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Stichprobentheorie

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ZweiStichprobentest - Vergleich zweier Erwartungswerte

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

 

ZweiStichproben des Gaußtests (3.3.1)

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich dabei um normalverteile Grundgesamtheiten, bei denen sowohl $\sigma _1$ als auch $\sigma _2$ bekannt sind.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1

  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet:
$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{\sigma _1^2}{n_1}+\frac{\sigma _2^2}{n_2}}}.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$

  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$

  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Zweistichproben des t - Tests (3.3.2)

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich dabei um normalverteilte Grundgesamtheiten, wobei diese unbekannt sind.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.


1. Fall: Dabei gilt: $\sigma _1 = \sigma _2$
2. Fall: Zwei gleich große Stichproben liegen vor, d.h. $n _1 = n _2$ wobei nicht bekannt ist, ob $\sigma _1 = \sigma _2$.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$

  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1

  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet:

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}}}$


5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$

  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$

  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text )$

    1. Fall: Das jeweilige Fraktil der $t(n_1+n_2-2)$-Verteilung ist t.
    Wenn $n_1+n_2-2>30,$ dann kann die N(0,1)-Verteilung als Alternative verwendet werden.
    2. Fall: t-Verteilung mit $(n-1)\left[1+\frac      2{s_1^2/s_2^2+s_2^2/s_1^2}\right]$ Freiheitsgraden (gerundet werden muss hierbei auf ganze Zahlen!)
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Approximativer Zweistichproben – Gaußest (3.3.3)

für Anteilswerte

 

Video: Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

 

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30$ vor.
Es handelt sich dabei um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1

  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet: 

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.$


5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.
  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$

  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$

  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$

  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.
6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Approx. Zweistichproben – Gaußtest bei dichotomen GG (3.3.4)

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor mit: $n_1,n_2>30,$ $X_{11},...,X_{1n_1}$ bzw. $X_{21},...,X_{2n_2}.$
Es handelt sich bei den beiden um dichotome Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Anteilswerte liegt ein Test vor.
Die Bedingungen der Approximation sind erfüllt:
$5\leqslant \sum x_1i\leqslant n_1-5$ und $5\leqslant \sum x_2i\leqslant n_2-5$ .

2. Wahl der Hypothese 

  • a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$

  • b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1$

  • c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$
3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert ist auszurechnen: $\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(\sum _iX_1i+\sum _iX_2i)(n_1+n_2-\sum _iX_1i-\sum _iX_2i)}{(n_1+n_2)n_1n_2}}}.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h. 

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$

  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$

  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$


  • Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Zweistichproben – F – test (3.3.5) 

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich bei den beiden um normalverteilte Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Varianzen liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

  • a) $H_0:\sigma _1^2=\sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2\neq \sigma _2^2$

  • b) $H_0:\sigma _1^2\geqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2

  • c) $H_0:\sigma _1^2\leqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2>\sigma _2^2.$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert ist auszurechnen:

$\text v=\frac{s_1^2}{s_2^2}.$


5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

  • a) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\frac{\alpha } 2}}\right)\cup \text (x_{1-\frac{\alpha } 2}^{'};\infty \text )$

  • b) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\alpha }}\right)$

  • c) $B=\text (x_{1-\alpha }^{'};\infty).$

  • Das jeweilige Fraktil der $F(n_1-1,n_2-1)$ -Verteilung ist $x^{'}$ und das jeweilige Fraktil der $F(n_2-1,n_1-1)$ -Verteilung ist x.


6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Einfache Varianzanalyse (3.3.6)

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Unabhängige Stichproben w liegen vor, bei denen allerdings w > 2 sein muss.
Es handelt sich, um normalverteilte bzw. näherungsweise normalverteilte Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

$H_0:\mu _1=\mu _2=\mu =...=\mu _w$ gegen
$H_1:$ mindestens zwei der $\mu _i$ sind unterschiedlich.

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet:

$\text v=\frac{(n-w)\sum _{i=1}^wn_i(\overline x_i-\overline x_{\mathit{gesamt}})^2}{(w-1)\sum _{j=1}^w\sum _{i=1}^{n_j}n_{\mathit{ji}}(x_{\mathit{ji}}-\overline x_j)^2}.$
$
n_i$ bezieht sich auf die jeweiligen Stichprobenumfänge, $n_{\mathit{ji}}$ beschreibt die Häufigkeiten und Merkmalsausprägungen $x_{\mathit{ji}}$ , welche in der Stichprobe j vorhanden sind.

