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Aufgabe 1:
An einer Statistik-Klausur nehmen n = 750 Studierende teil. Die Zufallsvariable Xi beschreibt dabei die benötigte Zeit zur Korrektur der i-ten Klausur (Erwartungswert = 25 min. Streuung = 5 min.). Mit welcher Wahrscheinlichkeit korregiert der Dozent alle Klausuren in maximal 24 Tage (je 10 h)?
Vertiefung
Lösung 1:
Als Erstes wird der Erwartungswert für die zu erwartende Korrekturzeit insgesamt veranschlagt:
E(Σ Xi) = Σ E(Xi) = Σ 25 = 750 · 25 min. = 18.750 min.
Die Varianz beträgt:
Var(ΣXi) = Σ Var(Xi) = Σ (4 min.)2 = Σ 16 min.2 = 750 · 16 min.2 = 12.000 min.2
Hinweis: Die letzte Gleichheit dies ist nur richtig wegen der Unabhängigkeit, speziell also wegen der Unkorreliertheit der Zufallsvariablen Xi.
Somit ist die Standardabweichung σ = 109,545 min.
Nun kann mit der Normalverteilung approximieren, man rechnet mit
X = ΣXi ~ N(18.750; 12.000).
P(X ≤ 24 d) = P(ΣXi ≤ 24 d)
= P(ΣXi≤ 24 · 10 h)
= P(ΣXi≤ 240 · 60 min.)
= P(ΣXi≤ 14.400 min.)
= P(${(ΣX_i - 18.750)} \over {(109,545)}$ ≤ ${(14.400 – 18.750)}\over {109,545}$)
= P(XSt. ≤ -39,71) = Φ (-39,71) = 1 - Φ (39,71) = 1 – 1 = 0.
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