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Die Annuitätenmethode führt bei gleicher Laufzeit der verglichenen Investitionen nicht zu anderen Ergebnissen als die Kapitalwert- oder Endwertmethode, sie beleuchtet allerdings die Investition aus einem anderen Blickwinkel.
Expertentipp
Man fragt sich hier nämlich, welchen konstanten Überschuss (= Annuität = Rente = Rate) A man aus einer gegebenen Investition ziehen kann.
Formel zur Berechung der Annuität
Die Formel zur Berechung der Annuität lautet:
$\ A = C_0 \cdot q^n \cdot {q-1 \over q^n-1} $, wenn der Kapitalwert $\ C_0 $ bekannt ist bzw.
$\ A = C_n \cdot {q-1 \over q^n-1} $ , wenn der Endwert $\ C_n $ bekannt ist.
Wenn man lediglich den Endwert $\ C_n $ einer Investition hat, dann lässt sich selbstverständlich die eine Formel wegen
$\ C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n $ sehr leicht aus der anderen herleiten.
Beispiel zur Annuitätenmethode
So ist im Beispiel der Investition A der Kapitalwert $\ C^A_0 = 295,32\ € $, der Endwert $\ C^A_n = 382,45\ € $. Die Annuität des Projekts A ist damit
$\ A = 295,32 \cdot 1,09^3 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1}= 116,67 $ bzw.
$\ A = 382,45 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 116,67 $.
Bei Investition B liegt die Annuität bei
$\ A = 103,01 \cdot 1,09^3 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 40,69 $ bzw., anders gerechnet,
$\ A = 133,40 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 40,69 $.
Die folgende Tabelle verdeutlicht die Bedeutung der Annuitätenmethode anhand der Investition A:
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zahlungsreihe | -1000 | 800 | 300 | 400 |
Entnahme in t = 1 | -116,67 | |||
683,33 | 744,83 | |||
Entnahme int = 2 | -116,67 | |||
928,15 | 1011,69 | |||
Entnahme in t = 3 | -116,67 | |||
verbleibender Restwert | 1295,01 | |||
Aufgezinste Anschaffungsauszahlung | -1295,01 | |||
Saldo am Ende | 0 |
Tab. 13: Annuität als konstante Entnahme
Die Einzahlungen aus der Investition finanzieren die Annuität von 116,67 €, die der Investor jedes Jahr entzieht. Das was übrig beliebt (683,33 € im ersten Jahr), wird ein Jahr angelegt und steht im zweiten Jahr zur Verfügung, um die nächste Entnahme von 116,67 € zu finanzieren. Der verbleibende Betrag von 928,15 € wird wiederum angelegt. Zunächst verbleibt ein Rest im letzten Jahr - nach der dritten Entnahme der Annuität- von 1.295,01 €. Dieser Betrag wird allerdings in kompletter Höhe gebraucht für die Finanzierung der anfänglichen 1.000 €, denn $\ -1.000 \cdot 1,09^3 = -1.295,01\ € $.
Insgesamt reichen also die Investitionsüberschüsse der Jahre t = 1, t = 2 und t = 3 genau aus, um
- die Annuität A zu speisen, und um
- die Anschaffungsauszahlung zu finanzieren.
Hiernach bleibt nichts mehr übrig.
Ebenfalls kann man sich die Annuität A so klarmachen: Wenn man am Anfang $295,32 €$ zur Verfügung hat, so lassen sich - nach einjähriger Verzinsung des (Renten-)Barwerts - jedes Jahr $116,67 €$ dem Konto entziehen, und das drei Jahre lang. Am Ende bleibt dann nichts mehr übrig.
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
Verzinsung des Barwerts | 295,32 | 321,9 | ||
Entnahme in t = 1 | -116,67 | |||
Verzinsung des Saldos | 205,23 | 223,7 | ||
Entnahme in t = 2 | -116,67 | |||
Verzinsung des Saldos | 107,04 | 116,67 | ||
Entnahme in t = 3 | -116,67 | |||
Saldo am Ende | 0 |
Tab. 14: Annuität als konstante Auszahlung, durch Rentenbarwert finanziert
Entscheidungsregel zur Annuität
Methode
Führe die Einzelinvestition durch, wenn ihre Annuität positiv ist (Kapitalwert und Endwert sind dann auch positiv), d.h. wenn
$\ C_0 \geq 0 \Leftrightarrow C_n \geq 0 \Leftrightarrow A \geq 0 $ ist. Führe sie nicht durch, wenn die Annuität negativ ist
(Kapitalwert und Endwert sind dann auch negativ), d.h. wenn
$\ C_0 < 0 \Leftrightarrow C_n < 0 \Leftrightarrow A < 0 $ ist.
Beispiel
Der Kapitalwert eines Investitionsprojekts ist $4.000 €$. Bestimme die Annuität, wenn der Planungshorizont bei vier Jahren liegt. Der Kalkulationszins liege bei $8 %$. Mache die Probe!
Die Annuität rechnet man „zu Fuß“ oder mit dem Rentenbarwertfaktor:
$$\ A = {C_0 \over {(1+i)^n-1 \over i} \cdot {1 \over (1+i)^n}} = {4.000 \over {1,08^4-1 \over 0,08} \cdot {1 \over 1,08^4}} = {C_0 \over RBWF(4; 8\%)} = {4.000 \over 3,31213} = 1207,68 $$
Probe:
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Verzinsung des Barwertes | 4 | 4,32 | |||
Entnahme in t = 1 | -1207,68 | ||||
Verzinsung des Saldos | 3112,32 | 3361,31 | |||
Entnahme in t = 2 | -1207,68 | ||||
Verzinsung des Saldos | 2153,63 | 2325,92 | |||
Entnahme in t = 3 | -1207,68 | ||||
Verzinsung des Saldos | 1118,24 | 1207,69 | |||
Entnahme in t = 4 | -1207,69 | ||||
Saldo am Ende | 0 |
Tab. 15: Annuität als konstante Auszahlung
Video: Annuitätenmethode
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