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Geschichtete Stichproben

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 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Geschichtete Stichproben

Es wird zunächst die allgemeine Theorie der Schichtung eingeführt. Es kommt oft vor, dass die Grundgesamtheit vollkommen natürlich in Teilmengen zerfällt. Statt des Wortes Teilmengen ist es besser den Begriff Schichten zu wählen. Der Begriff meint dann dasselbe.

Die Grundgesamtheit zerfällt bei dieser Wortwahl in Schichten.

Hier sind einige Beispiele dazu: Städte zerfallen in Stadtbezirke, Angesellte in einem Unternehmen in verschiedene Abteilungen, Staaten in Bundesländer.

Wird nun in den einzelnen Schichten jeweils getrennt zufällig eine Stichprobe gezogen und erst am Schluß die Daten zur Auswertung zusammengeführt, so liegt eine geschichtete Stichprobe vor.

Ein Beispiel wird für Klarheit sorgen.

Beispiel: Geschichtete Stichprobe

Beispiel

Eine Untersuchung soll über den durchschnittlichen Quadratmeterpreis von Flächen auf dem Land aufklären. Selbstverständlich könnte eine einfache Stichprobe gezogen werden. Aufgrund der Tatsache, dass bekannt ist, dass die Fruchtbarkeit der Flächen sehr stark von der örtlichen Lage abhängt, ist es empfehlenswert die Ziehung auf Ebene der Fruchtbarkeit der Fläche durchzuführen. Die Flächen auf dem Land können in drei Regionen untergliedert werden.

  1. Sehr gut fruchtbare Fläche

  2. Gut fruchtbare Fläche

  3. Mittelmäßig fruchtbare Fläche

Wird nun aus allen drei Bereichen eine Stichprobe gezogen, so ist man in der Lage den Quadratmeterpreis in den einzelnen Regionen genaueer zu bestimmen. Zudem gelingt es durch diese Vorgehensweise das Gesamtmittel des Quadratmeter-Mietpreises effizienter zu schätzen. Damit ist vor allem gemeint, dass die Varianz geringer ausfallen wird.

Das letzte Beispiel zur Verhältnisschätzung ist nun so, dass die Information zur Aufteilung der Fläche in drei

Regionen als Sekundärinformation angesehen werden kann. Diese wird als Schichtungsmerkmal bezeichnet. Es besteht die Möglichkeit, dass andere Schichtungsmerkmale eingeführt werden.

Im obigen Beispiel könnte auch die Anbindung an das Verkehrsnetz als Schichtungsmerkmal fungieren.

Für die Auswertung der geschichteten Stichprobe ist es nötig, die Schichtzugehörigkeit und den Umfang der Schichten in der Grundgesamtheit zu kennen.

Die geschichtete Stichprobe wird bei Untersuchungen am Häufigsten verwendet.

Gründe für die Anwendung von geschichteten Stichproben

Dies hat vor allem folgende drei Gründe:

  1. Es ist möglich eine getrennte Auswertung der Daten innerhalb der Schichten durchzuführen. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe kann es dazu kommen, dass einzelne Schichten nur sehr wenige Elemente in der Stichprobe haben. Die geschichtete Stichprobe sorgt dafür, dass für jede Schicht der Stichprobenumfang einzeln festgelegt wird.

  2. Bei Berücksichtigung bestimmter Bedingungen besteht die Möglichkeit beim Gesamtmittelwert einen deutlichen Effiziensgewinn zu erzielen. Dies heißt vor allem, dass die Varianz des entsprechenden Schätzers kleiner wird.

  3. Werden die Stichprobenumfänge innerhalb der Schichten proportional zu den Schichtgrößen in der Grundgesamtheit gewählt, so entspricht die Stichprobe eher dem Ideal, nämlich Repräsentativität bezüglich des Schichtmerkmals.
    Der erste Teil dieses Satzes meint, dass die Größe der jeweiligen Stichprobe desto größer gewählt werden sollte je grösser die Schicht. Mit Repräsentativität ist gemeint, dass die Stichprobe ein nahezu perfektes Abbild der Grundgesamtheit sein soll.
    Es läge eine Wahl von zehn Schichten vor, welche durch die Altersgruppen und das Geschlecht definiert sind. Werden dann aus jeder Schicht entsprechend den Anteilen an der Gesamtbevölkerung Stichproben gezogen, so stimmt die Alters-und Geschlechtsverteilung in der geschichteten Stichprobe mit der aus der Population überein.

Der zuletzt genannte Grund gilt nur für die geschichtete Stichprobe mit proportionaler Aufteilung.

