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Teil 1: Fachwirte - Wirtschaftsbezogene Qualifikationen - Betriebsstatistik als Entscheidungshilfe

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Teil 1: Fachwirte - Wirtschaftsbezogene Qualifikationen

Betriebsstatistik als Entscheidungshilfe

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Teil 1: Fachwirte - Wirtschaftsbezogene Qualifikationen


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01. Was ist das Wesen und die Aufgabe der Statistik?

Mit Statistik (= lateinisch: „status“ = Zustand) bezeichnet man die Gesamtheit aller Methoden zur Untersuchung von Massenerscheinungen sowie speziell die Aufbereitung von Zahlen und Daten in Form von Tabellen und Grafiken.

Die Aufgabe der Statistik besteht darin, Bestands- und Bewegungsmassen systematisch zu gewinnen, zu verarbeiten, darzustellen und zu analysieren. Dabei sind Bestandsmassen diejenigen Massen, die sich auf einen Zeitli beziehen, während Bewegungsmassen auf einen bestimmten Zeitraum entfallen.

 

02. Welchen Stellenwert hat die Betriebsstatistik?

Die Statistik ist ein Teilgebiet des Rechnungswesens und ein eigenständiges Instrument der Analyse, des Vergleichs und der Prognose. Kernfragen des betrieblichen Alltags können ohne die Methoden der Statistik nicht gelöst werden; z. B.:

  • Mithilfe der Stichprobentheorie lässt sich von Teilgesamtheiten aufgrundgesamtheiten schließen.

  • Mithilfe der Indexlehre können z. B. durchschnittliche Veränderungen der Preise zu einer einheitlichen Basis ermittelt werden.

 

03. In welchen Schritten erfolgt die Lösung statischer Fragestellungen?

  • Analyse der Ausgangssituation

  • Erfassen des Zahlenmaterials

  • Aufbereitung, d. h. Gruppierung und Auszählung der Daten und Fakten

  • Auswertung, d. h. Analyse des Zahlenmaterials nach methodischen Gesichtslien.

 

04. Wie kann statistisches Ausgangsmaterial erfasst und aufbereitet werden?

  • Die Erfassung des Zahlenmaterials kann erfolgen

    • als Befragung,

    • als Beobachtung oder

    • als Experiment.

    Dabei kann es sich um eine Vollerhebung oder um eine Teilerhebung (Stichprobe) handeln bzw. die Daten können primärstatistisch oder sekundärstatistisch erhoben werden (vgl. S. 419).

  • Aufbereitung:

    Das Zahlenmaterial kann erst dann ausgewertet und analysiert werden, wenn es in aufbereiteter Form vorliegt. Dazu werden die Merkmalsausprägungen geordnet – z. B. nach Geschlecht, Alter, Beruf, Region. Weitere Ordnungskriterien können sein:

    • ordnen des Zahlenmaterials in einer Nominalskala (qualitative Merkmale; „gleich/verschieden“)

    • ordnen des Zahlenmaterials in einer Kardinalskala oder einer Ordinalskala

    • Unterscheidung in diskrete und stetige Merkmale

    • Aufbereitung in Form einer Klassenbildung (bei stetigen Merkmalen)

    • Aufbereitung ungeordneter Reihen in geordnete Reihen

    • Bildung absoluter und relativer Häufigkeiten (Verteilungen).

Schrittfolge bei der Lösung statistischer Fragestellungen:

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05. Welche Prinzipien sind bei der Aufbereitung in Form von Tabellen zu berücksichtigen?

  • Tabellen bestehen aus Spalten und Zeilen. Zur besseren Übersicht können Zeilen und Spalten nummeriert werden.

  • Die Schnittlie von Zeilen und Spalten nennt man Felder oder Fächer.

  • Der Tabellenkopf ist die Erläuterung der Spalten.

