Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

1. Beispiel:

Es gibt theoretisch unendlich viele minderjährige SchülerInnen, die sich in der achten Klasse befinden. Diese stellen die Gesamtpopulation dar. Jeder dieser SchülerInnen erhält einen gewissen, wöchentlichen Betrag an Taschengeld. Der Erwartungswert der Gesamtpopulation entspricht demnach $\mu.$

Im ersten Schritt sollen nun Stichproben gezogen und daraus ein Mittelwert gebildet werden. Das funktioniert, indem bei der ersten Ziehung 10000 SchülerInnen und bei der zweiten Ziehung 30000 SchülerInnen befragt werden. Im Anschluss wird analog zu der o. g. Durchführung ein Mittelwert für jede einzelne Ziehung berechnet.

Deutlich wird, dass der Stichprobenmittelwert $\overline x$ ein erwartungstreuen Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ ist.

Es werden wiederholt Stichproben gezogen und, analog zu oben, ein Stichporbenmittelwert berechnet.  Wenn die Anzahl „n“ an Ziehungen vorliegt, so auch „n“ an Mittelwerten  $\overline x_1,\overline x_{2,}...,\overline x_n$.
Zugunsten der Überschaubarkeit ergeben sich die Mittelwerte folgendermaßen: $X_1,X_{2,}...,X_n.$

$\overline X$ entspricht der Zufallsvariable, die aus den Mittelwerten resultiert: $\overline X=\frac 1 n(X_1+X_2+...+X_n).$

Aufgrund des linearen Erwartungswertes gilt: $E(\overline X)=\frac 1 n(\mathit{EX}_1+\mathit{EX}_2+...+\mathit{EX}_n).$
Da die Stichprobenwerte willkürlich bzw. zufällig aus der Gesamtpopulation gezogen wurden, entsprechen die Erwartungswerte der jeweiligen, gezogenen Zufallsvariablen des Erwartungswertes der Population und somit: $E(X_1)=E(X_2)=...=E(X_n)=\mu .$

Dadurch wird deutlich, dass...
$E(\overline X)=\frac 1 n\left(E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)\right)=\frac 1 n(\mu +...+\mu )=\frac 1 n\ast n\ast \mu =\mu .$ , was wiederum $E(\overline X)=\mu$ zeigt.

Demnach kann schlussfolgernd gesagt werden, dass der Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte mit dem Erwartungswert der Gesamtpopulation übereinstimmt. Somit ist der Stichprobenmittelwert $\overline X$ ein erwartungstreuer Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ.

2. Beispiel:

Die Grundgesamtheit ergibt sich aus vier SchülerInnen. Im Fokus der Untersuchung steht die Körpergröße. Die Stichprobe wird anhand von zwei SchülerInnen vorgenommen, wodurch alle vier Körpergrößen offengelegt werden und der Tabelle zu entnehmen sind:

 Auf der Datengrundlage kann die durchschnittliche Körpergröße bestimmt werden: $\mu =\frac 1 4(170\mathit{cm}+180\mathit{cm}+160\mathit{cm}+190\mathit{cm})=175\mathit{cm.}$

Das bedeutet, der Durchschnittswert von $\hat{\mu }$ ist:

$E\hat{\mu }=\frac 1 6(175\mathit{cm}+170\mathit{cm}+175\mathit{cm}+180\mathit{cm}+185\mathit{cm}+165\mathit{cm})=175\mathit{cm}=\mu .$

Der Durchschnittswert $\hat{\mu }$ ist somit erwartungstreu für $\mu$ .

3. Beispiel:

 Der Erwartungswert ist linear, so dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i).$
Es ist $E(X_i)=\mu .$        Jetzt sehen wir sofort, dass
$E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu =\frac 1 nn\ast \mu =\mu .$

Somit haben wir gezeigt, dass die Schätzfunktion $\overline X$ erwartungstreu ist.

Des Weiteren soll herausgefunden werden, inwieweit die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\overline X$ erwartungstreu für $\mu$ ist. Im Falle der Übereinstimmung gilt: $E(\hat{\mu })=\mu .$

Dafür wird  $\hat{\mu }=\overline X$ eingesetzt. Es wird sichtbar, dass es sich bei $\overline X$ um das arithmetische Mittel handelt, das wie folgt bestimmt wird: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i.$

Bei der Ermittlung des Erwartungswertes wird ersichtlich, dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$ Dieser ist linear, so dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i).$
Es ist $E(X_i)=\mu .$        Dadurch wird deutlich, dass
$E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu =\frac 1 nn\ast \mu =\mu .$