Häufig ist es so, dass eine andere Aufteilung gewählt werden muss als die obige. Nichtsdestotrotz besteht hier auch die Möglichkeit auf die Grundgesamtheit zu schließen.

Als Beispiel seien Wahlen erwähnt. Das Wahlverhalten in den alten Bundesländern ist nahezu stabil. Das heißt, dass auch mit einer kleinen Stichprobe ein relativ genaues Ergebnis erzielt werden kann. Dies vor allem deswegen, weil man Vorwissen bezüglich vorheriger Wahlen hat. In den neuen Bundesländern wird dies so nicht möglich sein, da das Vorwissen noch nicht umfangreich genug ist. Hier wird man eine größere Stichprobe wählen, um eine zufriedenstellende Aussage zu erhalten. Hier liegt nun eine ungleiche Gewichtung vor, welche entsprechend berücksichtigt (korrigiert) werden sollte. Dies wird weiter unten erklärt.

 Weitere Beispiele

Beispiel

Beispiel 1

Mittels einer statistischen Untersuchung soll Klarheit über den durchschnittlichen Wohnraum einer Familie in einer Stadt, geschaffen werden. Deswegen werden 100 Familien zufällig ausgewählt und befragt. Wäre die Stichprobe einfach, so würde jede Familie mit der gleich großen Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe gelangen. Nun ist es so, dass Sekundärinformationen vorliegen. Es ist äußerst empfehlenswert diese zu nutzen Ausschlaggebend für die Größe des Wohnraums ist das Einkommen des Familienvorstandes. Das Einkommen kann aber auch in Form von Schichten berücksichtigt werden. In reichen Gegenden werden Wohnungen größer sein als in Arbeitergegenden. Somit hätten sich sofort zwei Schichten ergeben. Die Grundidee ist nun nicht die, dass eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird. Vielmehr ist es so, dass sowohl Haushalte in gut situierten Gegenden als auch in Arbeitergegenden berücksichtigt werden. Hier ist das Hauptziel die Varianz des Schätzers so gering wie möglich zu halten. Eine repräsentative Stichprobe ist nun nicht Hauptziel.

Beispiel

Beispiel 2

Eine Bibliothek möchte in Erfahrung bringen, wie oft und in welchem Maße Studierende die Lesetische und Studienräume der Bibliothek nutzen. Deswegen wird eine Stichprobe gezogen. Vor Ziehung der Stichprobe liegen Skundärinformationen vor.

Studierende in niedrigen Semestern

Studierende in hohen Semestern

  • sind nur ab und zu in der Bibliothek zu finden

  • sehr oft in der Bibliothek. Ein Grund ist zum Beispiel: anstehende abschließende Prüfungen

Zur Verdeutlichung seien die Nachteile einer einfachen Zufallsstichprobe erwähnt:

  • Bei Wahl einer einfachen Stichprobe kann es dazu kommen, dass zufällig nur Studenten

    in höheren Semestern ausgewählt werden oder umgekehrt.

  • Daraus folgt sofort, dass die Benutzung der Bibliothek falsch eingeschätzt wird.

    Im ersten Fall könnte es zu einer Überschätzung der Benutzung der Bibliothek kommen.

    Im zweiten Fall könnte eine Unterschätzung eintreten.

Dank der geschichteten Stichprobe besteht die Möglichkeit obigen Fehlerquellen entgegenzuwirken und sie ganz zu vermeiden.

Beispiel

Beispiel 3

In einem Land in dem verschiedene Bevölkerungsgruppen leben soll die Akzeptanz eines Produkts getestet werden. Aufgrund des Absatzes in bestimmten Regionen weiß man, dass das Produkt von einigen Bevölkerungsgruppen abgelehnt wird. Hier empfiehlt es sich die Bevölkerung aufzuteilen in Schichten. Das heißt (z.B. Italiener, Spanier u.s.w.)

Die Nützlichkeit der geschichteten Stichprobe wird nun an einem Beispiel (Beispiel 4) diskutiert.

