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Stichprobentheorie - Konsistenz

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Konsistenz

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Inhaltsverzeichnis

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Sei $\hat{\Theta }_{1,}\hat{\Theta }_{2,}\hat{\Theta }_{3,}\text{...},\hat{\Theta }_n$ eine Folge von Schätzfunktionen. Diese heißt konsistent für den Parameter $\Theta$, falls für jede Zahl c>0 gilt: $\lim _{n\rightarrow \infty }P\text (\hat{\Theta }_n\in \text [\Theta -c;\Theta +c\text ]\text )=0.$

Wollen wir bestätigen, dass eine Folge von Schätzfunktionen konsistent ist, so reicht es wenn wir zeigen, dass $\hat{\Theta }_n$ mindestens asymptotisch erwartungstreu ist und zugleich gilt, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$.

Beispiele

Beispiel

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Beispiel 1:

Wir wollen wissen, ob das arithmetische Mittel: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$ \textsf{konsistent ist.
Wir haben bereits gezeigt, dass es erwartungstreu ist bezüglich des Erwartungswertes $\mu$.

Wir schauen, ob $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$ gilt. $(\hat{\Theta }_n=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$
Es ist aufgrund der Varianzeigenschaften und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\overline X)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}n\sigma ^2,$ so dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1 n\sigma ^2=0.$ Somit liegt für die Folge $\hat{\Theta }_1,\hat{\Theta }_2,\hat{\Theta }_3,\text{...},\hat{\Theta }_n$ Konsistenz für $\mu $ vor.

Beispiel

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Beispiel2:

Ist die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i$ konsistent ?

1.Schritt:

$E(\hat{\mu })=E(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}E(X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}\mu =\frac n{n^2+n}(n+1)\mu =\frac{n^2+n}{n^2+n}\mu =\mu .$ Somit liegt Erwartungstreue und damit erstrecht asymptotische Erwartungstreue vor.

2.Schritt: Es ist

$\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\mathit{VAR}(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\mathit{VAR}\text (\sum _{i=1}^{n+1}\frac n{n^2+n}X_i\text )=(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\mathit{VAR}(X_i)$

$\text{ =}(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\sigma ^2=(\frac n{n^2+n})^2(n+1)\sigma ^2=\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2.$
Durch Limesbildung folgt:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2=0.$
Also ist die Schätzfunktion konsistent.