Inhaltsverzeichnis
Begriffe
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren viele unterschiedliche Begriffe in Zusammenhang mit dem Wort „Ereignis“. Diese sollen an dem folgenden Beispiel klargemacht werden.
Man werfe eine faire farbige Münze dreimal. Beschreibe die Begriffe:
- Durchschnitt
- Ausschluss von Ereignissen
- Komplement
- Teilmenge
- Ergebnismenge
- Elementarereignis
- Ereignis
- sicheres Ereignis
- unmögliches Ereignis
- disjunkte Ereignisse
- Vereinigung von Mengen
Elementarereignis
Gib die Menge der Elementarereignisse beim dreifachen Münzwurf (R=rot , S=schwarz):
{(S,S,S), (S,S,R), Ω = (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}
Der erste Eintrag gibt das Ergebnis des ersten Wurfs an, der zweite jenes des zweiten Wurfs, usw.
-
Ein Elementarereignis lässt sich nicht weiter in kleinere Ergebnisse zerlegen. Es gibt die kleinsten, sich gegenseitig ausschließenden Situationen an.
-
So sind (S,S,R), (S,R,R) und jedes andere der 8 Elemente von Ω ein Beispiel für Elementarereignis.
Einige der folgenden Begriffe werden wir auch durch ein sogenanntes Venn-Diagramm verdeutlichen, welches aus den Mengen A und B besteht:
Ergebnismenge
Merke
Ergebnismenge (Ω) bezeichnet die Menge aller Elementarereignisse. Dabei ist Ω die Menge all jener Ereignisse, die tatsächlich eintreten können. Die Elemente von Ω sind die Elementarereignisse, Teilmengen von Ω heißen Ereignisse.
-
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. (Ausnahme: das unmögliche Ereignis Ø) Das Ereignis, welches eintreten kann, ist aber keine Teilmenge der Menge der Elementarereignisse.
So ist z.B. A das Ereignis, dass beim dreifachen Münzwurf „nur eine Farbe“, also A= {(S,S,S), (R,R,R)}, geworfen wird. A besteht damit aus zwei Elementen, # A = 2.
sicheres Ereignis
Merke
Unter einem sicheren Ereignis versteht man ein Ereignis, das auf jeden Fall eintritt. Also A = Ω.
Beispiel
Es ist sicher, dass entweder Rot oder Schwarz geworfen wird.
unmögliches Ereignis
Merke
Unter einem unmöglichen Ereignis versteht man ein Ereignis, das auf keinen Fall eintritt, d.h. A = Ø.
-
Es ist nicht möglich, dass beim Münzwurf die Farben blau oder gelb geworfen werden.
Es existiet daher nicht das unmögliche Ereignis, sondern viele unmögliche Ereignisse.
disjunkte Ereignisse
Merke
Unter disjunkten Ereignissen versteht man zwei Ereignisse, bei denen es unmöglich ist, dass sie gleichzeitig eintreten. $ A \cap B = Ø$.
Beispiel
Es ist nicht möglich, dass bei einem Wurf sowohl schwarz, als auch rot geworfen wird.
Vereinigung von Ereignissen
Merke
Man spricht von Vereinigung von Ereignissen, wenn eines der Ereignisse A oder B alleine eintritt oder eben beide gleichzeitig erfüllt sind.
Als Formel schreibt man: $ A \cup B$
das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ heißt nichts anderes als „oder“
Beispiel
Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"
A= {(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}
Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln
B= {(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}
Dann ist
$A \cup B$ = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) $ \cup$ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S)
$= A \cup $ {(S,R,S),(R,S,R)}
Durchschnitt von Ereignissen
Merke
Man spricht vom Durchschnitt zweier Ereignisse, wenn beide Ereignisse A und B gleichzeitig erfüllt sind.
Als Formel schreibt man: A $\cap$ B
das Geschnitten-Zeichen „$\cap$“ bedeutet also nichts anderes als „und“
Beispiel
Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"
A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}
Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln
B={(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}
A $\cap$ B = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) $ \cap $ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S) = {(S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S)}
Ausschluss von Ereignissen
Merke
Bei Ausschluss von Ereignissen spricht man, wenn ein Ereignis A ohne das Ereignis B statt finden soll. Dabei sind alle Elemente von A enthalten mit Ausnahme der Elemente, die auch in B sind
Man sagt dann „A ohne B" und als Formelzeichen : A \ B
Beispiel
Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"
A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}
Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechseln
B={(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}
A \ B = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) \ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S) = {(S,S,S), (R,R,R)}
Alle Elementarereignis aus A, die auch in B enthalten sind, werden also aus A gestrichen.
Komplement
Merke
Als Komplement eines Ereignisses werden jene bezeichnet, die das Gegenteil dessen Abbilden.
Beispiel
Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"
A={(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}
Komplement von A, geschrieben $\overline{A}$, ist demnach der Rest aller Elementarereignisse auf die A nicht zutrifft.
$\overline{A}$ = {(S,R,S), (R,S,R)}
Weil A aus sechs Ereignissen besteht, besteht das Komplement wegen aus
$\overline{A} = Ω \ A $ insgesamt $\overline{A} = Ω - A = 8 – 6 = 2$ Elementarereignisse.
Teilmenge
Merke
Man bezeichnet eine Menge A als Teilmenge von B, wenn jedes Element aus der Menge A auch Teil von B ist. A $\subseteq$ B
Beispiel
Eine Menge A " dreimal gleiche Farbe" ist also Teilmenge einer Menge B "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander" B= {(S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,S), (R,R,R)} $A \subseteq B$
Man spricht von einer "echten Teilmenge" A von B, wenn in der Obermenge B mehr Elemente enthalten sind, als in der Teilmenge A.
Hinweis
Zudem gelten die Regeln nach de Morgan:
$\overline{A\cap B} = \overline {A} \cup \overline{B}$ sowie
$\overline{A\cup B} = \overline {A} \cap \overline{B}$
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