Nützlichkeit

Beispiel

Beispiel 4

Es sei eine Grundgesamtheit von insgesamt fünf Elementen gegeben. Konkret seien folgende Werte ermittelt worden. $Y_1 = 9$, $Y_2 = 10$, $Y_3 = 11$, $Y_4 = 18$, $Y_5 = 22$.
Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist gegeben durch: $\overline Y=\frac 1 5(9+10+11+18+22)=14.$
Aus der Population wird je eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 3 gezogen. Die Definition der einfachen Zufallsstichprobe ist, dass jede mögliche Stichprobe mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt. Dann ergeben sich folgende mögliche Stichproben:

$Y_{i\text =}$

$Y_{i\text =}$

$Y_{i\text =}$

Mittelwert der Stichprobe $\overline y_i\text =$

Wahrscheinlichkeit

1

2

3

10

0,1

1

2

4

12,33

0,1

1

2

5

13,67

0,1

1

3

4

12,67

0,1

1

3

5

14

0,1

1

4

5

16,33

0,1

2

3

4

13

0,1

2

3

5

14,33

0,1

2

4

5

16,67

0,1

3

4

5

17

0,1

Der Mittelwert der ersten Stichprobe ergibt sich zu: $\frac 1 3(Y_1+Y_2+Y_3)=\frac 1 3(9+10+11)=10.$ Alle übrigen werden analog berechnet. Für die Verteilung von $\overline y$ ergeben sich folgende Werte:

$\overline y_i$

10

12,33

12,67

13

13,67

14

14,33

16,33

16,67

17

$P(\overline y)$

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

Für den Erwartungswert von $\overline y$ erhält man
$E(\overline y)=\frac 1{10}(10+12,33+12,67+13+13,67+14+14,33+16,33+16,67+17)=14.$ 
Entsprechend bekommt man für die Varianz
$\mathit{VAR}(\overline y)=\frac 1{10}\sum _{i=1}^{10}(\overline y_i-14)^2=\frac 1{10}\left((10-14)^2+(12,33-14)^2+...+(17-14)^2\right)=4,33.$

Nun stellt sich die Frage, ob durch geschickte Wahl von n = 3 Ziehungen die Varianz verkleinert werden kann. Dazu wird angenommen, dass die Sekundärinformation die ist, dass die Population in zwei Gruppen (Schichten) vorliegt. Die erste Gruppe bestehe aus den Werten $Y_1$, $Y_2$ und $Y_3$. Die zweite entsprechend aus $Y_4$ und $Y_5$.
Diese Aufteilung hat den Vorteil, dass in jeder Gruppe die Werte $Y_i$ sich nahe kommen. An dieser Stelle kann dann gesagt werden, dass das Niveau von $Y_i$ deutlich von der Gruppe abhängt. Die Zerlegung der Population in Gruppen stellt eine Schichtung dar. Die Gruppen werden von nun an mit dem Wort Schicht bezeichnet. Aus jeder Schicht wird nun eine einfache Zufallsstichprobe gezogen. Diese Vorgehensweise wird als geschichtete Stichprobe notiert. Entsprechend der Werte von $Y_i$ ist folgende Unterteilung in Schichten sehr sinnvoll:

Schicht 1

$Y_1=9$ $Y_2=10$ $Y_3=11$

Schicht 2

$Y_4=18$ $Y_5=22$

Annährend entsprechend der Menge der vorkommenden Werte in den jeweiligen Schichten werden aus der ersten Schicht zwei Elemente und aus der zweiten Schicht wird ein Element gezogen. Es ergeben sich insgesamt folgende Möglichkeiten für die jeweiligen Ziehungen

Schicht 1 Schicht 2

Gezogene Indizes

Gezogene Indizes

Mittelwert der Stichprobe

Gezogene Indizes

Mittelwert der Stichprobe

1

2

(9+10)/2=9,5

4

18

1

3

10

5

22

2

3

10,5

Das Hauptanliegen ist, dass die jeweiligen Mittelwerte optimal (realitätsnah) miteinander, zu einem Schätzer, kombiniert werden. Dieser Schätzer soll das Populationsmittel $\overline Y$ schätzen.
Um zu unserem Ziel zu gelangen ist es nötig die Auswahlwahrscheinlichkeiten der einzelnen Individuen zu berechnen.

Es ist zunächst nötig mit einigen Vorbereitungen, bezüglich der Notation, zu beginnen.

Geschichtete Stichproben

Die Grundgesamtheit wird in M paarweise disjunkte Gruppen zerlegt

Dadurch wird eine Unterteilung in Schichten realisiert. Jede Schicht enthalte $N_h$ Elemente.

Aus der entsprechenden Schicht werden $n_h$ Elemente durch eine einfache Zufallsstichprobe gezogen.

