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Stichprobentheorie - Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

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Stichprobentheorie

Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

Inhaltsverzeichnis

Gleich wie beim Differenzschätzer kann die Sekundärinformation als Approximation für Y auch für den Quotientenschätzer genutzt werden.

Als grundlegende Basis dient das Wissen darüber, dass X proportional zu Y ist, d.h. $RX_i\text{\~{}}Y_i.$

Der Proportionalitätsfaktor entspricht der Größe R (engl. ratio), welche wie folgt lautet: $R=\frac{\sum _{i=1}^NY_i}{\sum _{i=1}^NX_i}=\frac{\overline Y}{\overline X}.$

Es sei darauf hingewiesen, dass der Wert $\overline Y$ zu schätze ist, da er nicht bekannt ist. Der Mittelwert der Sekundärinformation $\overline X$ ist jedoch bekannt. Folglich kommt es zu einer Ziehung der Stichprobe vom Umfang n. Daraus resultieren die Werte $y_1,y_{2,}…,y_n$ mit den dazugehörigen Sekundärinformationen $x_1,x_{2,}…,x_n.$
Mit Hilfe dieser Informationen ist es möglich, einen Schätzer für den Quotienten R festzulegen, welcher folgender ist: $\hat R=r=\frac{\sum _{i=1}^Ny_i}{\sum _{i=1}^Nx_i}=\frac{\overline y}{\overline x}.$


Der Quotientenschätzer lautet dann: $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\overline X\hat R,$ weil $\overline Y=\overline XR.$

 

Beispiel

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Nun sollen im Folgenden einige Quotientenschätzer, anlehnend an das obere Beispiel zur Differenzenschätzung, ermittelt werden.

Zunächst einmal kann der Mittelwert der ersten Stichprobe der Primärelemente zu $\frac 1 3(X_1+X_2+X_3)=\frac 1 3(11+11+11)=11$  berechnet werden und die der Sekundärelemente entsprechend zu $\frac 1 3(Y_1+Y_2+Y_3)=\frac 1 3(9+10+11)=10.$

Deutlich wird, dass $\overline X=15.$
Auch die restlichen Mittelwerte können gemäß des Verfahrens berechnet werden:

Stichprobe

Ermittelte Werte im Bezug auf die Indizes

$\overline y$$\overline x$$\frac{\overline y}{\overline x}$$\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\overline X\hat R$ = 15*$\hat R$

1

1 3 2

10

11

0,91

13,64 (=15*0,91)

2

1 4 2

12,33

14,33

0,86

12,91 (=15*0,86)

3

1 5 2

13,67

14,33

0,95

14,3

4

1 4 3

12,67

14,33

0,88

13,26

5

1 5 3

14

14,33

0,98

14,65

6

1 5 4

16,33

17,67

0,92

13,87

7

2 4 3

13

14,33

0,91

13,6

8

2 5 3

14,33

14,33

1

15

9

2 5 4

16,67

17,67

0,94

14,15

10

3 5 4

17

17,67

0,96

14,43

Bei der Gegenüberstellung des Differenzenschätzers $\hat{\overline Y}_D$ und Quotientenschätzers $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}$ wird ersichtlich, dass eine Ähnlichkeit beider Ergebnisse besteht. Die visuelle Darstellungsweise macht dies besonders deutlich. Dabei geht es primär um die Abbildung der Varianzreduktion beim Quotientenschätzer.

Abb. 12: Vergleich zwischen Differenzenschätzer und Quotientenschätzer
Abb. 12: Vergleich zwischen Differenzenschätzer und Quotientenschätzer

Beispiel 2

Beispiel

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Es stellt sich heraus, dass in einigen Bereiche des alltäglichen Lebens nur der Quotient $\frac{\overline Y}{\overline X}$ von Bedeutung ist.
Beispielsweise bezeichnet die Variable X den Umsatz eines Einzelhandels im Jahr XXXX. Der Umsatz im Folgejahr wird mit der Variable Y beschrieben. Das Gesamtwachstum bzw. die Schrumpfung wird dann mit R verdeutlicht.

Folglich kann R geschätzt werden durch: $\hat R=\frac{\overline y}{\overline x}.$

Allumfassend kann festgehalten werden:

Quotientenschätzer

  1. Gegeben ist eine einfache Zufallsstichprobe samt den Primärinformationen $y_1,...,y_n$ und Sekundärinformationen $x_1,...,x_n$

  2. Zwischen den Größen ist die Proportionalitätsbedingung zu entnehmen: Y = RX.

  • Der Quotientenschätzer
    $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}=\frac{\overline y}{\overline x}\overline X.$ erweist sich als approximativ erwartungstreuer Schätzer für $\overline Y$ 

  • Mit Hilfe von:
    $\hat{\mathit{VAR}(\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}})}=\frac{N-n} N\frac 1{n(n-1)}\sum _{i=1}^n\left(y_i-\frac{\overline y}{\overline x}x_i\right)^2$ kann die Varianz von $\hat{\overline Y}_{\mathit{QS}}$ geschätzt werden.

Im Falle dessen, dass nur kleine Stichproben vorliegen, empfiehlt sich eine Korrektur bzw. eine Erweitung der Varianzschätzung durch $\frac{\overline X}{\overline x}.$