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Investitionsrechnung - Endwertmethode

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Investitionsrechnung

Endwertmethode

Inhaltsverzeichnis

Der Endwert $\ C_n $, der nach der Endwertmethode berechnet wird, gibt an, wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse am Ende der Laufzeit wert sind.

Beispiel zur Endwertmethode

Beispiel

Beispiel 8:
Dem A wird folgende Investition angeboten: Anfangsauszahlung heute $800 €$, $1.840 €$ Einzahlung ein Jahr später, Auszahlung zum Schluss $1.056 €$. Gerechnet wird mit einem Kalkulationszins von $5 %$.

Wie viel sind die Gewinne aus der Investition am Ende der Laufzeit wert?

Merke

Bei der Endwertmethode wird aufgezinst.

Dies führt auf dem unvollkommenen Kapitalmarkt auf den so genannten Endwert

$\ Cn = \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{n-t} $
$\ = (E_0-A_0) \cdot (1+i)^n + (E_1-A_1) \cdot (1+i)^{n – 1} + \ldots +(E_n-A_n) \cdot (1+i)^{n - n} $

Im Rahmen der o.e. Einzelentscheidung gilt damit

$\ C_2 =-800 \cdot 1,05^2 + 1.840 \cdot 1,05-1.056 =-6 $


Es ist unvorteilhaft, die Investition durchzuführen, weil die Aus- und Einzahlungen, auf die letzte Periode aufgezinst, einen negativen Wert ergeben.
Beim Endwert werden also die Zahlungen unterschiedlicher Perioden dadurch vergleichbar gemacht, dass man sie – wie oben schon erwähnt - aufzinst:

  • So wird z.B. der Einzahlungsüberschuss $\ E_{n-1}-A_{n-1} $ der vorletzten Periode einmal aufgezinst,
  • der Einzahlungsüberschuss $\ E_n-A_n $ der letzten Periode gar nicht (da es sich um Geld der letzten Periode handelt),

jener der nullten Periode, also $\ E_0-A_0 $, entsprechend n mal, da der Überschuss n Perioden aufgezinst bzw. das Defizit n Perioden lang finanziert werden muss.

Beispiel 9:
Berechne den Endwert folgender Investitionen $\ I_1, I_2\ und\ I_3 $ bei einem Kalkulationszins von $i = 11 %$.

Jahr 0 1 2 3
I1 -1.000 100 200  
I2 -500 300 300 300
I3 -500 550    

Der Endwert von $\ I_1 $ ist $$\ C_2 = -1.000 \cdot 1,11^2 + 100 \cdot 1,11^1 + 200 = -921,10\ € $$ die Investition lohnt sich also nicht.

Hingegen hat die Investition $\ I_2 $ einen Wert aller aufgezinsten Ein- und Auszahlungsüberschüsse von $$\ C_3 =-500 \cdot 1,11^3 + 300 \cdot 1,11^2 + 300 \cdot 1,11^1 + 300 = 318,81 € $$ Man hätte dies auch - da ab der ersten Periode alle Zahlungen gleich sind - mit Hilfe des Rentenendwertfaktors ausrechnen können: Dieser ergibt sich als $$ REWF(n,i) = {(1+i)^n-1 \over 1+i-1} = {(1+i)^n-1 \over i}$$ Wenn also jeweils n gleiche Zahlungen in den einzelnen Jahren erfolgen, so lässt sich der Endwert dieser gleichen Zahlungen auch mit dem sog. Rentenendwertfaktor kalkulieren. Dieser ist oftmals tabelliert (in Abhängigkeit von der Laufzeit n und dem Zinssatz i). Also rechnet man hier wie folgt:

$$\ \begin{align} C_3 & = -500 \cdot 1,11^3 + 300 \cdot {1,11^3-1 \over 1,11-1} \\ & = 300 \cdot 3,3421 – 500 \cdot 1,113 \\ & = -500 + 300 \cdot REWF (3;0,11) \\ & = 318,81\ € \end{align} $$ Die Investition $\ I_3 $ schließlich hat einen Endwert von $$\ C_1 = -500 \cdot 1,11 + 550 = -5\ € $$

Frage: Was bedeutet der Endwert $\ C_n $?
Antwort: Er gibt an, wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse am Ende  der Laufzeit wert sind.

Dies kann beispielhaft an der Investition $\ I_2 $ gezeigt werden:

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe I2 -500 300 300 300
Aufgezinster Wert des Geldes der zweiten Periode       333
Aufgezinster Wert des Geldes der ersten Periode       369,63
Aufgezinster Wert des Geldes der nullten Periode       -683,8
Endwert der Zahlungsreihe       318,89


Tab. 7: Endwert einer Zahlungsreihe als aufgezinste Gelder aller Perioden

Die $300 €$ des Jahres 2 sind am Ende des Jahres 3 dann $\ 300 \cdot 1,11 = 333\ € $ wert, das Geld des Jahres 1 entsprechend $\ 300 \cdot 1,11^2 = 369,63\ € $. Die Anschaffungsauszahlung von $500 €$ aus $t = 0$ muss in $t = 3$ mit Zinseszins in Höhe von $683,82 €$ zurückgezahlt werden.

Merke

Wenn also eine Investition mit einer Auszahlung am Anfang vorliegt, gibt der Endwert $\ C_n $ an, um wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse die aufgezinste Anfangsauszahlung
  • übersteigt (bei positivem Endwert $\ C_n $) oder 
  • unterschreitet (bei negativem Endwert $\ C_n $).

Für die Einzelentscheidung gilt damit:

Man entscheidet sich für (bzw. gegen) eine Investition, wenn der Endwert größer (bzw. wenn er kleiner) als null ist:

Merke

  • $\ C_n > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft 
  • $\ C_n < 0 \ldots$ Investition unvorteilhaft
Für die Auswahlentscheidung unter mehreren Alternativen gilt:
Wähle jene Investition, die den höheren Endwert besitzt
  •  $ C^A_n > C^B_n $ ,daraus folgt:  A ist besser als B