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Asymptotische Erwartungstreue

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Es besteht die Möglichkeit, dass eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ für sehr große Stichproben "fast" erwartungstreu ist, für kleine Stichproben aber nicht. Dies führt zu dem Begriff "asymptotische Erwartungstreue".

Darunter verstehen wir folgendes.

Eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ heißt asymptotisch erwartungstreu für einen zu schätzenden Parameter $\Theta $, falls ihr Erwartungswert gegen den echten Parameter $\Theta $ konvergiert. In diesem Fall schreibt man: $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\Theta })=\Theta .$

Nun betrachten wir Beispielaufgaben mit immer größerem Stichprobenumfang n.

Beispiel

Beispiel

Zunächst prüfen wir, ob die folgende Schätzfunkion erwartungstreu ist $\hat{\mu }=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i).$
Wir schauen, ob $E(\hat{\mu })=\mu .$
Es ist $E(\hat{\mu })=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-1}n\mu \neq \mu .$
Es liegt keine Erwartungstreue vor. Durch Limesbildung folgt allerdings: $\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1{n-1}n\mu =\mu$, womit asymptotische(!) Erwartungstreue vorliegt.

Merke

Merke

Jede erwartungstreue Schätzfunktion ist auch asymptotisch erwartungstreu. Am obigen Beispiel wurde deutlich, dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.

Aufgaben zur asymptotischen Erwartungstreue

Aufgabe 1

Untersuchen Sie folgende Schätzfunktion auf Erwartungstreue und asymptotische Erwartungstreue:

$\hat{\mu }=2\frac n{2n-1}\sum _{i=1}^n(X_i)$.

Lösung:

Es ist:

$E(\hat{\mu })=E(2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nX_i)=2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^nE(X_i)=2\frac n{2n^2-1}\sum _{i=1}^n\mu =\frac{2n^2\mu }{2n^2-1}=\frac{2n^2}{2n^2-1}\cdot\mu \neq \mu$.

Somit ist $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu. Wenn wir den Limes bilden stellen wir fest, dass

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2\mu }{2n^2-1}=\mu .$ Also ist die Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreu.

Aufgabe 2

Wir kommen wieder auf folgende Aufgabe zurück:Seien X und Y Zufallsvariablen, welche nicht unabhängig sind. Es gelte E(XY)= $\mu$ und $10<E(X),E(Y)<\infty$. Wir fragen uns nun, ob die die Schätzfunktion $\hat{\mu }=(X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)$ asymptotisch erwartungstreu ist für $\mu$?

Lösung:

Es ist

$E(\hat{\mu })=E\text ((X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)\text )=E(\mathit{XY})-\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}=\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}\neq \mu$.

Durch Limesbildung folgt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }E(\hat{\mu })=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2})=\mu -0+0=\mu$.

Wir hatten festgestellt, dass $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu für $\mu $ ist. Allerdings sehen wir jetzt, dass

$\hat{\mu }$ asymptotisch erwartungstreu ist für $\mu$.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Asymptotische Erwartungstreue ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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