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

$B=(x_{1-\alpha };\infty ).$

Das jeweilige Fraktil der F(w-1;n-w) - Verteilung ist x.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

Vorzeichentest: Test auf den Median M (3.3.7)

Methode

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1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es handelt sich dabei, um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit, welche im Median M stetig ist.
Eine Stichprobe liegt bereits vor.
Eine unabhängige, identische Verteilung mit der entsprechen Verteilungsfunktion $F(x)$.,
besteht in den Beobachtungen der Stichprobe $x_{1,}x_2,...,x_n,$ der Zufallsvariablen $X_{1,}X_2,...,X_n$
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegen Tests vor.

2. Wahl der Hypothese

$H_0:M=M_0$ gegenüber $H_1:M\neq M_0.$

Wenn es sich bei $M_0$ um den tatsächlichen Wert des Medians in der Grundgesamtheit handelt, dann kann erwartet werden, dass gut die Hälfte der Beobachtungen größer ist als $M_0$. Dieser Wert entspricht der Grundlage des Vorzeichentests. Genauer gesagt heißt es, dass die Beobachtungen gezählt werden, die größer sind als: $M_0$. Wenn die Anzahl zu groß oder zu klein ist, liegt die Annahme nah, dass es sich bei $M_0$ nicht um den wahren Wert des Medians in der Grundgesamtheit handelt.

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet (entspricht der Anzahl der Beobachtungen, welche größer sind als $M_0$):

           a) $v=\sum _{i=1}^ns(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}\text{ 0}\text{
               }\mathit{sonst.}$

           b) Für den Testfunktionswert:
               $v^{'}=\frac{s-0,5n}{0,5}\sqrt n.$   d.h. für n > 20 ist v approximativ normalverteilt. 

5. Bestimmung des Verwerfungsbereich in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

            a) $B_1=\text (-\infty ;z_{\alpha /2}\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [n-z_{\alpha /2};\infty
                \text ).$
                Es ist z das Fraktil der Binomialverteilung zu den Parametern p = 0,5 und n.

             b) $B^{'}=\left(-\infty ;-z_{1-\alpha /2}\right]\cup \left[z_{1-\alpha /2};\infty \right).$ Hier ist z das
                 $1-\frac{\alpha } 2$ - Fraktil der Standardnormalverteilung.

6. Wenn:

             a) $v\in B_1\text{oder}v\in B_2.$

             b) $v^{'}\in B^{'}.$

... so wird $H_0$ verworfen.

Das folgende Beispiel soll das verdeutlichen:

Beispiel

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Eine Ermittlung ergab die folgenden Werte, welche im Nachhinein sortiert wurden: 0,412; 0,326; 0.576; 0.610; 0.606; 0.606; 0.609; 0.611; 0.615; 0.655; 0.654; 0.662; 0.668; 0.670; 0.672; 0.71; 0.693; 0.84; 0.844; 0.97.

Es soll: $H_0:M=0,618$ gegen $H_1:M\neq 0,618.$ ausprobiert werden.
Der Wert des Signifikanzniveaus zeigt: $\alpha =4,14\text{ }\text{%}.$

Entscheidung über den richtigen Test

Der Vorzeichentest soll gemäß den Voraussetzung durchgeführt werden:

  1. Die Anwendungsvoraussetzungen sind gegeben.


  2. Wahl der Hypothese erfolgt: $H_0:M=M_0$ gegen $H_1:M\neq M_0.$ 


  3. Das Signifikanzniveau wurde festgelegt:
    
$\alpha = 0,0414$


  4. Der Testfunktionswert ausgerechnet:

    Bei 20 vorliegenden Beobachtungen, ist: $v=\sum _{i=1}^{20}s(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}0\text{ }\text{sonst.}$
 Zu erkennen ist, dass 11 Beobachtungen größer sind als 0,618 d.h. v = 11.


  5. Bestimmung des Verwerfungsbereiches


    a) $B_1=\text (-\infty ;5\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [20-5;\infty \text ).$
Gegeben ist das 0,0207 -Fraktil der Binmialverteilung und - für n = 20 - mittels: $s_{0,0414/2}=5.$
$z_{0,0414/2} = z_{0,0207} $ aus B(20;0,5). Es stellt sich die Frage nach P(x$\le$ $z_{0,0207}$) = 0,0207. Die gegebene Zahl ist, laut des Schemas in einer B(20;0,5)-Tabelle, gleich 5.


  6. Entscheidung über den Test
    
Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, denn $v=11\notin B_1\text{oder}B_2$.


  7. Deutung
    Ab einem Signifikanzniveau von 4,14 % wird nichts verworfen. Somit ist $M_0=0,618$ der tatsächliche Median der Stichprobe.