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Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
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ZweiStichprobentest zum Vergleich zweier Erwartungswerte

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

Wir besprechen nun einige Methoden zu Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben. Des weiteren besprechen wir abschließend ein Beispiel dazu.

ZweiStichproben - Gaußtest (3.3.1)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt, wobei $\sigma _1$ und $\sigma _2$ bekannt sind.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{\sigma _1^2}{n_1}+\frac{\sigma _2^2}{n_2}}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Auch hier ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Zweistichproben - t - Test (3.3.2)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt, wobeiundunbekannt sind.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerten vor.
Fall I : Es gilt, dass $\sigma _1 = \sigma _2$
Fall II: Es liegen zwei gleich große Stichproben vor, d.h. $n _1 = n _2$ und es ist nicht bekannt, ob $\sigma _1 = \sigma _2$

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}}}.$


5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text )$
    Fall I . Hier ist t das jeweilige Fraktil der $t(n_1+n_2-2)$-Verteilung
    Falls $n_1+n_2-2>30,$ so kann alternativ die N(0,1)-Verteilung verwendet werden.
    Fall II: t-Verteilung mit $(n-1)\left[1+\frac 2{s_1^2/s_2^2+s_2^2/s_1^2}\right]$ Freiheitsgraden (Es ist auf ganze Zahlen zu runden !)
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approximativer Zweistichproben – Gaußest (3.3.3)

für Anteilswerte

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

Wir besprechen nun einige Methoden zu Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben. Des weiteren besprechen wir abschließend ein Beispiel dazu.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30.$
Beide Grundgesamtheiten sind beliebig verteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes: 

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.$


5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
    , wobei z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Approx. Zweistichproben – Gaußtest bei dichotomen GG (3.3.4)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30,$ $X_{11},...,X_{1n_1}$ bzw. $X_{21},...,X_{2n_2}.$
Beide Grundgesamtheiten sind dichotom.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Anteilswerte vor.
Die Approximationsbedingungen:
$5\leqslant \sum x_1i\leqslant n_1-5$ und $5\leqslant \sum x_2i\leqslant n_2-5$ sind erfüllt.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
  • b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$
  • c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(\sum _iX_1i+\sum _iX_2i)(n_1+n_2-\sum _iX_1i-\sum _iX_2i)}{(n_1+n_2)n_1n_2}}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ),$
    wobei z das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Zweistichproben – F – test (3.3.5) 

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Varianzen vor..

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\sigma _1^2=\sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2\neq \sigma _2^2$
  • b) $H_0:\sigma _1^2\geqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2<\sigma _2^2$
  • c) $H_0:\sigma _1^2\leqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2>\sigma _2^2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{s_1^2}{s_2^2}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.
  • a) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\frac{\alpha } 2}}\right)\cup \text (x_{1-\frac{\alpha } 2}^{'};\infty \text )$
  • b) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\alpha }}\right)$
  • c) $B=\text (x_{1-\alpha }^{'};\infty).$
    Es ist $x^{'}$ das jeweilige Fraktil der $F(n_1-1,n_2-1)$ -Verteilung und x das jeweilige Fraktil der $F(n_2-1,n_1-1)$ -Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Einfache Varianzanalyse (3.3.6)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen w unabhängige Stichproben vor, wobei w > 2 gelten muss.
Die Grundgesamtheiten sind normalverteilt oder näherungsweise normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • $H_0:\mu _1=\mu _2=\mu =...=\mu _w$ gegen
    $H_1:$ mindestens zwei der $\mu _i$ sind verschieden.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

  • $\text v=\frac{(n-w)\sum _{i=1}^wn_i(\overline x_i-\overline x_{\mathit{gesamt}})^2}{(w-1)\sum _{j=1}^w\sum _{i=1}^{n_j}n_{\mathit{ji}}(x_{\mathit{ji}}-\overline x_j)^2}.$
    $n_i$ sind die einzelnen Stichprobenumfänge, $n_{\mathit{ji}}$ sind die Häufigkeiten mit denen die Merkmalsausprägungen $x_{\mathit{ji}}$ in der Stichprobe j vorkommen.
5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h. 
$B=(x_{1-\alpha };\infty ).$
Es ist x das jeweilige Fraktil der F(w-1;n-w) - Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Vorzeichentest: Test auf den Median M (3.3.7)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
  • Die Grundgesamtheit sei beliebig verteilt. (Diese sei im Median M stetig)

  • Es liegt eine Stichprobe vor.

