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Stichprobentheorie - Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

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Stichprobentheorie

Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

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Kriterien

Die Qualität der Schätzungen kann an bestimmten Kriterien gemessen werden, da diese von besonderer Wichtigkeit für eine Schätzfunktion sind.
Zu den Kriterien zählen: (1) Erwartungstreue, (2) Konsistenz, (3) asymptotische Erwartungstreue, (4) Effizienz.

Die dazugehörigen Bedeutungen zu den jeweiligen Begriffen werden im weiteren Verlauf verdeutlicht und auführlicher thematisiert.

Erwartungstreue

Video: Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

 

Merke

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Entspricht ein zu schätzender Parameter dem Erwartungswert, so spricht man von einem erwartungstreuen Schätzer. Wenn demnach $E\hat{\Theta }=\Theta $ gilt, ist die Schätzfunktion erwartungstreu und unverzerrt (=unbiased).

$\Theta $ steht für einen Platzhalter, d.h. für einen Parameter. Dabei könnte es sich beispielsweise um einen Erwartungswert oder eine Streuung $\sigma $ handeln. Wenn die Schätzfunktion den durchschnittlichen, tatsächlichen Parameterwert der Grundgesamtheit trifft, wird von einer Erwartungstreue gesprochen.

Hit Hilfe der folgenden Beispiele soll der Begriff der Erwartungstreue nochmals konkret verdeutlicht werden:

Beispiele

Beispiel

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1. Beispiel:

Es gibt theoretisch unendlich viele minderjährige SchülerInnen, die sich in der achten Klasse befinden. Diese stellen die Gesamtpopulation dar. Jeder dieser SchülerInnen erhält einen gewissen, wöchentlichen Betrag an Taschengeld. Der Erwartungswert der Gesamtpopulation entspricht demnach $\mu.$

Im ersten Schritt sollen nun Stichproben gezogen und daraus ein Mittelwert gebildet werden. Das funktioniert, indem bei der ersten Ziehung 10000 SchülerInnen und bei der zweiten Ziehung 30000 SchülerInnen befragt werden. Im Anschluss wird analog zu der o. g. Durchführung ein Mittelwert für jede einzelne Ziehung berechnet.

Deutlich wird, dass der Stichprobenmittelwert $\overline x$ ein erwartungstreuen Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ ist.

Es werden wiederholt Stichproben gezogen und, analog zu oben, ein Stichporbenmittelwert berechnet.  Wenn die Anzahl „n“ an Ziehungen vorliegt, so auch „n“ an Mittelwerten  $\overline x_1,\overline x_{2,}...,\overline x_n$.
Zugunsten der Überschaubarkeit ergeben sich die Mittelwerte folgendermaßen: $X_1,X_{2,}...,X_n.$

$\overline X$ entspricht der Zufallsvariable, die aus den Mittelwerten resultiert: $\overline X=\frac 1 n(X_1+X_2+...+X_n).$

Aufgrund des linearen Erwartungswertes gilt: $E(\overline X)=\frac 1 n(\mathit{EX}_1+\mathit{EX}_2+...+\mathit{EX}_n).$
Da die Stichprobenwerte willkürlich bzw. zufällig aus der Gesamtpopulation gezogen wurden, entsprechen die Erwartungswerte der jeweiligen, gezogenen Zufallsvariablen des Erwartungswertes der Population und somit: $E(X_1)=E(X_2)=...=E(X_n)=\mu .$


Dadurch wird deutlich, dass...
$E(\overline X)=\frac 1 n\left(E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)\right)=\frac 1 n(\mu +...+\mu )=\frac 1 n\ast n\ast \mu =\mu .$ , was wiederum $E(\overline X)=\mu$ zeigt.

Demnach kann schlussfolgernd gesagt werden, dass der Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte mit dem Erwartungswert der Gesamtpopulation übereinstimmt. Somit ist der Stichprobenmittelwert $\overline X$ ein erwartungstreuer Schätzer für den Gesamtpopulationsmittelwert μ.

Beispiel

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2. Beispiel:

Die Grundgesamtheit ergibt sich aus vier SchülerInnen. Im Fokus der Untersuchung steht die Körpergröße. Die Stichprobe wird anhand von zwei SchülerInnen vorgenommen, wodurch alle vier Körpergrößen offengelegt werden und der Tabelle zu entnehmen sind:

Person

Körpergröße in cm

1

170

2

180

3

160

4

190

 Auf der Datengrundlage kann die durchschnittliche Körpergröße bestimmt werden: $\mu =\frac 1 4(170\mathit{cm}+180\mathit{cm}+160\mathit{cm}+190\mathit{cm})=175\mathit{cm.}$


Zunächst ist die Schätzfunktion zu wählen: $\hat{\mu }=0,5(X_1+X_2).$
Des Weiteren soll darüber nachgedacht werden, wie viele Möglichkeiten existieren, wenn zwei aus vier Personen, ohne zurücklegen und ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen, gezogen werden können. $X_i$ = 1;2. $X_i$ entspricht zwar einer der vier Größen, dabei handelt es sich jedoch weder um den erste noch um den zweiten Wert.

Personen

$\hat{\mu }=0,5(X_1+X_2)$

1&2

=0,5*(170cm+180cm)=175cm

2&3

=0,5*(180cm+160cm)=170cm

3&4

=0,5*(160cm+190cm)=175cm

1&4

=0,5*(170cm+190cm)=180cm

2&4

=0,5*(180cm+190cm)=185cm

1&3

=0,5*(170cm+160cm)=165cm

Das bedeutet, der Durchschnittswert von $\hat{\mu }$ ist:

$E\hat{\mu }=\frac 1 6(175\mathit{cm}+170\mathit{cm}+175\mathit{cm}+180\mathit{cm}+185\mathit{cm}+165\mathit{cm})=175\mathit{cm}=\mu .$


Der Durchschnittswert $\hat{\mu }$ ist somit erwartungstreu für $\mu$ .

Beispiel

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3. Beispiel:

 Der Erwartungswert ist linear, so dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i).$
Es ist $E(X_i)=\mu .$        Jetzt sehen wir sofort, dass
$E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu =\frac 1 nn\ast \mu =\mu .$

Somit haben wir gezeigt, dass die Schätzfunktion $\overline X$ erwartungstreu ist.

Des Weiteren soll herausgefunden werden, inwieweit die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\overline X$ erwartungstreu für $\mu$ ist. Im Falle der Übereinstimmung gilt: $E(\hat{\mu })=\mu .$

Dafür wird  $\hat{\mu }=\overline X$ eingesetzt. Es wird sichtbar, dass es sich bei $\overline X$ um das arithmetische Mittel handelt, das wie folgt bestimmt wird: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i.$

Bei der Ermittlung des Erwartungswertes wird ersichtlich, dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$ Dieser ist linear, so dass $E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i).$
Es ist $E(X_i)=\mu .$        Dadurch wird deutlich, dass
$E(\overline X)=E(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu =\frac 1 nn\ast \mu =\mu .$

Video zur Berechnung der Erwartungstreue

Video: Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften