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Stichprobentheorie

Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

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ZweiStichprobentest zum Vergleich zweier Erwartungswerte

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

ZweiStichproben - Gaußtest (3.3.1)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt, wobei $\sigma _1$ und $\sigma _2$ bekannt sind.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{\sigma _1^2}{n_1}+\frac{\sigma _2^2}{n_2}}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Auch hier ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Zweistichproben - t - Test (3.3.2)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt, wobeiundunbekannt sind.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerten vor.
Fall I : Es gilt, dass $\sigma _1 = \sigma _2$
Fall II: Es liegen zwei gleich große Stichproben vor, d.h. $n _1 = n _2$ und es ist nicht bekannt, ob $\sigma _1 = \sigma _2$

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}}}.$


5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text )$
    Fall I . Hier ist t das jeweilige Fraktil der $t(n_1+n_2-2)$-Verteilung
    Falls $n_1+n_2-2>30,$ so kann alternativ die N(0,1)-Verteilung verwendet werden.
    Fall II: t-Verteilung mit $(n-1)\left[1+\frac 2{s_1^2/s_2^2+s_2^2/s_1^2}\right]$ Freiheitsgraden (Es ist auf ganze Zahlen zu runden !)
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Zweistichproben – Gaußest (3.3.3)

für Anteilswerte

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30.$
Beide Grundgesamtheiten sind beliebig verteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: 

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.$


5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
    , wobei z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approx. Zweistichproben – Gaußtest bei dichotomen GG (3.3.4)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30,$ $X_{11},...,X_{1n_1}$ bzw. $X_{21},...,X_{2n_2}.$
Beide Grundgesamtheiten sind dichotom.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Anteilswerte vor.
Die Approximationsbedingungen:
$5\leqslant \sum x_1i\leqslant n_1-5$ und $5\leqslant \sum x_2i\leqslant n_2-5$ sind erfüllt.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
  • b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$
  • c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(\sum _iX_1i+\sum _iX_2i)(n_1+n_2-\sum _iX_1i-\sum _iX_2i)}{(n_1+n_2)n_1n_2}}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ),$
    wobei z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Zweistichproben – F – test (3.3.5) 

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Varianzen vor..

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\sigma _1^2=\sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2\neq \sigma _2^2$
  • b) $H_0:\sigma _1^2\geqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2<\sigma _2^2$
  • c) $H_0:\sigma _1^2\leqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2>\sigma _2^2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{s_1^2}{s_2^2}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\frac{\alpha } 2}}\right)\cup \text (x_{1-\frac{\alpha } 2}^{'};\infty \text )$
  • b) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\alpha }}\right)$
  • c) $B=\text (x_{1-\alpha }^{'};\infty).$
    Es ist $x^{'}$ das jeweilige Fraktil der $F(n_1-1,n_2-1)$ -Verteilung und x das jeweilige Fraktil der $F(n_2-1,n_1-1)$ -Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Einfache Varianzanalyse (3.3.6)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen w unabhängige Stichproben vor, wobei w > 2 gelten muss.
Die Grundgesamtheiten sind normalverteilt oder näherungsweise normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • $H_0:\mu _1=\mu _2=\mu =...=\mu _w$ gegen
    $H_1:$ mindestens zwei der $\mu _i$ sind verschieden.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

  • $\text v=\frac{(n-w)\sum _{i=1}^wn_i(\overline x_i-\overline x_{\mathit{gesamt}})^2}{(w-1)\sum _{j=1}^w\sum _{i=1}^{n_j}n_{\mathit{ji}}(x_{\mathit{ji}}-\overline x_j)^2}.$
    $n_i$ sind die einzelnen Stichprobenumfänge, $n_{\mathit{ji}}$ sind die Häufigkeiten mit denen die Merkmalsausprägungen $x_{\mathit{ji}}$ in der Stichprobe j vorkommen.
5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h. 
$B=(x_{1-\alpha };\infty ).$
Es ist x das jeweilige Fraktil der F(w-1;n-w) - Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Vorzeichentest: Test auf den Median M (3.3.7)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Die Grundgesamtheit sei beliebig verteilt. (Diese sei im Median M stetig)

  • Es liegt eine Stichprobe vor.

