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Einstichproben - Gaußtest (3.2.1)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Wir erläutern Methoden zu unterschiedlichen Signifikanztests.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine normalverteilte Grundgesamtheit vor.

  • Die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit ist bekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu <\mu _0$
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha .$
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$
5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Einstichproben-t-Test (3.2.2)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine normalverteilte Grundgesamtheit vor.

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist unbekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

2. Schritt: Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

  • Der Stichprobenumfang n ist kleiner 30, sonst Test 3.2.3. Alternativ kann dieser Test verwendet werden, falls die t-Tabelle mit den entsprechenden Freiheitsgraden vorliegt.

3. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$

    b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu <\mu _0$

    c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

4. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
5. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}.$

6. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 3) gewählt, d.h.

  • a) $B=\left(-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$

    b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$

    c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier t das jeweilige Fraktil der t(n-1)-Verteilung

7. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn  $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.3)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Wir erläutern Methoden zu unterschiedlichen Signifikanztests.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

  • Es liegt eine beliebig verteilte Grundgesamtheit vor.

  • n > 30 (Zentraler Grenzwertsatz).

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist bekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu <\mu _0$
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.4)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine beliebig verteilte Grundgesamtheit vor.
    n>30 (Zentraler Grenzwertsatz).

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist unbekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu <\mu _0$
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^{2.}}$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
6. Schritt: Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung
7. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.5)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine dichotome Grundgesamtheit vor.

  • Folgende Approximationsbedingungen müssen erfüllt sein:

    $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Anteils $p$ in der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p=p_0$ gegen $H_1:p\neq p_0$

    b) $H_0:p\geqslant p_0$ gegen $H_1:p<p_0$

    c) $H_0:p\leqslant p_0$ gegen $H_1:p>p_0$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Chi - Quadrat - Test für die Varianz (3.2.6)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Wir erläutern Methoden zu unterschiedlichen Signifikanztests.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegt eine exakt normalverteilte Grundgesamtheit vor (Hier sind Approximationen nicht zulässig).
Es liegt ein Test bzgl. der Varianz $sigma ^2$ in der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\sigma ^2=\sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2\neq \sigma _0^2$
  • b) $H_0:\sigma ^2\geqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2<\sigma _0^2$
  • c) $H_0:\sigma ^2\leqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2>\sigma _0^2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes, falls $\mu$ unbekannt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$

5. Schritt: Im Falle, dass $\mu$ bekannt, so gilt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{\sigma _0^2}.$

6. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\left[0;x_{\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(x_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text [0;x_{\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist x das jeweilige Fraktil der $\chi ^2(n-1)$ -Verteilung, falls $\mu$ unbekannt ist
    Ist $\mu$ bekannt, so ist die $\chi ^2(n)$ -Tabelle zu benutzen.
7. Schritt: $h_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Chi - Quadrat - Anpassungstest (3.2.7)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Wir erläutern Methoden zu unterschiedlichen Signifikanztests.

mit Binomialverteilung

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Wir erläutern Methoden zu unterschiedlichen Signifikanztests.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..
Es liegt ein Test bzgl. der Verteilung der Grundgesamtheit vor..

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0$ 
    $F_o$ ist eine hypothetische Verteilungsfunktion mit r unbekannten Parametern. Hier ist r die Anzahl der zu schätzenden Parameter.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes

  • a) Die x-Achse wird dazu in k disjunkte Intervalle unterteilt

    $I_1=\text (-\infty ;c_1\text ],I_2=\text (c_1;c_2\text ],...,I_k=\text (c_{k-1};\infty \text ).$

  • b) Für j = 1,2,... werden die in den Intervallen $I_j$  auftretenden Häufigkeiten $h_j$ aufgeschrieben.
  • c) Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeit für jedes Intervall, falls die unter $H_0$ angenommene Verteilung für die GG wirklich vorliegt $p_j=P(X\in I_j\text{{\textbar}}H_o).$

Aus Approximationsgründen muss jedes $p_j$ größer als $5\over{n}$ sein. Durch Zusammenfassen von Intervallen kann dies erreicht werden.

$\text v=\frac{\sum _{j=1}^k(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}.$ Also  $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{j=1}^k\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Hier ist $x_{1-\alpha }$ das $(1-\alpha )$ -Fraktil der $\chi ^2(k-r-1)$ -Verteilung.
6. Schritt: $h_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$
Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

  • Maren Nebeling schrieb am 13.08.2015 um 13:18 Uhr
    Hallo Yasin, ich mache das oftmals so, ja. Noch genauer wäre die lineare Interpolation... Viele Grüße, Daniel Lambert (i.A. Maren Nebeling)
  • Yasin Bostan schrieb am 31.07.2015 um 11:51 Uhr
    Hallo, wieso kommt im ersten Video für das 0,95-Fraktil der Wert 1,645 raus, wenn die Tabelle doch nur die Werte 0,9495 und 0,9505 hat? Nimmt man dann tatsächlich den Mittelwert (1,65+1,64)/2? Darf man das so?
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Signifikanztests bei einfachen Stichproben ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Effizienz
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      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
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      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
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      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
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        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
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    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
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    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
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