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Eine stetige Zufallsvariable hat immer eine sog. Dichtefunktion. Zunächst müssen wir den Begriff definieren:
Definition
Merke
Eine Funktion f heißt Dichtefunktion, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
1. f(x)dx = 1
2. f(x) ≥ 0 für alle x Df.
Eigenschaften
Eigenschaft 1 besagt, dass dass die Fläche zwischen der Abszisse und dem Funktionsgraphen insgesamt gleich 1 ist.
Eigenschaft 2 verlangt, dass der Graph der Funktion lediglich in den Quadranten I und II verläuft, nicht hingegen im Bereich III oder im Bereich IV.
Merke
Jede Funktion, die die o.e. Eigenschaften aufweist, ist eine Dichtefunktion. Es kommt also lediglich hierauf an. Damit kann man auch entscheiden, ob eine vorliegende Funktion f Dichtefunktion ist oder nicht.
Die folgende Funktion ist keine Dichtefunktion, weil einzelne Werte im IV. Quadranten liegen:
Die Werte sind alle größer oder gleich 0. Die Tatsache, ob die Funktion stetig oder unstetig ist, ist nicht entscheidend. Da die Eigenschaften 1 und 2 erfüllt sind, spielt die Stetigkeit keine Rolle.
Merke
Merke
Die Werte der Dichtefunktion sind vollkommen unbedeutend
Was zählt, ist allein der Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion.
Video zur Dichtefunktion
Video: Dichtefunktionen
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