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Investitionsrechnung

Annuitätenmethode

Die Annuitätenmethode führt bei gleicher Laufzeit der verglichenen Investitionen nicht zu anderen Ergebnissen als die Kapitalwert- oder Endwertmethode, sie beleuchtet allerdings die Investition aus einem anderen Blickwinkel.

Sie könnte auch im Gegensatz zu den anderen Methoden keinen Vorzeichenwechsel aufweisen:
Man fragt sich hier nämlich, welchen konstanten Überschuss (= Annuität = Rente = Rate) A man aus einer gegebenen Investition ziehen kann.

Formel zur Berechung der Annuität

Die Formel zur Berechung der Annuität lautet:

$\ A = C_0 \cdot q^n \cdot {q-1 \over q^n-1} $, wenn der Kapitalwert $\ C_0 $ bekannt ist bzw.
$\ A = C_n \cdot {q-1 \over q^n-1} $ , wenn der Endwert $\ C_n $ bekannt ist.

Wenn man lediglich den Endwert $\ C_n $ einer Investition hat, dann lässt sich selbstverständlich die eine Formel wegen

$\ C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n $ sehr leicht aus der anderen herleiten.

Beispiel zur Annuitätenmethode

So ist im Beispiel der Investition A der Kapitalwert $\ C^A_0 = 295,32\ € $, der Endwert $\ C^A_n = 382,03\ € $. Die Annuität des Projekts A ist damit

$\ A = 295,32 \cdot 1,09^3 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1}= 116,67 $ bzw.
$\ A = 382,45 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 116,67 $.

Bei Investition B liegt die Annuität bei

$\ A = 103,01 \cdot 1,09^3 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 40,69 $ bzw., anders gerechnet,
$\ A = 133,40 \cdot {1,09-1 \over 1,09^3-1} = 40,69 $.

Die folgende Tabelle verdeutlicht die Bedeutung der Annuitätenmethode anhand der Investition A:

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe -1000 800 300 400
Entnahme in t = 1   -116,67    
    683,33 744,83  
Entnahme int = 2     -116,67  
      928,15 1011,69
Entnahme in t = 3       -116,67
verbleibender Restwert       1295,01
Aufgezinste Anschaffungsauszahlung       -1295,01
Saldo am Ende       0

Tab. 13: Annuität als konstante Entnahme 

Die Einzahlungen aus der Investition finanzieren die Annuität von 116,67 €, die der Investor jedes Jahr entzieht. Das was übrig beliebt (683,33 € im ersten Jahr), wird ein Jahr angelegt und steht im zweiten Jahr zur Verfügung, um die nächste Entnahme von 116,67 € zu finanzieren. Der verbleibende Betrag von 928,15 € wird wiederum angelegt. Zunächst verbleibt ein Rest im letzten Jahr - nach der dritten Entnahme der Annuität- von 1.295,01 €. Dieser Betrag wird allerdings in kompletter Höhe gebraucht für die Finanzierung der anfänglichen 1.000 €, denn $\ -1.000 \cdot 1,09^3 = -1.295,01\ € $.

Insgesamt reichen also die Investitionsüberschüsse der Jahre t = 1, t = 2 und t = 3 genau aus, um

  • die Annuität A zu speisen, und um
  • die Anschaffungsauszahlung zu finanzieren.

Hiernach bleibt nichts mehr übrig.

Ebenfalls kann man sich die Annuität A so klarmachen: Wenn man am Anfang $295,32 €$ zur Verfügung hat, so lassen sich - nach einjähriger Verzinsung des (Renten-)Barwerts - jedes Jahr $116,67 €$ dem Konto entziehen, und das drei Jahre lang. Am Ende bleibt dann nichts mehr übrig.

Jahr 0 1 2 3
Verzinsung des Barwerts 295,32 321,9    
Entnahme in t = 1   -116,67    
Verzinsung des Saldos   205,23 223,7  
Entnahme in t = 2     -116,67  
Verzinsung des Saldos     107,04 116,67
Entnahme in t = 3       -116,67
Saldo am Ende       0

Tab. 14: Annuität als konstante Auszahlung, durch Rentenbarwert finanziert

Entscheidungsregel zur Annuität

Methode

Insgesamt lässt sich folgende Regel festhalten:

Führe die Einzelinvestition durch, wenn ihre Annuität positiv ist (Kapitalwert und Endwert sind dann auch positiv), d.h. wenn 

$\ C_0 \geq 0 \Leftrightarrow C_n \geq 0 \Leftrightarrow A \geq 0 $ ist. Führe sie nicht durch, wenn die Annuität negativ ist
(Kapitalwert und Endwert sind dann auch negativ), d.h. wenn

$\ C_0 < 0 \Leftrightarrow C_n < 0 \Leftrightarrow A < 0 $ ist.

Beispiel

Beispiel 15: 
Der Kapitalwert eines Investitionsprojekts ist $4.000 €$. Bestimme die Annuität, wenn der Planungshorizont bei vier Jahren liegt. Der Kalkulationszins liege bei $8 %$. Mache die Probe!

Die Annuität rechnet man „zu Fuß“ oder mit dem Rentenbarwertfaktor:

$$\ A = {C_0 \over {(1+i)^n-1 \over i} \cdot {1 \over (1+i)^n}} = {4.000 \over {1,08^4-1 \over 0,08} \cdot {1 \over 1,08^4}} = {C_0 \over RBWF(4; 8\%)} = {4.000 \over 3,31213} = 1207,68 $$

Probe:

Jahr 0 1 2 3 4
Verzinsung des Barwertes 4 4,32      
Entnahme in t = 1   -1207,68      
Verzinsung des Saldos   3112,32 3361,31    
Entnahme in t = 2     -1207,68    
Verzinsung des Saldos     2153,63 2325,92  
Entnahme in t = 3       -1207,68  
Verzinsung des Saldos       1118,24 1207,69
Entnahme in t = 4         -1207,69
Saldo am Ende         0

Tab. 15: Annuität als konstante Auszahlung