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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Dichtefunktionen

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Eine stetige Zufallsvariable hat immer eine sog. Dichtefunktion. Zunächst müssen wir den Begriff definieren:

Definition

Merke

Eine Funktion f heißt Dichtefunktion, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. f(x)dx = 1

2. f(x) ≥ 0 für alle x Df.

Eigenschaften

Eigenschaft 1 besagt, dass dass die Fläche zwischen der Abszisse und dem Funktionsgraphen insgesamt gleich 1 ist.

Eigenschaft 2 verlangt, dass der Graph der Funktion lediglich in den Quadranten I und II verläuft, nicht hingegen im Bereich III oder im Bereich IV.

Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II
Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II

Merke

Jede Funktion, die die o.e. Eigenschaften aufweist, ist eine Dichtefunktion. Es kommt also lediglich hierauf an. Damit kann man auch entscheiden, ob eine vorliegende Funktion f Dichtefunktion ist oder nicht.

Die folgende Funktion ist keine Dichtefunktion, weil einzelne Werte im IV. Quadranten liegen:

Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion
Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion

Die Werte sind alle größer oder gleich 0. Die Tatsache, ob die Funktion stetig oder unstetig ist, ist nicht entscheidend. Da die Eigenschaften 1 und 2 erfüllt sind, spielt die Stetigkeit keine Rolle.

Merke

Merke

  • Die Werte der Dichtefunktion sind vollkommen unbedeutend

  • Was zählt, ist allein der Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion.

Video zur Dichtefunktion

Video: Dichtefunktionen