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Konsistenz

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 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Video: Konsistenz

Gegeben sei eine Folge von Schätzfunktionen. Diese heißt konsistent für den Parameter falls für jede Zahl c>0 gilt.

Merke

Merke

Sei $\hat{\Theta }_{1,}\hat{\Theta }_{2,}\hat{\Theta }_{3,}\text{...},\hat{\Theta }_n$ eine Folge von Schätzfunktionen. Diese heißt konsistent für den Parameter $\Theta$, falls für jede Zahl c>0 gilt: $\lim _{n\rightarrow \infty }P\text (\hat{\Theta }_n\in \text [\Theta -c;\Theta +c\text ]\text )=0.$

Wollen wir bestätigen, dass eine Folge von Schätzfunktionen konsistent ist, so reicht es wenn wir zeigen, dass $\hat{\Theta }_n$ mindestens asymptotisch erwartungstreu ist und zugleich gilt, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$.

Beispiele

Beispiel

Beispiel 1:

Wir wollen wissen, ob das arithmetische Mittel: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$ \textsf{konsistent ist.
Wir haben bereits gezeigt, dass es erwartungstreu ist bezüglich des Erwartungswertes $\mu$.

Wir schauen, ob $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$ gilt. $(\hat{\Theta }_n=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$
Es ist aufgrund der Varianzeigenschaften und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\overline X)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}n\sigma ^2,$ so dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1 n\sigma ^2=0.$ Somit liegt für die Folge $\hat{\Theta }_1,\hat{\Theta }_2,\hat{\Theta }_3,\text{...},\hat{\Theta }_n$ Konsistenz für $\mu $ vor.

Beispiel

Beispiel2:

Ist die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i$ konsistent ?

1.Schritt:

$E(\hat{\mu })=E(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}E(X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}\mu =\frac n{n^2+n}(n+1)\mu =\frac{n^2+n}{n^2+n}\mu =\mu .$ Somit liegt Erwartungstreue und damit erstrecht asymptotische Erwartungstreue vor.

2.Schritt: Es ist

$\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\mathit{VAR}(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\mathit{VAR}\text (\sum _{i=1}^{n+1}\frac n{n^2+n}X_i\text )=(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\mathit{VAR}(X_i)$

$\text{ =}(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\sigma ^2=(\frac n{n^2+n})^2(n+1)\sigma ^2=\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2.$
Durch Limesbildung folgt:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2=0.$
Also ist die Schätzfunktion konsistent.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
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    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
  • Hochrechnung
    • Einleitung zu Hochrechnung
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      • Einleitung zu Differenzenschätzung
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      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
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    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
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    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
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