Notationen

In der Grundgesamtheit gelten folgende Notationen:

Größe

Bedeutung

$N_h,h=1,...,M$

Populationsumfang in der h-ten Schicht

$N=\sum _{h=1}^MN_h$

Gesamt-Populationsumfang

$Y_{hi},i=1,...,N_h$

Variable oder Merkmal des i-ten Individuums in der h-ten Schicht

$\overline Y_h=\frac 1{N_h}\sum _{i=1}^{N_h}Y_{\mathit{hi}}$

Mittelwert der Variablen in der h-ten Schicht

$\pi _{\mathit{hi}}=\frac{n_h}{N_h}$

Auswahlwahrscheinlichkeit für das i-te Individuum in der h-ten Schicht

$S_h^2=\frac{\sum _{i=1}^{N_h}(Y_{hi}-\overline Y_h)^2}{N_h}$

Varianz in der h-ten Schicht

In der Stichprobe gilt:

Größe

Bedeutung

$n_h,h=1,...,M$

Stichprobenumfang in der h-ten Schicht

$n=\sum _{h=1}^Mn_h$

Gesamt-Stichprobenumfang

$y_{hk},k=1,...,n_h$

Variable oder Merkmal des k-ten Individuums in der h-ten Schicht

$\overline y_h=\frac 1{n_h}\sum _{k=1}^{n_h}y_{hk}$

Mittelwert der Variablen in der h-ten Schicht

$\pi _{hk}=\frac{n_h}{N_h}$

Auswahlwahrscheinlichkeit für das k-te gezogene Individuum in der h-ten Schicht

$s_h^2=\frac{\sum _{k=1}^{n_h}(y_{hk}-\overline y_h)^2}{n_h-1}$

Varianz in der h-ten Schicht

Zur Verdeutlichung sei erwähnt. Es liege eine Unterteilung der Grundgesamthgeit in M paarweise disjunkte Schichten vor.

Merke

Merke

Bei einer geschichteten Stichprobe werden M einfache Zufallsstichproben gezogen. Jede dieser Zufallsstichproben stammt aus genau je einer der vorliegenden Schichten.

Dann wird sofort ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Individuums aus der h-ten Schicht die Größe $\frac{n_h}{N_h}$ hat. Dementsprechend ergibt sich für für die Auswahlwahrscheinlichkeit des i-ten Individuums aus der h-ten Schicht diese Wahrscheinlichkeit zu: $\pi _{\mathit{hi}}=\frac{n_h}{N_h}.$

Nach Verwendung der entsprechenden Gleichungen erhält man den Schätzer für die geschichtete Stichprobe zu:
$\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}=\frac 1 N\sum _{h=1}^M\sum _{k=1}^{n_h}\frac{y_{hk}}{\pi _{\mathit{hk}}}=\sum _{h=1}^M\frac{N_h} N\overline y_h.$

Dabei ist $\overline y_h=\sum _{k=1}^{n_h}\frac{y_{\mathit{hk}}}{n_h}$ der Schätzer für den Mittelwert in der h-ten Schicht. Dieser Schätzer wird auch geschichteter Schätzer genannt, da er sich aus den Mittelwertschätzern der einzelnen Schichten zusammensetzt.

Beispiel

Beispiel

Beispiel 5

Fortsetzung des ersten Beispiels zur Verhältnisschätzung: Nun sind wir in der Lage das obige Beispiel zu Ende zu führen. Zunächst werden alle möglichen Stichproben in den beiden Schichten aufgelistet. Es ergeben sich folgende Möglichkeiten:

Gezogene Einheiten
(nach obiger Vereinbarung werden zwei Elemente (Einheiten) gezogen)
Gezogene Einheit
(nach obiger Vereinbarung wird ein Element (Einheit) gezogen)
Schicht 1 Schicht 2

1  2

4

1  3

4

2  3

4

1  2

5

1  3

5

2  3

5

Nun berechnen wir je den Schätzer für die geschichtete Stichprobe. Wir erhalten

Gezogene Einheiten
(nach obiger Vereinbarung werden zwei Elemente (Einheiten) gezogen)
Gezogene Einheit
(nach obiger Vereinbarung wird ein Element (Einheit) gezogen)

Schicht 1

Schicht 2

$\overline y_1$ $\overline y_2$ $\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}_i}$

