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Aufgabe :
An einer Klausur haben n = 500 Studenten teilgenommen. Die Zufallsvariable Xi (mit dem Erwartungswert von 30 und der Streuung von 3 Minuten) beschreibe die für die Korrektur der i-ten Klausur benötigte Zeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Korrektor für die Korrektur höchstens 20 Arbeitstage (à acht Zeitstunden) benötigt?
Vertiefung
Lösung:
Zunächst muss der Erwartungswert für die erwartete Korrekturzeit insgesamt kalkuliert werden:
E(Σ Xi) = Σ E(Xi) = Σ 30 = 500·30 = 15.000 Minuten,
die Varianz beträgt
Var(ΣXi) = Σ Var(Xi)
LAMBERT-TIPP:
Die letzte Gleichheit dies ist nur richtig wegen der Unabhängigkeit, speziell also wegen der Unkorreliertheit der Zufallsvariablen Xi!
= Σ 32
= Σ 9
= 500·9
= 4.500 Minuten2.
Damit ist die Standardabweichung σ = 67,082.
Nun kann mit der Normalverteilung approximiert werden, d.h. man rechnet mit X = ΣXi ~ N(15.000; 4.500). Also:
P(X ≤ 20 Tage) = P(ΣXi≤20 Tage)
= P(ΣXi≤20·8 Stunden)
= P(ΣXi≤ 160·60 Minuten)
= P(ΣXi≤ 9.600 Minuten)
= P((ΣXi - 15.000)/67,082) ≤ (9.600 – 15.000)/67,082)
= P(XSt. ≤ -80,498)
= φ (-80,498)
= 1 - φ (80,498)
= 1 – 1
= 0.
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