

Beispiel

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Es ist nicht möglich, dass bei einem Wurf sowohl schwarz, als auch rot geworfen wird.

 

Vereinigung von Ereignissen

Merke

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Man spricht von Vereinigung von Ereignissen, wenn eines der Ereignisse A oder B alleine eintritt oder eben beide gleichzeitig erfüllt sind.

Als Formel schreibt man: $ A \cup B$

das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ heißt nichts anderes als „oder“

Beispiel

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Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"

A= {(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}

Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln

B= {(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}

Dann ist

$A \cup B$ = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) $ \cup$ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S)

$= A \cup $ {(S,R,S),(R,S,R)}

Abb. 2.2: Vereinigung von Ereignissen
Abb. 2.2: Vereinigung von Ereignissen

Durchschnitt von Ereignissen

Merke

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Man spricht vom Durchschnitt zweier Ereignisse, wenn beide Ereignisse A und B gleichzeitig erfüllt sind.

Als Formel schreibt man: A $\cap$ B

das Geschnitten-Zeichen „$\cap$“ bedeutet also nichts anderes als „und“

Beispiel

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Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"

A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}

Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln

B={(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}

A $\cap$ B = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) $ \cap $ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S) = {(S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S)}

Abb. 2.3: Schnitt von Ereignissen
Abb. 2.3: Schnitt von Ereignissen

Ausschluss von Ereignissen

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Bei Ausschluss von Ereignissen spricht man, wenn ein Ereignis A ohne das Ereignis B statt finden soll. Dabei sind alle Elemente von A enthalten mit Ausnahme der Elemente, die auch in B sind

Man sagt dann „A ohne B" und als Formelzeichen : A \ B

Beispiel

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Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"

A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}

Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln

B={(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}

 

A \ B = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) \ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S) = {(S,S,S), (R,R,R)}

Alle Elementarereignis aus A, die auch in B enthalten sind, werden also aus A gestrichen.

Komplement

Merke

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Als Komplement eines Ereignisses werden jene bezeichnet, die das Gegenteil dessen Abbilden.

Beispiel

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Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"

A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}

Komplement von A, geschrieben $\overline{A}$, ist demnach der Rest aller Elementarereignisse auf die A nicht zutrifft.

$\overline{A}$ = {(S,R,S), (R,S,R)}

Weil A aus sechs Ereignissen besteht, besteht das Komplement wegen aus
$\overline{A} = Ω$\$ A $ insgesamt #$\overline{A}$ = # $Ω$ - # $A$ = $8 – 6 = 2$ Elementarereignisse.

Abb. 2.4: Komplement eines Ereignisses
Abb. 2.4: Komplement eines Ereignisses

Teilmenge

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Man bezeichnet eine Menge A als Teilmenge von B, wenn jedes Element aus der Menge A auch Teil von B ist. A $\subseteq$ B

Beispiel

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Eine Menge A " dreimal gleiche Farbe" ist also Teilmenge einer Menge B "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander" B= {(S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,S), (R,R,R)} $A \subseteq B$

Man spricht von einer "echten Teilmenge" A von B, wenn in der Obermenge B mehr Elemente enthalten sind, als in der Teilmenge A.

Abb. 2.5: Echte Teilmenge
Abb. 2.5: Echte Teilmenge

Hinweis

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Zudem gelten die Regeln nach de Morgan:

$\overline{A\cap B} = \overline {A} \cup \overline{B}$ sowie

$\overline{A\cup B} = \overline {A} \cap \overline{B}$

Videos zu Begriffen

Video: Ereignisse

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