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Stichprobentheorie - Asymptotische Erwartungstreue

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Stichprobentheorie

Asymptotische Erwartungstreue

Es besteht die Möglichkeit, dass eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ für sehr große Stichproben "fast" erwartungstreu ist, für kleine Stichproben aber nicht. Dies führt zu dem Begriff "asymptotische Erwartungstreue".

Darunter verstehen wir folgendes.

Eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ heißt asymptotisch erwartungstreu für einen zu schätzenden Parameter $\Theta $, falls ihr Erwartungswert gegen den echten Parameter $\Theta $ konvergiert. In diesem Fall schreibt man: $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\Theta })=\Theta .$

Nun betrachten wir Beispielaufgaben mit immer größerem Stichprobenumfang n.

Beispiel

Beispiel

Zunächst prüfen wir, ob die folgende Schätzfunkion erwartungstreu ist $\hat{\mu }=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i).$
Wir schauen, ob $E(\hat{\mu })=\mu .$
Es ist $E(\hat{\mu })=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-1}n\mu \neq \mu .$
Es liegt keine Erwartungstreue vor. Durch Limesbildung folgt allerdings: $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n-1}n\mu =\mu$, womit asymptotische(!) Erwartungstreue vorliegt.

Merke

Merke

Jede erwartungstreue Schätzfunktion ist auch asymptotisch erwartungstreu. Am obigen Beispiel wurde deutlich, dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.

Aufgaben zur asymptotischen Erwartungstreue

Aufgabe 1

Untersuchen Sie folgende Schätzfunktion auf Erwartungstreue und asymptotische Erwartungstreue:

$\hat{\mu }=2\frac n{2n-1}\sum _{i=1}^n(X_i)$.

Lösung:

Es ist:

$E(\hat{\mu })=E(2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nX_i)=2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nE(X_i)=2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^n\mu =\frac{2n^2\mu }{2n^2-1}=\frac{2n^2}{2n^2-1}\cdot\mu \neq \mu$.

Somit ist $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu. Wenn wir den Limes bilden stellen wir fest, dass

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2\mu }{2n^2-1}=\mu .$ Also ist die Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreu.

Aufgabe 2

Wir kommen wieder auf folgende Aufgabe zurück:Seien X und Y Zufallsvariablen, welche nicht unabhängig sind. Es gelte E(XY)= $\mu$ und $10<E(X),E(Y)<\infty$. Wir fragen uns nun, ob die die Schätzfunktion $\hat{\mu }=(X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)$ asymptotisch erwartungstreu ist für $\mu$?

Lösung:

Es ist

$E(\hat{\mu })=E\text ((X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)\text )=E(\mathit{XY})-\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}=\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}\neq \mu$.

Durch Limesbildung folgt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2})=\mu -0+0=\mu$.

Wir hatten festgestellt, dass $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu für $\mu $ ist. Allerdings sehen wir jetzt, dass

$\hat{\mu }$ asymptotisch erwartungstreu ist für $\mu$.