    Er kann

    • eine Aufgliederung (z. B. „Belegschaft gesamt“, „davon weibliche Belegschaft“, „davon männliche Belegschaft“),

    • eine Ausgliederung („Belegschaft insgesamt“, „darunter weiblich“) oder

    • eine mehrstufige Darstellung („Belegschaft gesamt“, davon „männlich“, „davon ledig“, „davon verheiratet“)

    enthalten.

  • Tabellen können im Hoch- oder im Querformat wiedergegeben werden.

  • Das linke obere Feld (der Schnittli von Vorspalte und Tabellenkopf) kann als

    • Kopf zur Vorspalte,

    • als Vorspalte zum Kopf oder

    • als Kopf zur Vorspalte/Vorspalte zum Kopf

    gestaltet sein.

    Im Zweifelsfall kann dieses Fach auch leer bleiben, bevor eine nicht eindeutig zutreffende Bezeichnung gewählt wird.

Weitere Grundregeln zur Tabellengestaltung sind:

  • Jede Tabelle sollte eine Überschrift enthalten, aus der korrekt der Titel hervorgeht.

  • Bei einer quer dargestellten Tabelle sollte die Vorspalte links liegen.

  • Erläuterungen, die sich auf die gesamte Tabelle beziehen werden in einer Vorbemerkung wiedergegeben.

  • Erläuterungen, die sich auf einen Teil der Tabelle beziehen, stehen in der Fußnote.

  • Hinweise zur Tabellengestaltung können der DIN 55301 entnommen werden.

 

06. Wie können statistische Ergebnisse grafisch dargestellt werden?

Statistische Grafiken werden zur Veranschaulichung des vorhandenen Zahlenmaterials eingesetzt. Man verwendet folgende Grundformen:

Grafische Darstellungen der Statistik – Grundformen
Strecke
  • Säulendiagramm
  • Stabdiagramm
  • Balkendiagramm
  • Kurvendiagramm
Fläche
  • Kreisdiagramm
  • Flächendiagramm
  • Histogramm
  • Streuungsdiagramm
Bild
  • Kartogramm
  • Piktogramm

 

 

07. Welche Mittelwertberechnungen finden vor allem Anwendung?

Video: Betriebsstatistik als Entscheidungshilfe

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08. Welche Streuungsmaße finden vor allem Anwendung?

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Beispiele zur Berechnung von Mittelwerten und Streuungsmaßen

Bei der nachfolgenden Darstellung und Berechnung werden folgende allgemein üblichen Symbole und Zeichen verwendet (im Allgemeinen benutzt man bei der Kennzeichnung von Maßzahlen der Grundgesamtheit griechische und bei der Kennzeichnung von Maßzahlen der Stichprobe lateinische Buchstaben):

xi=alle Messwerte/Merkmalsausprägungen der Urliste/Stichprobe (i = 1, …, n)
xj=die verschiedenen Messwerte/Merkmalsausprägungen der Urliste/Stichprobe (j = 1, …, r)
μ=Mittelwert der Grundgesamtheit
Mz=Median (= Zentralwert)
Mo=Modalwert (= Modus = häufigster Wert)
R=Spannweite
imported
=Mittelwert der Stichprobe
N=Umfang der Grundgesamtheit
n=Umfang der Stichprobe
σ2=Varianz der Grundgesamtheit
s2=Varianz der Stichprobe
σ=Standardabweichung der Grundgesamtheit
s=Standardabweichung der Stichprobe
Σ=Summenzeichen

Die Beispielrechnungen gehen von folgender Messwertreihe aus:

4,354,803,754,954,205,104,656,004,055,25
5,104,503,155,254,653,455,854,505,554,80
6,454,053,004,205,103,155,404,655,104,50

 

Zu berechnen sind folgende Parameter der Reihe:

  • das arithmetische Mittel

  • der Median

  • der Modalwert

  • die Spannweite

  • die Varianz

  • die Standardabweichung.