  • Die Beobachtungen der Stichprobe $x_{1,}x_2,...,x_n,$ der Zufallsvariablen $X_{1,}X_2,...,X_n$

    seien unabhängig identisch verteilt mit der dazugehörigen Verteilungsfunktion $F(x)$.

  • Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • $H_0:M=M_0$ gegen $H_1:M\neq M_0.$
    Falls $M_0$ der wahre Wert des Medians in der Grundgesamtheit ist, so wird erwartet, dass die Hälfte der Beobachtungen größer als $M_0$ ist. Dies bildet die Grundlage des Vorzeichentests.
    Praktisch bedeutet dies: Es werden die Beobachtungen gezählt, welche größer als $M_0$ sind. Im Falle, dass diese Anzahl zu groß oder zu klein ist, so führt dies zur begründeten Annahme, dass $M_0$ nicht der wahre Wert des Medians in der Grundgesamtheit ist.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes (= Anzahl der Beobachtungen, die größer als $M_0$ sind):

  • a) $v=\sum _{i=1}^ns(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}\text{ 0}\text{ }\mathit{sonst.}$
  • b) Für n > 20 ist v approximativ normalverteilt, d.h. für den Testfunktionswert:
    $v^{'}=\frac{s-0,5n}{0,5}\sqrt n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B_1=\text (-\infty ;z_{\alpha /2}\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [n-z_{\alpha /2};\infty \text ).$
    Es ist z das Fraktil der Binomialverteilung zu den Parametern p = 0,5 und n.
  • b) $B^{'}=\left(-\infty ;-z_{1-\alpha /2}\right]\cup \left[z_{1-\alpha /2};\infty \right).$ Hier ist z das $1-\frac{\alpha } 2$ - Fraktil der Standardnormalverteilung.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn

  • a) $v\in B_1\text{oder}v\in B_2.$
  • b) $v^{'}\in B^{'}.$

Ein Beispiel wird für Klarheit sorgen.

Beispiel

Beispiel

Bei einer Untersuchung ergaben sich folgende im nachhinein geordneten Werte: 0,412; 0,326; 0.576; 0.610; 0.606; 0.606; 0.609; 0.611; 0.615; 0.655; 0.654; 0.662; 0.668; 0.670; 0.672; 0.71; 0.693; 0.84; 0.844; 0.97.

Es soll getestet werden: $H_0:M=0,618$ gegen $H_1:M\neq 0,618.$
Das Signifikanzniveau beträgt: $\alpha =4,14\text{ }\text{%}.$

Auswahl des richtigen Tests

Nach Voraussetzung soll der Vorzeichentest durchgeführt werden.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Diese sind erfüllt

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    $H_0:M=M_0$ gegen $H_1:M\neq M_0.$

  3. Schritt: Signifikanzniveau
    $\alpha = 0,0414$

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Es liegen 20 Beobachtungen vor, so dass $v=\sum _{i=1}^{20}s(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}0\text{ }\text{sonst.}$

    Es wird sofort ersichtlich, dass 11 Beobachtungen größer als 0,618 sind, also v = 11.

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    a) $B_1=\text (-\infty ;5\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [20-5;\infty \text ).$

    Das 0,0207 -Fraktil der Binmialverteilung ist gegeben - für n = 20 - durch: $s_{0,0414/2}=5.$
    $z_{0,0414/2} = z_{0,0207} $ aus B(20;0,5). Also ist fraglich P(x$\le$ $z_{0,0207}$) = 0,0207. Diese Zahl ist, nach Schema in einer B(20;0,5)-Tabelle gleich 5.

  6. Schritt: Testentscheidung

    Da $v=11\notin B_1\text{oder}B_2$, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 4,14 Prozent wird nicht verworfen, dass $M_0=0,618$ der wahre Median der Stichprobe ist.