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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgabe, Berechnung und Lösung zum Gesetz der großen Zahlen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe, Berechnung und Lösung zum Gesetz der großen Zahlen

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe :

An einer Klausur haben n = 500 Studenten teilgenommen. Die Zufallsvariable Xi (mit dem Erwartungswert von 30 und der Streuung von 3 Minuten) beschreibe die für die Korrektur der i-ten Klausur benötigte Zeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Korrektor für die Korrektur höchstens 20 Arbeitstage (à acht Zeitstunden) benötigt?

Vertiefung

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Lösung:

Zunächst muss der Erwartungswert für die erwartete Korrekturzeit insgesamt kalkuliert werden:

E(Σ Xi) = Σ E(Xi) = Σ 30 = 500·30 = 15.000 Minuten,

die Varianz beträgt

Var(ΣXi) = Σ Var(Xi)

TIPP:

Die letzte Gleichheit dies ist nur richtig wegen der Unabhängigkeit, speziell also wegen der Unkorreliertheit der Zufallsvariablen Xi!

= Σ 32

= Σ 9

= 500·9

= 4.500 Minuten2.

Damit ist die Standardabweichung σ = 67,082.

Nun kann mit der Normalverteilung approximiert werden, d.h. man rechnet mit X = ΣXi ~ N(15.000; 4.500). Also:

P(X ≤ 20 Tage) = P(ΣXi≤20 Tage)

= P(ΣXi≤20·8 Stunden)

= P(ΣXi≤ 160·60 Minuten)

= P(ΣXi≤ 9.600 Minuten)

= P((ΣXi - 15.000)/67,082) ≤ (9.600 – 15.000)/67,082)

= P(XSt. ≤ -80,498)

= φ (-80,498)

= 1 - φ (80,498)

= 1 – 1

= 0.