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Stichprobentheorie - Asymptotische Erwartungstreue

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Stichprobentheorie

Asymptotische Erwartungstreue

Unter dem Begriff der asymptotischen Erwartungstreue ist zu verstehen, dass eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$  für erheblich große Stichproben (fast) erwartungstreu ist, jedoch nicht für kleinere Stichproben.

Genauer gesagt beutetet es, dass dann eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ asymptotisch erwartungstreu ist, wenn ein zu schätzender Parameter $\Theta $ einen unendlichen großen Stichprobenumfang „n“ umfasst und dessen Erwartungswert gegen den tatsächlichen Parameter $\Theta $ verläuft.
Dann wird die Schreibweise: $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\Theta })=\Theta $ verwendet.

Das folgende Beispiel beinhalten einen ansteigenden Stichprobenumfang n.

Beispiel

Im ersten Schritt wird überprüft, ob die gegebe Schätzfunktion erwartungstreu ist $\hat{\mu }=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i).$

Somit wird geprüft, ob $E(\hat{\mu })=\mu .$

Dabei zeigt sich

$\begin{align} E(\hat{\mu }) & =\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^nE(X_i)
\\ & = \frac 1{n-1}n\mu \neq \mu \end{align}$

Somit wird ersichtlich, dass keine Erwartungstreue vorliegt.
Durch den Einsatz der Limesbildung kommt es allerdings zu $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n-1}n\mu =\mu$

Es wird deutlich, dass eine asymptotische Erwartungstreue vorliegt.

Merke

Das Beispiel verdeutlicht, dass die Umkehrung nicht zwangsläufig gilt und daher jede erwartungstreue Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreu ist.


Aufgaben zur asymptotischen Erwartungstreue

1. Aufgabe

Prüfen Sie die folgende Schätzfunktion in Bezug auf die Erwartungstreue und asymptotische Erwartungstreue:

$\hat{\mu }=2\frac {n}{2n^2 -1}\sum _{i=1}^n(X_i)$.

Vertiefung

Lösung:

Hervor geht:

$ \begin{align} E(\hat{\mu }) & = E(2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nX_i) \\ & = 2 \frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nE(X_i) \\ & = 2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^n\mu =\frac{2n^2\mu }{2n^2-1} \\ & =\frac{2n^2}{2n^2-1}\cdot\mu \neq \mu \end{align}$.

Es zeigt sich, dass $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu ist. Durch die Bildung des Limes ist folgendes festzustellen:

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu }) = \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2\mu }{2n^2-1} =\mu .$ Demnach kann gesagt werden, dass die Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreu ist.

2. Aufgabe

Hinzugezogen wird nochmals eine bereits gestellte Aufgabe.
Wenn X und Z keine unabhängigen Zufallsvariablen sind gilt: E(XY)= $\mu$ und $10<E(X),E(Y)<\infty$.
Dann stellt sich jedoch die Frage, ob die Schätzfunktion $\hat{\mu }=(X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)$ asymptotisch erwartungstreu für $\mu$ ist.

 

Vertiefung

Lösung:

$\begin{align} E(\hat{\mu }) & = E\text ((X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)\text ) \\ & = E(\mathit{XY})-\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2} \\ & = \mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}\neq \mu \end{align}$

Durch den Einsatz der Limesbildung kommt es zu:

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2})=\mu -0+0=\mu$.


Damit kann schlussgefolgert werden, dass $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu für $\mu $ ist. Was jedoch sichtbar wird, ist dass $\hat{\mu }$ asymptotisch erwartungstreu ist für $\mu$.