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Stichprobentheorie - Konsistenz

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Konsistenz

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Inhaltsverzeichnis

  

Gegeben ist eine Folge von Schätzfunktionen: $\hat{\Theta }_{1,}\hat{\Theta }_{2,}\hat{\Theta }_{3,}\text{...},\hat{\Theta }_n$ .

Merke

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Von einer "Konsistenz" des Parameters $\Theta$ kann dann gesprochen werden, wenn für jede Zahl c>0 gilt. In dem Fall gilt dann auch, dass: $\lim _{n\rightarrow \infty }P\text (\hat{\Theta }_n\in \text [\Theta -c;\Theta +c\text ]\text )=0$ ist.

Wenn die Konsistenz einer Folge von Schätzfunktionen bewiesen werden soll, reicht es aus zu zeigen, dass $\hat{\Theta }_n$ zumindest asymptotisch erwartungstreu ist und auch, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$.

Beispiele

 

Beispiel

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1. Beispiel:

Zu überprüfen ist, ob bei dem arithmetische Mittel: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

eine Konsistenz vorliegt. Bekannt ist bereits, dass eine Erwartungstreue bezüglich des Erwartungswertes $\mu$ besteht.

Die Eignung von $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$ soll überprüft werden.

Aufgrund der Varianzeigenschaften und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen ist es: $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\overline X)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}n\sigma ^2,$ so dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1 n\sigma ^2=0.$


Bei der Folge zeigt sich, $\hat{\Theta }_1,\hat{\Theta }_2,\hat{\Theta }_3,\text{...},\hat{\Theta }_n$, dass eine Konsistenz für $\mu $ vorliegt.

Beispiel

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2. Beispiel:

Es soll nun untersucht werden, ob die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i$ konsistent ist.

Die Vorgehensweise verläuft hier in zwei Schritten:

Schritt 1:
$E(\hat{\mu })=E(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}E(X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}\mu =\frac n{n^2+n}(n+1)\mu =\frac{n^2+n}{n^2+n}\mu =\mu .$

Es zeigt sich eine Erwartungstreue bzw. vor allem eine asymptotische Erwartungstreue.

Schritt 2:
$\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\mathit{VAR}(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\mathit{VAR}\text (\sum _{i=1}^{n+1}\frac n{n^2+n}X_i\text )=(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\mathit{VAR}(X_i)$

$\text{ =}(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\sigma ^2=(\frac n{n^2+n})^2(n+1)\sigma ^2=\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2.$
Mit Hilfe der Limesbildung entsteht:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2=0.$

Die Schätzfunktion erweist sich als konsistent.