ZU DEN KURSEN!

Stichprobentheorie - Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

Kursangebot | Stichprobentheorie | Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

Stichprobentheorie

Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

Inhaltsverzeichnis

Analog zum Differenzenschätzer kann beim Quotientenschätzer berücksichtigt werden, dass die Sekundärinformation als Approximation für Y gelten kann.

Der Grundbaustein unserer weiteren Betrachtungen ist dabei, dass X proportional zu Y ist, d.h. $RX_i\text{\~{}}Y_i.$

Die Größe R (engl. = ratio) ist der Proportionalitätsfaktor, welche von folgender Form ist:
$R=\frac{\sum _{i=1}^NY_i}{\sum _{i=1}^NX_i}=\frac{\overline Y}{\overline X}.$

Es ist darauf zu achten, dass der Wert $\overline Y$ unbekannt ist und durch eine Stichprobe geschätzt werden soll. Hingegen ist der Mittelwert der Sekundärinformation $\overline X$ bekannt. Nun wird eine einfache Stichprobe vom Umfang n gezogen. Es ergeben sich also die Werte $y_1,y_{2,}...,y_n$ mit den zugehörigen Sekundärinformationen $x_1,x_{2,}...,x_n.$ Anhand dieser Informationen kann ein Schätzer für den Quotienten R bestimmt werden. Dieser lautet
$\hat R=r=\frac{\sum _{i=1}^Ny_i}{\sum _{i=1}^Nx_i}=\frac{\overline y}{\overline x}.$

Da $\overline Y=\overline XR$, lautet der Quotientenschätzer: $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\overline X\hat R.$

Beispiel 1

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Anhand des obigen Beispiels zur Differenzenschätzung werden einige Quotientenschätzer berechnet. Der Mittelwert der ersten Stichprobe der Primärelemente kann berechnet werden zu $\frac 1 3(X_1+X_2+X_3)=\frac 1 3(11+11+11)=11$ und der der Sekundärelemente analog zu $\frac 1 3(Y_1+Y_2+Y_3)=\frac 1 3(9+10+11)=10.$

Es ist klar, dass $\overline X=15.$ Alle übrigen Mittelwerte werden nach diesem Verfahren ermittelt zu:

Stichprobe

Gezogene Werte bezogen auf die Indizes

$\overline y$$\overline x$$\frac{\overline y}{\overline x}$$\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\overline X\hat R$ = 15*$\hat R$

1

1 3 2

10

11

0,91

13,64 (=15*0,91)

2

1 4 2

12,33

14,33

0,86

12,91 (=15*0,86)

3

1 5 2

13,67

14,33

0,95

14,3

4

1 4 3

12,67

14,33

0,88

13,26

5

1 5 3

14

14,33

0,98

14,65

6

1 5 4

16,33

17,67

0,92

13,87

7

2 4 3

13

14,33

0,91

13,6

8

2 5 3

14,33

14,33

1

15

9

2 5 4

16,67

17,67

0,94

14,15

10

3 5 4

17

17,67

0,96

14,43

Ein Vergleich zwischen Differenzenschätzer $\hat{\overline Y}_D$ und Quotientenschätzer $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}$ macht deutlich, dass die jeweiligen Ergebnisse einander ähneln. Eine grafische Darstellung wird dies besonders zum Ausdruck bringen. Hier geht es vor allem um die graphische Darstellung der Varianzreduktion beim Quotientenschätzer.

 

Abb. 12: Vergleich zwischen Differenzenschätzer und Quotientenschätzer
Abb. 12: Vergleich zwischen Differenzenschätzer und Quotientenschätzer

Beispiel 2

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Es kommt vor, dass in manchen Bereichen des alltäglichen Lebens nur der Quotient

$\frac{\overline Y}{\overline X}$

wichtig ist.
Bezeichne zum Beispiel die Variable X den Umsatz einer Firma in einem bestimmten Jahr. Die Variable Y beziehe sich auf den Umsatz im Folgejahr. Dann wird mit R das Gesamtwachstum bzw. die Schrumpfung dargestellt.

Es besteht die Möglichkeit, R zu schätzen. Dies gelingt durch $\hat R=\frac{\overline y}{\overline x}.$

Zusammenfassend halten wir fest:

Quotientenschätzer

  1. Es liege eine einfache Zufallsstichprobe vor mit den Sekundärinformationen $x_1,...,x_n$ und den Primärinformationen $y_1,...,y_n.$

  2. Des Weiteren bestehe zwischen den Größen die Proportionalitätsbedingung:

Y = RX.

  • Dann ist ein approximativ erwartungstreuer Schätzer für $\overline Y$ gegeben durch den Quotientenschätzer
    $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\frac{\overline y}{\overline x}\overline X.$

  • Die Varianz von $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}$ kann geschätzt werden durch:
    $\hat{\mathit{VAR}(\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}})}=\frac{N-n} N\frac 1{n(n-1)}\sum _{i=1}^n\left(y_i-\frac{\overline y}{\overline x}x_i\right)^2.$

Liegen nun kleine Stichproben vor, empfiehlt es sich, die Varianzschätzung mit $\frac{\overline X}{\overline x}$ zu korrigieren bzw. diese mit diesem Ausdruck zu erweitern.