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Stichprobentheorie

Signifikanztests bei einfachen Stichproben

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Einstichproben - Gaußtest (3.2.1)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen 1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine normalverteilte Grundgesamtheit vor.

  • Die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit ist bekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu $ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha .$
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$
5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Einstichproben-t-Test (3.2.2)

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen 1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine normalverteilte Grundgesamtheit vor.

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist unbekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

2. Schritt: Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

  • Der Stichprobenumfang n ist kleiner 30, sonst Test 3.2.3. Alternativ kann dieser Test verwendet werden, falls die t-Tabelle mit den entsprechenden Freiheitsgraden vorliegt.

3. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$

    b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu

    c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

4. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
5. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}.$

6. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 3) gewählt, d.h.

  • a) $B=\left(-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$

    b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$

    c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier t das jeweilige Fraktil der t(n-1)-Verteilung

7. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn  $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.3)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

  • Es liegt eine beliebig verteilte Grundgesamtheit vor.

  • n > 30 (Zentraler Grenzwertsatz).

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist bekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.4)

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen 1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine beliebig verteilte Grundgesamtheit vor.
    n>30 (Zentraler Grenzwertsatz).

  • Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit ist unbekannt $\text (\text{Vorsicht: }\sigma \neq s\text ).$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Mittelwertes $\mu$ der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu =\mu _0$ gegen $H_1:\mu \neq \mu _0$
  • b) $H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu
  • c) $H_0:\mu \leqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu >\mu _0.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n,$ wobei $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^{2.}}$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
6. Schritt: Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung
7. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Einstichproben – Gaußtest (3.2.5)

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen 1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Es liegt eine dichotome Grundgesamtheit vor.

  • Folgende Approximationsbedingungen müssen erfüllt sein:

    $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

  • Es liegt ein Test bezüglich des Anteils $p$ in der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p=p_0$ gegen $H_1:p\neq p_0$

    b) $H_0:p\geqslant p_0$ gegen $H_1:p

    c) $H_0:p\leqslant p_0$ gegen $H_1:p>p_0$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist hier z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Chi - Quadrat - Test für die Varianz (3.2.6)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegt eine exakt normalverteilte Grundgesamtheit vor (Hier sind Approximationen nicht zulässig).
Es liegt ein Test bzgl. der Varianz $sigma ^2$ in der Grundgesamtheit vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\sigma ^2=\sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2\neq \sigma _0^2$
  • b) $H_0:\sigma ^2\geqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2
  • c) $H_0:\sigma ^2\leqslant \sigma _0^2$ gegen $H_1:\sigma ^2>\sigma _0^2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes, falls $\mu$ unbekannt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$

5. Schritt: Im Falle, dass $\mu$ bekannt, so gilt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{\sigma _0^2}.$

6. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\left[0;x_{\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(x_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right)$
  • b) $B=\text [0;x_{\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist x das jeweilige Fraktil der $\chi ^2(n-1)$ -Verteilung, falls $\mu$ unbekannt ist
    Ist $\mu$ bekannt, so ist die $\chi ^2(n)$ -Tabelle zu benutzen.
7. Schritt: $h_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Chi - Quadrat - Anpassungstest (3.2.7)

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

mit Binomialverteilung

Video: Signifikanztests bei einfachen Stichproben

Methode

Methode

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1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..
Es liegt ein Test bzgl. der Verteilung der Grundgesamtheit vor..

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0$ 
    $F_o$ ist eine hypothetische Verteilungsfunktion mit r unbekannten Parametern. Hier ist r die Anzahl der zu schätzenden Parameter.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes

  • a) Die x-Achse wird dazu in k disjunkte Intervalle unterteilt

    $I_1=\text (-\infty ;c_1\text ],I_2=\text (c_1;c_2\text ],...,I_k=\text (c_{k-1};\infty \text ).$

  • b) Für j = 1,2,... werden die in den Intervallen $I_j$  auftretenden Häufigkeiten $h_j$ aufgeschrieben.
  • c) Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeit für jedes Intervall, falls die unter $H_0$ angenommene Verteilung für die GG wirklich vorliegt $p_j=P(X\in I_j\text{{\textbar}}H_o).$

Aus Approximationsgründen muss jedes $p_j$ größer als $5\over{n}$ sein. Durch Zusammenfassen von Intervallen kann dies erreicht werden.

$\text v=\frac{\sum _{j=1}^k(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}.$ Also  $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{j=1}^k\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Hier ist $x_{1-\alpha }$ das $(1-\alpha )$ -Fraktil der $\chi ^2(k-r-1)$ -Verteilung.
6. Schritt: $h_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$