1  2

4

$\frac 1 2(Y_1+Y_2)$
=9,5
$Y_4=18$ $\frac 3 59,5+\frac 2 5\ast 18=12,9$

1  3

4

$\frac 1 2(Y_1+Y_3)$
=10
$Y_4=18$ $\frac 3 510+\frac 2 5\ast 18=13,2$

2  3

4

$\frac 1 2(Y_2+Y_3)$
=10,5

$Y_4=18$ $\frac 3 510,5+\frac 2 5\ast 18=13,5$

1  2

5

$\frac 1 2(Y_1+Y_2)$
=9,5
$Y_5=22$ $\frac 3 59,5+\frac 2 5\ast 22=14,5$

1  3

5

$\frac 1 2(Y_1+Y_3)$
=10
$Y_5=22$ $\frac 3 510+\frac 2 5\ast 22=14,8$

2  3

5

$\frac 1 2(Y_2+Y_3)$
=10,5
$Y_5=22$ $\frac 3 510,5+\frac 2 5\ast 22=15,1$

Der Erwartungswert für$\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}$ kann sofort berechnet werden. Dieser lautet:
$E\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)=\frac 1 6\sum _{i=1}^6\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}_i}=\frac 1 6(12,9+13,2+13,5+14,5+14,8+15,1)=14.$
Nun sind wir in der Lage auch die Varianz von $\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}$ zu bestimmen. Das heißt konkret: $\mathit{VAR}\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)=\frac 1 6\sum _{i=1}^6\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}_i}-E\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)\right)^2=\frac 1 6\left((12,9-14)^2+(13,2-14)^2+...+(15,1-14)^2\right)=0,7.$

Es wird sofort ersichtlich, dass der geschichtete Schätzer erwartungstreu ist für $\overline y,$ das heißt $E\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)=\overline y.$ Diesen erwartungstreuen Schätzer haben wir letztendlich selbst konstruiert. Besonders auffallend und zugleich sehr sehr erfreulich ist, dass die nun berechnete Varianz zu 0,7 „enorm“ geringer ist als die für die einfache Zufallsstichprobe. Diese war 4,33. Der Grund für diese deutliche Varianzreduktion beruht darauf, dass die Schichten so gewählt wurden, dass die großen $Y_i$-Werte in der Schicht 2 und die kleinen $Y_i$-Werte in der Schicht 1 waren. Damit wurde erreicht, dass die Elemente in den jeweiligen Schichten einander ähnelten.

Auf keinen Fall darf dies damit verwechselt werden, dass die Schichten einander ähnelten. Die Schichten sind unterschiedlich oder noch präziser ausgedrückt disjunkt.

Bei Berücksichtigung der getätigten Untersuchungen kann sofort das Schichtungs-Prinzip formuliert werden.

Schichtungs-Prinzip

Merke

Die Schichten sind so zu wählen, dass die Variablen (= Merkmalsträger) innerhalb einer Schicht einander so weit wie nur möglich ähneln. Andererseits sollen die einzelnen Schichten sich untereinander so weit wie nur möglich
unterscheiden, beziehungsweise disjunkt sein.

Das Schichtungsprinzip ist meistens durch eine lokale Nähe der Merkmalsträger erfüllt.

Beispiele zum Schichtungs-Prinzip

Beispiel

Beispiel 1

In einer Stadt könnte zum Beispiel der Wohnort als Schichtungsmerkmal gewählt werden. Dies deswegen, weil in einer Stadt die Bevölkerung in Bezirken oder Ortsteilen ein äußerst ähnliches Profil aufweist. Die so gewählte Schichtung wird in den meisten Anwendungen einen positiven Effekt als Folge haben.

Beispiel

Beispiel 2

Bei Durchführung von Umfragen kann zwischen Stadt -und Landbezirken unterschieden werden. Allerdings muss vorausgestzt werden, dass die städtische und ländliche Bevölkerung in sich zumindest relativ homogen ist. Damit ist gemeint, dass innerhalb der jeweiligen Bevölkerung nur wenig Unterschiede herrschen.

Abschließend halten wir hier folgende wichtige Formeln in bezug auf geschichtete Stichproben fest.

Formelsammlung

Schätzer für den Mittelwert und die Varianz einer geschichteten Stichprobe

Die Population sei aufgeteilt in M disjunkte Schichten vom Umfang $N_h,h=1,...,M.$

Dann werde in jeder Schicht eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n_h,h=1,...,M$ gezogen.

Des Weiteren seien die Ziehungen in den Schichten voneinander unabhängig.

Dann ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Mittelwert der Population gegeben durch den geschichteten Schätzer:
$\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}=\sum _{h=1}^M\frac{N_h} N\overline y_h.$

Dabei ist $\overline y_h$ der Mittelwert der Stichprobe in der h-ten Schicht.

Die Varianz kann folgendermaßen geschätzt werden:
$\hat{\mathit{VAR}\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)}=\sum _{h=1}^M\left(\frac{N_h} N\right)^2\frac{N_h-n_h}{N_h}\frac{s_h^2}{n_h}.$

Die Größe $s_h^2$ ist die geschätzte Varianz in der h-ten Schicht.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Geschichtete Stichproben ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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