  • Die Beobachtungen der Stichprobe $x_{1,}x_2,...,x_n,$ der Zufallsvariablen $X_{1,}X_2,...,X_n$

    seien unabhängig identisch verteilt mit der dazugehörigen Verteilungsfunktion $F(x)$.

  • Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • $H_0:M=M_0$ gegen $H_1:M\neq M_0.$
    Falls $M_0$ der wahre Wert des Medians in der Grundgesamtheit ist, so wird erwartet, dass die Hälfte der Beobachtungen größer als $M_0$ ist. Dies bildet die Grundlage des Vorzeichentests.
    Praktisch bedeutet dies: Es werden die Beobachtungen gezählt, welche größer als $M_0$ sind. Im Falle, dass diese Anzahl zu groß oder zu klein ist, so führt dies zur begründeten Annahme, dass $M_0$ nicht der wahre Wert des Medians in der Grundgesamtheit ist.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes (= Anzahl der Beobachtungen, die größer als $M_0$ sind):

  • a) $v=\sum _{i=1}^ns(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}\text{ 0}\text{ }\mathit{sonst.}$
  • b) Für n > 20 ist v approximativ normalverteilt, d.h. für den Testfunktionswert:
    $v^{'}=\frac{s-0,5n}{0,5}\sqrt n.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl (Schritt 2) gewählt, d.h.

  • a) $B_1=\text (-\infty ;z_{\alpha /2}\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [n-z_{\alpha /2};\infty \text ).$
    Es ist z das Fraktil der Binomialverteilung zu den Parametern p = 0,5 und n.
  • b) $B^{'}=\left(-\infty ;-z_{1-\alpha /2}\right]\cup \left[z_{1-\alpha /2};\infty \right).$ Hier ist z das $1-\frac{\alpha } 2$ - Fraktil der Standardnormalverteilung.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn

  • a) $v\in B_1\text{oder}v\in B_2.$
  • b) $v^{'}\in B^{'}.$

Ein Beispiel wird für Klarheit sorgen.

Beispiel

Beispiel

Bei einer Untersuchung ergaben sich folgende im nachhinein geordneten Werte: 0,412; 0,326; 0.576; 0.610; 0.606; 0.606; 0.609; 0.611; 0.615; 0.655; 0.654; 0.662; 0.668; 0.670; 0.672; 0.71; 0.693; 0.84; 0.844; 0.97.

Es soll getestet werden: $H_0:M=0,618$ gegen $H_1:M\neq 0,618.$
Das Signifikanzniveau beträgt: $\alpha =4,14\text{ }\text{%}.$

Auswahl des richtigen Tests

Nach Voraussetzung soll der Vorzeichentest durchgeführt werden.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Diese sind erfüllt

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    $H_0:M=M_0$ gegen $H_1:M\neq M_0.$

  3. Schritt: Signifikanzniveau
    $\alpha = 0,0414$

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Es liegen 20 Beobachtungen vor, so dass $v=\sum _{i=1}^{20}s(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}0\text{ }\text{sonst.}$

    Es wird sofort ersichtlich, dass 11 Beobachtungen größer als 0,618 sind, also v = 11.

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    a) $B_1=\text (-\infty ;5\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [20-5;\infty \text ).$

    Das 0,0207 -Fraktil der Binmialverteilung ist gegeben - für n = 20 - durch: $s_{0,0414/2}=5.$
    $z_{0,0414/2} = z_{0,0207} $ aus B(20;0,5). Also ist fraglich P(x$\le$ $z_{0,0207}$) = 0,0207. Diese Zahl ist, nach Schema in einer B(20;0,5)-Tabelle gleich 5.

  6. Schritt: Testentscheidung

    Da $v=11\notin B_1\text{oder}B_2$, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 4,14 Prozent wird nicht verworfen, dass $M_0=0,618$ der wahre Median der Stichprobe ist.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen über einen Vorzeichentest ist falsch?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses StichprobentheorieStichprobentheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stichprobentheorie

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  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
  • Hochrechnung
    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
    • Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie
  • 40
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