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Stichprobentheorie

Signifikanztests bei einfachen Stichproben

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Einstichproben des Gaußtests (3.2.1)

  

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1.   Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
  • Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.

  • Bekannt ist die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Dem Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Das Signifikanzniveaus $\alpha .$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$
5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.
  • a) $B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$

  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Einstichproben des t-Tests (3.2.2)

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
  • Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.

  • Nicht bekannt ist die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

2. Dem Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

  • Der Umfang der Stichprobe n ist kleiner als 30. Ansonsten ist der Test 3.2.3. zu nehmen. Im Falle, dass die t-Tabelle mit den entsprechenden Freiheitsgrade gegeben ist, kann der Test alternativ genutzt werden.

3.Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
4. Das Signifikanzniveaus $\alpha .$ wird festgelegt.
5. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac       1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}.$

6. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt drei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\left(-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
  • Das jeweilige Fraktil der t(n-1)-Verteilung ist t.

7. Wenn  $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Approximative Einstichproben des Gaußtests (3.2.3) 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?

  • Es handelt sich um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.

  • Es liegt ein zentraler Grenzwertsatz von n > 30 vor.

  • Bekannt ist die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Dem Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$

  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Approximative Einstichproben des Gaußtests (3.2.4)

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
  • Es handelt sich um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.
    Es liegt ein zentraler Grenzwert von n>30 vor.

  • Nicht bekannt ist die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Dem Mittelwert $\mu$ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^{2.}}$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Approximative Einstichproben des Gaußtests (3.2.5)

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
  • Es handelt sich um eine dichotome Grundgesamtheit.

  • Es müssen folgende Approximationsbedingungen gegeben sein:

    $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

  • In Bezug auf den Anteil $p$ in der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:p=p_0$ gegen $H_1:p\neq p_0$

    b) $H_0:p\geqslant p_0$ gegen $H_1:p

    c) $H_0:p\leqslant p_0$ gegen $H_1:p>p_0$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Chi - Quadrat - Test für die Varianz (3.2.6)

 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
Es handelt sich um eine exakte normalverteilte Grundgesamtheit  (Approximationen sind in diesem Fall nicht zulässig).
Der Varianz $sigma ^2$ in der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\sigma ^2=\sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2\neq \sigma _0^2$
  • b) $H_0:\sigma ^2\geqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2$
  • c) $H_0:\sigma ^2\leqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2>\sigma _0^2.$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Im Falle, dass $\mu$ unbekannt ist, wird der Testfunktionswert ausgerechnet: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$

5. Wenn $\mu$ bekannt ist, dann gilt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{\sigma _0^2}.$

6. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\left[0;x_{\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(x_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text [0;x_{\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$
  • Ist $\mu$ unbekannt, so ist x das jeweilige Fraktil der $\chi ^2(n-1)$ -Verteilung.
    Wenn $\mu$ bekannt ist, muss die $\chi ^2(n)$ -Tabelle benutzt werden.
7. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $h_0$ verworfen.

Chi - Quadrat - Anpassungstest (3.2.7)

 

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
Der Verteilung der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) Bei $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0$ 
    $F_o$ handelt es sich um eine hypothetische Verteilungsfunktion mit r unbekannten Parametern. Für die Anzahl der zu schätzenden Paramater steht hier r.
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet:

  • a) Unterteilt wird die x-Achse in k disjunkte Intervalle

    $I_1=\text (-\infty ;c_1\text ],I_2=\text (c_1;c_2\text ],...,I_k=\text (c_{k-1};\infty \text ).$

  • b) Aufgeschrieben werden die für  j = 1,2,... in den Intervallen $I_j$  auftretenden Häufigkeiten $h_j$ 
  • c) Wenn die unter $H_0$ angenommene Verteilung für die GG tatsächlich vorliegt $p_j=P(X\in I_j\text{{\textbar}}H_o),$ wird die Eintrittswahrscheinlichkeit für jedes Intervall ermittelt.

Auf Grund der Approximation, muss jedes $p_j$ größer als $5\over{n}$ sein. Dies kann dadurch erreicht werden, indem Intervalle gebündelt werden.

$\text v=\frac{\sum _{j=1}^k(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}.$ Also  $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{j=1}^k\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt drei der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Das $(1-\alpha )$ -Fraktil der $\chi ^2(k-r-1)$ -Verteilung ist hier ist $x_{1-\alpha }$ 
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $h_0$ verworfen.