wiwiweb
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Stichprobentheorie
Den Kurs kaufen für:
einmalig 49,00 €
Zur Kasse

Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Beachte

Merke

Sowohl beim Differenzenschätzer als auch beim Quotientenschätzer wurde ausgenutzt, dass die Sekundärinformation zur Annäherung der Primärinformation dienen kann.

Zur Erinnerung wird erwähnt dass beim Quotientenschätzer dies bedeutet, dass die Größen X und Y annährend proportional zueinander sind.

Beachte

Merke

Nun kommt es zur Verallgemeinerung. Das heißt, dass nun die Sekundärinformation X auf die uns interessierende Primärinformation Y einen Einfluß hat. Der Einfluß wird mittels einer Regression formuliert. Dies bedeutet konkret, dass angenommen wird, dass A + BX als Approximation für Y dienen kann.

Dies wird nun an einem Beispiel verdeutlicht.

Beispiel

Beispiel

Aufgrund der Einführung eines neuen Produkts plant ein Unternehmen eine Marktanalyse durchzuführen. Der Grund für diese Vorgehensweise ist der, dass Hinweise darauf deuten, dass das Produkt von verschiedenen Altersgruppen unterschiedlich stark akzeptiert (gekauft) wird. Auch wird begründet davon Ausgegangen, dass das Produkt von Männern anders angesehen wird als von Frauen. Anhand von, im Unternehmen geführten, Statistiken liegen Sekundärinformationen über die Population vor. So ist die Altersverteilung pro Geschlecht bekannt. Nun beginnt das Unternehmen seine Umfrage, indem es zufällig Individuen aus der Population auswählt mittels einer einfachen ZufallsStichprobe und die Individuen nach der Akzeptanz des Produkts fragt. Ist es nun so, dass die Alters- oder Geschlechtsstruktur in der Stichprobe zufällig anders als in der Population ist, so kann und sollte das Stichprobenergebnis diesbezüglich korrigiert werden. Es könnte zum Beispiel der Fall eintreten, dass in der Stichprobe der Frauenanteil geringer ist als der in der Bevölkerung oder Frauen dem Produkt mehr abgeneigt sind als Männer. Dann muss natürlich das Stichprobenergebnis (die Stichprobe) korrigiert werden.

Aus Gründen der Einfachheit wird davon ausgegangen, dass eine eindimensionale Sekundärinformation X vorliegt. Dies war beim Quotientenschätzer und Differenzenschätzer auch der Fall.

Konkret ergeben sich folgende Gesetzmäßigkeiten

Regressionsschätzer

Es sei eine einfache Zufallsstichprobe mit den Sekundärinformationen $x_1,...,x_n.$ und den Primärinformationen $y_1,...,y_n.$ gegeben.

Der Mittelwert $\overline X$ des Sekundärmekmals in der Grundgesamtheit sei bekannt.

Dann ist der Regressionsschätzer für den Mittelwert gegeben durch:

$\hat{\overline Y}_{\mathit{REG}}=\overline y+\hat B(\overline X-\overline x),$
wobei

$\hat B=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)}{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}=\frac{S_{\mathit{XY}}}{S_X^2}.$

Für die Schätzung der Varianz von $\hat{\overline Y}_{\mathit{REG}}$ gilt:

$\hat{\mathit{VAR}\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{REG}}\right)}=\frac{N-n} N\frac 1{n(n-2)}\sum _{i=1}^n\left[(y_i-\overline y)-\hat B(x_i-\overline x)\right]^2.$

Auch hier vertiefen wir die Theorie mittels eines Beispiels.

Beispiel

Beispiel

In einer Schule möchte der Lehrer die Schüler der 13 -ten Klasse über das Fach Statistik informieren. Er stellt ein konkretes Themengebiet vor. Das Interesse für die Theorie ist gering. Sofort im Anschluß möchte er den Schülern anhand eines Beispiels die Möglichkeiten dieser Theorie vor Augen führen. Zunächst fragt der Lehrer, ob er die Schüler nach ihrem Geld, welches sie dabei haben fragen darf. Alle Schüler beantworten diese Frage mit „Ja“. Nun kann der Versuch beginnen. Das Ziel ist es zu erfahren, wieviel Geld ein Schüler im Mittel bei sich hat. Erst werden, die leicht zu erfahrenden Sekundärinformationen beschafft. Dies geschieht dadurch, dass die Schüler zuerst schätzen sollen, wieviel Geld sie in ihrer Geldbörse haben. Natürlich darf keiner der Schüler vorher nachschauen, wieviel Geld er bei sich hat. Die so erhaltenen Daten werden mit $X_i$ notiert.

Der Versuch ergibt folgende Werte:

$X_i$

$\overline X=\frac 1{13}\sum _{i=1}^{13}X_i$

25

28,15

35

28,15

15

28,15

21

28,15

45

28,15

10

28,15

19

28,15

5

28,15

4

28,15

3

28,15

60

28,15

58

28,15

66

28,15

Jetzt wird jedem Schüler eine Nummer von eins bis dreizehn gegeben. Dadurch wird eine Populationsliste erzeugt. Aus dieser Liste werden zehn Elemente (Schüler) gezogen. Diese zehn Schüler geben dann exakt das je in ihrer Geldbörse vorhandene Geld $y_i$ an, indem sie es vorher zählen. Somit ergibt sich zusätzlich zu der Sekundärinformation $x_i=1,...,10$ die Primärinformation $y_i,i=1,...,10.$

$x_i$

$y_i$

$\overline x$

$\overline y$

25

10,48

25,10

36,36

35

50,54

25,1

36,36

15

30,12

25,1

36,36

21

25,1

25,1

36,36

58

58,55

25,1

36,36

66

70

25,1

36,36

19

60,23

25,1

36,36

5

20,54

25,1

36,36

4

28

25,1

36,36

3

10

25,1

36,36

Nun werden wir den Regressionschätzer berechnen.

Es ist $S_x^2=\frac 1{10-1}\sum _{i=1}^{10}(x_i-\overline x)^2=\frac 1 9\left((25-25,1)^2+(35-25,1)^2+...+(3-25,1)^2\right)=482,99$

und $S_{\mathit{xy}}=\frac 1 9\sum _{i=1}^{10}\left((x_i-\overline x)(y_i-\overline y)\right)=\frac 1 9\left((25-25,1)(50,54-36,36)+...+(3-25,1)(10-36,36)\right)=365,49.$

Also ist $\hat B=\frac{S_{\mathit{XY}}}{S_X^2}=\frac{365,49}{482,99}=0,757.$

Nun sind wir in der Lage den Regressionsschätzer zu bestimmen:

$\hat{\overline Y}_{\mathit{REG}}=\overline y+\hat B(\overline X-\overline x)=36,36+0,7517(28,15-25,1)=38,67.$

Multiple-Choice

Eine KQ-Gerade sei gegeben durch y = a + b*x. Welche Aufgabe kommt dem Buchstaben „a“ zu? Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Regressionsrechnung (Regressionsschätzer) ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses StichprobentheorieStichprobentheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stichprobentheorie

wiwiweb - Interaktive Online-Kurse (wiwiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
  • Hochrechnung
    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
    • Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie
  • 40
  • 24
  • 144
  • 21
einmalig 49,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 28.12.2015:
    "sehr gut erklärt und vorgelesen "

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 04.07.2015:
    "super kurs"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen