Signifikanztests bei einfachen Stichproben

• Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.

• Bekannt ist die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

• Dem Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
• b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
• c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

• a) $B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  
  
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

• Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.

• Nicht bekannt ist die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

2. Dem Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

• Der Umfang der Stichprobe n ist kleiner als 30. Ansonsten ist der Test 3.2.3. zu nehmen. Im Falle, dass die t-Tabelle mit den entsprechenden Freiheitsgrade gegeben ist, kann der Test alternativ genutzt werden.

3.Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
• b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
• c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

6. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt drei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\left(-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
• b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$

• Das jeweilige Fraktil der t(n-1)-Verteilung ist t.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?

• Es handelt sich um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.

• Es liegt ein zentraler Grenzwertsatz von n > 30 vor.

• Bekannt ist die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

• Dem Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
• b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
• c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
  
  
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

• Es handelt sich um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.
  Es liegt ein zentraler Grenzwert von n>30 vor.

• Nicht bekannt ist die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

• Dem Mittelwert $\mu$ der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
• b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
• c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung

• Es handelt sich um eine dichotome Grundgesamtheit.

• Es müssen folgende Approximationsbedingungen gegeben sein:

  $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

• In Bezug auf den Anteil $p$ in der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:p=p_0$ gegen $H_1:p\neq p_0$

  b) $H_0:p\geqslant p_0$ gegen $H_1:p

  c) $H_0:p\leqslant p_0$ gegen $H_1:p>p_0$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
Es handelt sich um eine exakte normalverteilte Grundgesamtheit  (Approximationen sind in diesem Fall nicht zulässig).
Der Varianz $sigma ^2$ in der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\sigma ^2=\sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2\neq \sigma _0^2$
• b) $H_0:\sigma ^2\geqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2$
• c) $H_0:\sigma ^2\leqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2>\sigma _0^2.$

6. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt zwei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\left[0;x_{\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(x_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
• b) $B=\text [0;x_{\alpha }\text )$
• c) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$
• Ist $\mu$ unbekannt, so ist x das jeweilige Fraktil der $\chi ^2(n-1)$ -Verteilung.
  Wenn $\mu$ bekannt ist, muss die $\chi ^2(n)$ -Tabelle benutzt werden.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben?
Der Verteilung der Grundgesamtheit liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) Bei $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0$ 
  $F_o$ handelt es sich um eine hypothetische Verteilungsfunktion mit r unbekannten Parametern. Für die Anzahl der zu schätzenden Paramater steht hier r.

4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet:

• a) Unterteilt wird die x-Achse in k disjunkte Intervalle
  

  $I_1=\text (-\infty ;c_1\text ],I_2=\text (c_1;c_2\text ],...,I_k=\text (c_{k-1};\infty \text ).$

• b) Aufgeschrieben werden die für  j = 1,2,... in den Intervallen $I_j$  auftretenden Häufigkeiten $h_j$ 

• c) Wenn die unter $H_0$ angenommene Verteilung für die GG tatsächlich vorliegt $p_j=P(X\in I_j\text{{\textbar}}H_o),$ wird die Eintrittswahrscheinlichkeit für jedes Intervall ermittelt.

Auf Grund der Approximation, muss jedes $p_j$ größer als $5\over{n}$ sein. Dies kann dadurch erreicht werden, indem Intervalle gebündelt werden.

$\text v=\frac{\sum _{j=1}^k(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}.$ Also  $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{j=1}^k\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf Schritt drei der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Das $(1-\alpha )$ -Fraktil der $\chi ^2(k-r-1)$ -Verteilung ist hier ist $x_{1-\alpha }$