  • Berechnung von Maßzahlen der Grundgesamtheit:

    • Das arithmetische Mittel μ

      einer Häufigkeitsverteilung ist die Summe aller Merkmalsausprägungen dividiert durch die Anzahl der Beobachtungen:

      • μ, ungewogen:

        $$μ = Σ \frac{xi}{N}     i = 1,\; 2,\; …,\; N$$

      • μ, gewogen:

        μ = Σ NJ xiN     j = 1, 2, …, r
        (r = Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen)
      • Zahlenbeispiel:

                  Σ
        4,354,803,754,954,205,104,656,004,055,2547,10
        5,104,503,155,254,653,455,854,505,554,8046,80
        6,454,053,004,205,103,155,404,655,104,5045,60
        Σ         139,50

        $$μ = \frac{139,5}{30} = 4,65$$

    • Median Mz (= Zentralwert):

      Ordnet man die Werte einer Urliste der Größe nach, so ist der Median dadurch gekennzeichnet, dass 50 % der Merkmalsausprägungen kleiner/gleich und 50 % der Merkmalsausprägungen größer/gleich dem Zentralwert Mz sind. Der Median teilt also die der Größe nach geordneten Werte in zwei „gleiche Hälften“:

      • bei N = gerade

        ist der Median das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte:

        $$M_{z} = ½ * (x_{N/2} + x_{N/2+1})\; $$

        Beispiel:

        Da N = 30 ist, wird das arithmetischen Mittel aus dem 15. und 16. Wert der (geordneten) Häufigkeitstabelle gebildet:

        imported

        $$M_{z} = ½ * (x_{15} + x_{16})$$

        $$ = \frac{4,65 + 4,65}{2} = 4,65$$

      • bei N = ungerade

        ist der Median der in der Mitte stehende Wert der geordneten Urliste:

        $$M_{z} = x_{(n+1)/2}$$

        Beispiel:

        Angenommen, man würde die vorliegende Messreihe von 30 Werten um den Wert x31 = 6,55 ergänzen, so erhält man als Median den Wert x16:

        $$M_{z} = x_{(31+1)/2} = x_{16} = 4,65$$

        Da es sich beim Median um einen relativ „groben“ Lageparameter zur Charakterisierung einer Verteilung handelt, sollte er nur bei einer kleinen Messreihe ermittelt werden. Im vorliegenden Fall von 30 Urlistenwerten ist er eher nicht zu empfehlen.

    • Modalwert Mo (= dichtester Wert = Modus):

      Als Modalwert bezeichnet man innerhalb einer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit (soweit vorhanden):

      xj3,003,153,453,754,054,204,354,504,65 Σ Nj
      Nj121122133 16
      xj4,804,95 5,105,255,405,555,856,006,45 
      Nj21 4211111 14
      Σ  Nj         30
      j = 1, …, 18         

       

      Beispiel:

      Aus der vorliegenden Häufigkeitstabelle lässt sich der Modalwert direkt ablesen: Es ist die Merkmalsausprägung mit der maximalen Häufigkeit

      $$N_{j} = 4$$

      $$M_{o} = 5,10$$

      Mittelwerte, die die Lage einer Verteilung beschreiben, reichen allein nicht aus, um eine Häufigkeitsverteilung zu charakterisieren. Es wird nicht die Frage beantwortet, wie weit oder wie eng sich die Merkmalsausprägungen um den Mittelwert gruppieren.

      Man berechnet daher sogenannte Streuungsmaße, die kleine Werte annehmen, wenn die Merkmalsbeträge stark um den Mittelwert konzentriert sind bzw. große Werte bei weiter Streuung um den Mittelwert.

