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Dichtefunktionen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Eine stetige Zufallsvariable hat immer eine sog. Dichtefunktion. Zunächst müssen wir den Begriff definieren:

Definition

Merke

Eine Funktion f heißt Dichtefunktion, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. f(x)dx = 1

2. f(x) ≥ 0 für alle x Df.

Eigenschaften

Eigenschaft 1 besagt, dass dass die Fläche zwischen der Abszisse und dem Funktionsgraphen insgesamt gleich 1 ist.

Eigenschaft 2 verlangt, dass der Graph der Funktion lediglich in den Quadranten I und II verläuft, nicht hingegen im Bereich III oder im Bereich IV.

Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II
Abb. 5.3: Dichtefunktion verläuft in Quadranten I und II

Merke

Jede Funktion, die die o.e. Eigenschaften aufweist, ist eine Dichtefunktion. Es kommt also lediglich hierauf an. Damit kann man auch entscheiden, ob eine vorliegende Funktion f Dichtefunktion ist oder nicht.

Die folgende Funktion ist keine Dichtefunktion, weil einzelne Werte im IV. Quadranten liegen:

Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion
Abb. 5.4: Funktion, aber keine Dichtefunktion

Die Werte sind alle größer oder gleich 0. Die Tatsache, ob die Funktion stetig oder unstetig ist, ist nicht entscheidend. Da die Eigenschaften 1 und 2 erfüllt sind, spielt die Stetigkeit keine Rolle.

Merke

Merke

  • Die Werte der Dichtefunktion sind vollkommen unbedeutend

  • Was zählt, ist allein der Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion.

Video zur Dichtefunktion

Video: Dichtefunktionen

Eine stetige Zufallsvariable hat immer eine sog. Dichtefunktion. Zunächst müssen wir den Begriff definieren, klären dann die Eigenschaften und schauen uns Funktionen an.
Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Funktion f(x) = a für x zwischen -2 und 6 und f(x) = 0 sonst ist eine Dichtefunktion, wenn...

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Dichtefunktionen

  • Eckehard Quast schrieb am 17.03.2016 um 18:41 Uhr
    Kann es sein, dass das Video erst an einer späteren Stelle des Kurses kommen soll?
Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Dichtefunktionen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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  • Kombinatorik
    • Einleitung zu Kombinatorik
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    • Einleitung zu Wahrscheinlichkeiten
    • Formeln für Wahrscheinlichkeiten
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  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Einleitung zu Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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    • Richtige Reihenfolge erkennen
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    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit
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    • Einleitung zu Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)
    • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • Dichtefunktionen
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    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur tschebyscheffschen Ungleichung
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  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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