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Video: Ereignisse
Begriffe
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren viele unterschiedliche Begriffe in Zusammenhang mit dem Wort „Ereignis“. Diese sollen an dem folgenden Beispiel klargemacht werden.
Beispiel
Wirf einen fairen Würfel zweimal. Erläutere die folgenden Begriffe:
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Ein Elementarereignis lässt sich nicht weiter in kleinere Ergebnisse zerlegen. So lautet hier die Menge der Elementarereignisse beim doppelten Würfelwurf
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
Ω = (2,1), (2,2), (2,6),
(6,1), (6,2), (6,6)}
Der erste Eintrag gibt das Ergebnis des ersten Wurfs an, der zweite jenes des zweiten Wurfs.
Wir werden manche der folgenden Begriffe auch bildlich klarmachen anhand eines sogenannten Venn-Diagramms, das aus den Mengen A und B besteht:
Elementarereignis
gibt die kleinsten, sich gegenseitig ausschließenden Situationen an. Ein Elementarereignis kann nicht mehr aufgeteilt werden in kleinere Ereignisse. Beispiele im obigen Fall 2.1 sind (1,3), (2,6) und jedes andere der 36 Elemente von Ω, also der Elementarereignisse.
Ereignis
eine Teilmenge von Ω und damit i.A. eine Vereinigung von Elementarereignissen (Ausnahme: das unmögliche Ereignis Ø – dieses ist ein Ereignis, das eintreten kann, ist aber keine Teilmenge der Menge der Elementarereignisse). So ist z.B. A das Ereignis, dass beim zweifachen Würfelwurf „Pasch“ fällt, d.h. A= {(1,1), (2,2), (3,3), … (6,6)}. A besteht damit aus sechs Elementen, d.h. # A = 6,
sicheres Ereignis
ein Ereignis, das auf jeden Fall eintritt, also A = Ω. Es ist z.B. sicher, dass eine Zahl zwischen 1 und 6 in jedem der Versuche gewürfelt wird
unmögliches Ereignis
ein Ereignis, das auf keinen Fall eintritt, d.h. A = Ø. So ist z.B. das Ereignis, dass im ersten Wurf eine 7 gewürfelt wird, unmöglich, genau wie eine 9 im zweiten Wurf etc.
es gibt also nicht das unmögliche Ereignis, sondern viele unmögliche Ereignisse
disjunkte Ereignisse
zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können, d.h. $ A \cap B = Ø$. So ist es z.B. nicht möglich, dass im ersten Wurf gleichzeitig eine 5 und eine 4 gewürfelt wird.
Vereinigung von Ereignissen
verbal: die Vereinigung bedeutet, dass
A allein eintritt oder
B allein eintritt oder
A und B beide eintreten
in Formeln: $ A \cup B$
anders ausgedrückt: mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein
das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ bedeutet also nichts anderes als „oder“
so ist z.B. A das Ereignis, dass die Augensumme kleiner oder gleich 5 ist: A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} und B das Ereignis, dass ein Pasch gewürfelt wird, also B = {(1,1), (2,2), (3,3) … (6,6)}. Dann ist $A \cup B = {(1,1), (1,2), … (4,1)} \cup {(1,1), (2,2), (3,3),… (6,6)} = A \cup {(3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}$
Durchschnitt von Ereignissen
verbal: beide Ereignisse müssen eintreten, d.h. dass
A eintritt und
B eintritt
in Formeln: A $\cap$ B
anders ausgedrückt: beide Ereignisse A und B treten ein
das Geschnitten-Zeichen „$\cap$“ bedeutet also nichts anderes als „und“
so muss im Beispiel 2.1 also die Augensumme kleiner oder gleich 5 sein (Ereignis A) und gleichzeitig müssen beide Zahlen gleich sein, d.h. ein Pasch tritt ein (Ereignis B). Dies passiert aber dann, wenn in beiden Würfen eine 1 oder in beiden eine 2 auftritt:
A $\cap$ B = {(1,1), (1,2), ... (4,1)} $\cap$ {(1,1), (2,2), (3,3), ... (6,6)} = {(1,1), (2,2)}.
Ausschluss von Ereignissen
sprich „A ohne B“
in Zeichen: A \ B
hierin sind alle Elemente von A enthalten mit Ausnahme jener Elemente, die auch in B sind
so ist z.B. im Beispiel 2.1 also A \ B die Menge aller Elementareignisse, deren Augensumme kleiner oder gleich 5 ist und die zusätzlich kein Pasch sind:
A\B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)}\{(1,1), (2,2), (3,3), ,6,6)} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} , denn in A sind die beiden Paschs (1,1), (2,2) enthalten, die natürlich auch in B sind und deswegen in A \ B nicht enthalten sein dürfen
Komplement
das Gegenteil eines Ereignisses
wenn A das Ereignis ist, ein Pasch zu würfeln, dann ist das Komplement von A, geschrieben $\overline{A}$ , der gesamte Rest, d.h. alle Elementarereignisse, in denen kein Pasch auftritt: = {(1,2), (1,3), …, (1,6), (2,1), (2,3), …, (2,6),…, (6,5)}
da A aus sechs Ereignissen besteht, umfasst das Komplement, also das Gegenteil wegen $\overline{A}$ = Ω\ A insgesamt #$\overline{A}$ = # Ω - # A = 36 – 6 = 30 Elementarereignisse.
Teilmenge
eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element aus A auch in B enthalten ist, man schreibt A $\subseteq$ B
so ist die Menge aller Paschs A enthalten in der Menge B der geraden Augensummen B = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), … , (6,6)} (eine Menge mit 18 Elementen), d.h. es ist A $\subseteq$ B
wenn außerdem in B, der sogenannten Obermenge, mehr Elemente enthalten sind als in A, so spricht man von A als „echter Teilmenge“ von B
Ergebnismenge
dies bezeichnet die Menge aller Elementarereignisse, man schreibt Ω
im vorliegenden Beispiel ist Ω = {(1,1), …, (1,6), (2,1), … (2,6), …, (6,1), …, (6,6)}, eine Menge mit # Ω = 36 Elementen
Ω ist die Menge all jener Ereignisse, die tatsächlich eintreten können
die Elemente von Ω sind die Elementarereignisse, Teilmengen von Ω heißen Ereignisse
Es gibt außerdem die Regeln nach de Morgan:
$\overline{A\cap B} = \overline {A} \cup \overline{B}$ sowie
$\overline{A\cup B} = \overline {A} \cap \overline{B}$
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