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Stichprobentheorie - Eigenschaften von Schätzfunktionen

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Stichprobentheorie

Eigenschaften von Schätzfunktionen

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Es gibt wichtige Kriterien anhand derer wir eine Aussage über die Qualität der Schätzung machen können. Diese lauten:

  1. Erwartungstreue

  2. Effizienz

  3. asymptotische Erwartungstreue

  4. Konsistenz

Der Leser wird später sehen, welche Bedeutung die einzelnen Begriffe haben. Dieser Abschnitt soll vor allem verdeutlichen, dass obige Kriterien von enormer Bedeutung für eine Schätzfunktion sind.

Wir werden anschließend auf alle Kriterien ausführlich eingehen.

Erwartungstreue

Video: Eigenschaften von Schätzfunktionen

Merke

Merke

Ein Schätzer ist erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich dem zu schätzenden Parameter ist. Somit ist die Schätzfunktion genau dann erwartungstreu, falls gilt: $E(\hat{\Theta })=\Theta $
Die Schätzfunktion heißt dann auch unverzerrt (=unbiased).

Bei $\Theta $ handelt es sich um einen Platzhalter für einen Parameter. Der Parameter könnte zum Beispiel der Erwartungswert oder die Streuung $\sigma $ sein. Im Falle der Erwartungstreue trifft die Schätzfunktion durchschnittlich den wahren Parameterwert der Grundgesamtheit.

Ein Beispiel wird helfen, den Begriff ,,Erwartungstreue" besser zu verstehen.

Beispiele

Beispiel

Beispiel 1:

In einer Jugendherberge seien theoretisch unendlich viele minderjährige Jugendliche (=Gesamtpopulation), von denen jeder ein bestimmtes wöchentliches Taschengeld zur Verfügung habe. Der Erwartungswert der Gesamtpopulation sei $\mu$.

Nun ziehen wir Stichproben und bilden dann jeweils den Mittelwert einer Stichprobe. Dies geschieht zum Beispiel dadurch, dass beim ersten Ziehen 10000 Jugendliche befragt werden und beim zweiten Ziehen 30000 Jugendliche. Es wird dann, analog obiger Vorgehensweise, der Mittelwert jeder Ziehung gebildet.

Wir zeigen, dass der Stichprobenmittelwert $\overline x$ ein erwartungstreuer Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ ist.

Wir ziehen wiederholt Stichproben und ermitteln, analog oben, jeweils den Stichprobenmittelwert. Liegen n Ziehungen vor, so auch n Mittelwerte $\overline x_1,\overline x_{2,}...,\overline x_n.$ Aufgrund der Übersichtlichkeit werden diese Mittelwerte wie folgt dargestellt: $X_1,X_{2,}...,X_n.$

Hier sei $\overline X$ die Zufallsvariable die aus diesen Mittelwerten besteht:$\overline X=\frac 1 n(X_1+X_2+...+X_n).$
Dann wird ersichtlich, dass $E(\overline X)=E\left(\frac 1 n(X_1+X_2+...+X_n)\right).$

Da der Erwartungswert linear ist gilt: $E(\overline X)=\frac 1 n(\mathit{EX}_1+\mathit{EX}_2+...+\mathit{EX}_n).$
Weil jeder Stichprobenwert zufällig aus der Gesamtpopulation entnommen wird, sind die Erwartungswerte der jeweiligen Zufallsvariablen („Ziehungen“) gleich dem Erwartungswert der Population, d.h.
$E(X_1)=E(X_2)=...=E(X_n)=\mu .$

Dann ist ersichtlich, dass 
$E(\overline X)=\frac 1 n\left(E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)\right)=\frac 1 n(\mu +...+\mu )=\frac 1 n\ast n\ast \mu =\mu .$

Somit ist gezeigt, dass $E(\overline X)=\mu .$
Als Fazit halten wir fest: Der Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte entspricht dem Erwartungswert der Gesamtpopulation.

Der Stichprobenmittelwert $\overline X$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ.

Beispiel

Beispiel 2:

Die Grundgesamtheit bestehe aus vier Schülern. Es wird eine Stichprobe von zwei Schülern gezogen. Der Interessenschwerpunkt ist die Körpergröße. Alle vier Körpergrößen seien bekannt.

Person

Körpergröße in cm

1

170

2

180

3

160

4

190

Aus den Daten kann die durchschnittliche Körpergröße ermittelt werden. Sie lautet: 

$\mu =\frac 1 4(170\mathit{cm}+180\mathit{cm}+160\mathit{cm}+190\mathit{cm})=175\mathit{cm.}$

Als Schätzfunktion wählen wir: $\hat{\mu }=0,5(X_1+X_2).$
Nun überlegen wir, wieviel Möglichkeiten es gibt, zwei aus vier Personen zu ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. $X_i$ = 1;2. $X_i$ ist einer der vier Größen, aber nicht der erste oder der zweite Wert.

Personen

$\hat{\mu }=0,5(X_1+X_2)$

1&2

=0,5*(170cm+180cm)=175cm

2&3

=0,5*(180cm+160cm)=170cm

3&4

=0,5*(160cm+190cm)=175cm

1&4

=0,5*(170cm+190cm)=180cm

2&4

=0,5*(180cm+190cm)=185cm

1&3

=0,5*(170cm+160cm)=165cm

Der Durchschnittswert von $\hat{\mu }$ ist:
$E\hat{\mu }=\frac 1 6(175\mathit{cm}+170\mathit{cm}+175\mathit{cm}+180\mathit{cm}+185\mathit{cm}+165\mathit{cm})=175\mathit{cm}=\mu .$
Das heißt aber gerade, dass $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$ ist.

Beispiel

Beispiel 3:

Wir wollen wissen, ob die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\overline X$       erwartungstreu ist für $\mu$. Falls ja, dann muss gelten: $E(\hat{\mu })=\mu .$

Wir setzen $\hat{\mu }=\overline X$     ein und sehen, dass: $\overline X$ ist das arithmetische Mittel, welches folgendermaßen definiert ist$\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i.$
Wir bilden den Erwartungswert und sehen, dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$

Der Erwartungswert ist linear, so dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i).$
Es ist $E(X_i)=\mu .$        Jetzt sehen wir sofort, dass
$E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu =\frac 1 nn\ast \mu =\mu .$

Somit haben wir gezeigt, dass die Schätzfunktion $\overline X$ erwartungstreu ist.

Video zur Berechnung der Erwartungstreue

Video: Eigenschaften von Schätzfunktionen