Konsistenz

Beispiel 1:

Wir wollen wissen, ob das arithmetische Mittel: $\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$ \textsf{konsistent ist.
Wir haben bereits gezeigt, dass es erwartungstreu ist bezüglich des Erwartungswertes $\mu$.

Wir schauen, ob $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\Theta }_n)=0$ gilt. $(\hat{\Theta }_n=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i).$
Es ist aufgrund der Varianzeigenschaften und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\overline X)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n^2}n\sigma ^2,$ so dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1 n\sigma ^2=0.$ Somit liegt für die Folge $\hat{\Theta }_1,\hat{\Theta }_2,\hat{\Theta }_3,\text{...},\hat{\Theta }_n$ Konsistenz für $\mu $ vor.

Beispiel2:

Ist die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i$ konsistent ?

1.Schritt:

$E(\hat{\mu })=E(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}E(X_i)=\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}\mu =\frac n{n^2+n}(n+1)\mu =\frac{n^2+n}{n^2+n}\mu =\mu .$ Somit liegt Erwartungstreue und damit erstrecht asymptotische Erwartungstreue vor.

2.Schritt: Es ist

$\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\mathit{VAR}(\frac n{n^2+n}\sum _{i=1}^{n+1}X_i)=\mathit{VAR}\text (\sum _{i=1}^{n+1}\frac n{n^2+n}X_i\text )=(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\mathit{VAR}(X_i)$

$\text{ =}(\frac n{n^2+n})^2\sum _{i=1}^{n+1}\sigma ^2=(\frac n{n^2+n})^2(n+1)\sigma ^2=\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2.$
Durch Limesbildung folgt:
$\lim _{n\rightarrow \infty }\mathit{VAR}(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n^3+n^2}{n^4+2n^3+n^2}\sigma ^2=0.$
Also ist die Schätzfunktion konsistent.