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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Dichtefunktionen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dichtefunktionen

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Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so nennt man es  derern Funktion Dichtefunktion oder auch Wahrscheinlichkeitsdichte.

Definition

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Für eine Dichtefunktion f muss folgendes gelten:

  1. f(x)dx = 1
  2. f(x) ≥ 0 für alle x Df.

Zu 1.: Das besagt, dass die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse insgesamt gleich 1 ist.

Zu 2.: Dies sagt aus, das der Graph lediglich überhalb der x-Achse verläuft. f(x) ist also etweder gleich null oder nimmt positive Werte an. In der Grafik unten kann er nur durch Feld A oder B verlaufen, jedoch nicht durch Feld C oder D.

Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II
Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II

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Jede Funktion, die die oben genannten Eigenschaften hat, nennt sich Dichtefunktion. So lässt sich auch prüfen, ob es sich bei einer Funktion f um eine Dichtefunktion handelt oder nicht.

Beispiel

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Diese Funktion stellt keine Dichtefunktion dar, da sie im Werte für f(x) im "negativen Bereich" verlaufen:

Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion
Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion

Ob eine Funktion stetig oder unstetig ist, spielt für die Entscheidung, ob es sich um eine Dichtefunktion handelt, keine Rolle. Entscheident ist zunächst nur, ob die Punkte 1 und 2 erfüllt sind.

 

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Entscheident ist also der Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion, die Werte einer Dichtefunktion sind total irrelevant.

Video zur Dichtefunktion

Video: Dichtefunktionen