    • Spannweite R (= Range):

      Die Spannweite R ist das einfachste Streuungsmaß. Sie wird als die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert definiert. Die Aussagekraft der Spannweite ist sehr gering und sollte daher nur für eine kleine Anzahl von Messwerten berechnet werden (im vorliegenden Beispiel also eher nicht geeignet).

      $$R = x_{max} – x_{min}$$

      oder bei geordneter Urliste:

      $$R = x_{N} – x_{1}$$

      Beispiel:

      $$R = x_{30} – x_{1} = 6,45 – 3 = 3,45$$

    • Mittlere quadratische Abweichung σ2 (= Varianz):

      Bei der Varianz σ2 wird das jeweilige Quadrat der Abweichungen zwischen der Merkmalsausprägung xi und dem Mittelwert x berechnet. Durch den Vorgang des Quadrierens erreicht man, dass große Abweichungen stärker und kleine Abweichungen weniger berücksichtigt werden. Die Summe der Quadrate wird durch N dividiert.

      • σ2, ungewogen:

        $$σ^{2} = \frac{Σ\; (xi – μ)2}{N}    i = 1,\; 2,\; …,\; N$$

      • σ2, gewogen:

        $$σ^{2} = \frac{Σ\; (xi – μ)2 * Nj}{N}    j = 1,\; 2,\; …,\; r$$

         

        Durch Umrechnung gelangt man zu folgender Formel; damit lässt sich die Varianz leichter berechnen:

        $$σ^{2} = \frac{1}{N} Σ\; N_{j}x_{j}^{2} – μ^{2}$$

        Bei einer hohen Zahl von Messwerten empfiehlt sich eine Arbeitstabelle zur Berechnung der Varianz:

        xjNjxj2Njxj2xj – μ(xj – μ)2(xj – μ)2Nj
        3,0019,009,00– 1,652,722,72
        3,1529,9219,84– 1,502,254,50
        3,45111,9011,90– 1,201,441,44
        3,75114,0614,06– 0,900,810,81
        4,05216,4032,80– 0,600,360,72
        4,20217,6435,28– 0,450,200,40
        4,35118,9218,92– 0,300,090,09
        4,50320,2560,75– 0,150,020,06
        4,65321,6264,870,000,000,00
        4,80223,0446,080,150,020,04
        4,95124,5024,500,30,090,09
        5,10426,01104,040,450,200,80
        5,25227,5655,120,600,360,72
        5,40129,1629,160,750,560,56
        5,55130,8030,800,900,810,81
        5,85134,2234,221,201,441,44
        6,00136,0036,001,,351,821,82
        6,45141,6041,601,803,243,24
        Σ39 668,97  20,26

        Beispiel:

        $$σ^{2} = \frac{Σ\; (xi – μ)2 * Nj}{N}$$

        $$= \frac{20,26}{30} = 0,68\; (gerundet)$$

        bzw.

        $$σ^{2} = \frac{1}{N} Σ N_{j}x_{j}^{2} – μ^{2}$$

        $$= \frac{668,97}{30} – 21,6225 = 0,68\; (gerundet)$$

    • Standardabweichung  σ (kurz: „Streuung“):

      Die Standardabweichung σ ist die positive Wurzel aus der Varianz; sie ist das wichtigste Streuungsmaß:

      $$σ = √σ^{2}$$

      Beispiel:

      $$σ = √0,68 = 0,82$$

  • Berechnung von Maßzahlen der Stichprobe:

    Die oben dargestellten Formeln zur Berechnung der Maßzahlen sind – bis auf die Berechnung der Varianz – analog; zur Kennzeichnung von Stichprobenparametern wird statt μ, n statt N, s2 statt σ2 und s statt σ verwendet; somit modifizieren sich die Formeln für den Mittelwert zu:

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    Bei der Berechnung der Varianz einer Stichprobe wird – genau genommen – keine mittlere quadratische Abweichung berechnet, sondern man verwendet die Formel

    imported

    Man dividiert also die Summe der Quadrate durch den um 1 verminderten Stichprobenumfang (= sogenannte empirische Varianz ). Für die Standardabweichung s gilt Entsprechendes. Es lässt sich mathematisch zeigen, dass diese Berechnungsweise notwendig ist, wenn von der Varianz der Stichprobe auf die Varianz der Grundgesamtheit geschlossen werden soll.