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Investitionsrechnung - Endwertmethode

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Investitionsrechnung

Endwertmethode

Inhaltsverzeichnis

Der Endwert $\ C_n $, der nach der Endwertmethode berechnet wird, gibt an, wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse am Ende der Laufzeit wert sind.

Beispiel zur Endwertmethode

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 8:
Dem A wird folgende Investition angeboten: Anfangsauszahlung heute $800 €$, $1.840 €$ Einzahlung ein Jahr später, Auszahlung zum Schluss $1.056 €$. Gerechnet wird mit einem Kalkulationszins von $5 %$.

Wie viel sind die Gewinne aus der Investition am Ende der Laufzeit wert?

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bei der Endwertmethode wird aufgezinst.

Dies führt auf dem unvollkommenen Kapitalmarkt auf den so genannten Endwert

$\ Cn = \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{n-t} $
$\ = (E_0-A_0) \cdot (1+i)^n + (E_1-A_1) \cdot (1+i)^{n – 1} + \ldots +(E_n-A_n) \cdot (1+i)^{n - n} $

Im Rahmen der o.e. Einzelentscheidung gilt damit

$\ C_2 =-800 \cdot 1,05^2 + 1.840 \cdot 1,05-1.056 =-6 $


Es ist unvorteilhaft, die Investition durchzuführen, weil die Aus- und Einzahlungen, auf die letzte Periode aufgezinst, einen negativen Wert ergeben.
Beim Endwert werden also die Zahlungen unterschiedlicher Perioden dadurch vergleichbar gemacht, dass man sie – wie oben schon erwähnt - aufzinst:

  • So wird z.B. der Einzahlungsüberschuss $\ E_{n-1}-A_{n-1} $ der vorletzten Periode einmal aufgezinst,
  • der Einzahlungsüberschuss $\ E_n-A_n $ der letzten Periode gar nicht (da es sich um Geld der letzten Periode handelt),

jener der nullten Periode, also $\ E_0-A_0 $, entsprechend n mal, da der Überschuss n Perioden aufgezinst bzw. das Defizit n Perioden lang finanziert werden muss.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 9:
Berechne den Endwert folgender Investitionen $\ I_1, I_2\ und\ I_3 $ bei einem Kalkulationszins von $i = 11 %$.
Jahr 0 1 2 3
I1-1.000100200 
I2-500300300300
I3-500550  

Der Endwert von $\ I_1 $ ist $$\ C_2 = -1.000 \cdot 1,11^2 + 100 \cdot 1,11^1 + 200 = -921,10\ € $$ die Investition lohnt sich also nicht.

Hingegen hat die Investition $\ I_2 $ einen Wert aller aufgezinsten Ein- und Auszahlungsüberschüsse von $$\ C_3 =-500 \cdot 1,11^3 + 300 \cdot 1,11^2 + 300 \cdot 1,11^1 + 300 = 318,81 € $$ Man hätte dies auch - da ab der ersten Periode alle Zahlungen gleich sind - mit Hilfe des Rentenendwertfaktors ausrechnen können: Dieser ergibt sich als $$ REWF(n,i) = {(1+i)^n-1 \over 1+i-1} = {(1+i)^n-1 \over i}$$ Wenn also jeweils n gleiche Zahlungen in den einzelnen Jahren erfolgen, so lässt sich der Endwert dieser gleichen Zahlungen auch mit dem sog. Rentenendwertfaktor kalkulieren. Dieser ist oftmals tabelliert (in Abhängigkeit von der Laufzeit n und dem Zinssatz i). Also rechnet man hier wie folgt:

$$\ \begin{align} C_3 & = -500 \cdot 1,11^3 + 300 \cdot {1,11^3-1 \over 1,11-1} \\ & = 300 \cdot 3,3421 – 500 \cdot 1,113 \\ & = -500 + 300 \cdot REWF (3;0,11) \\ & = 318,81\ € \end{align} $$ Die Investition $\ I_3 $ schließlich hat einen Endwert von $$\ C_1 = -500 \cdot 1,11 + 550 = -5\ € $$

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Frage: Was bedeutet der Endwert $\ C_n $?
Antwort: Er gibt an, wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse am Ende  der Laufzeit wert sind.

Dies kann beispielhaft an der Investition $\ I_2 $ gezeigt werden:

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe I2-500300300300
Aufgezinster Wert des Geldes der zweiten Periode   333
Aufgezinster Wert des Geldes der ersten Periode   369,63
Aufgezinster Wert des Geldes der nullten Periode   -683,8
Endwert der Zahlungsreihe   318,89


Tab. 7: Endwert einer Zahlungsreihe als aufgezinste Gelder aller Perioden

Die $300 €$ des Jahres 2 sind am Ende des Jahres 3 dann $\ 300 \cdot 1,11 = 333\ € $ wert, das Geld des Jahres 1 entsprechend $\ 300 \cdot 1,11^2 = 369,63\ € $. Die Anschaffungsauszahlung von $500 €$ aus $t = 0$ muss in $t = 3$ mit Zinseszins in Höhe von $683,82 €$ zurückgezahlt werden.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Wenn also eine Investition mit einer Auszahlung am Anfang vorliegt, gibt der Endwert $\ C_n $ an, um wie viel die aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse die aufgezinste Anfangsauszahlung
  • übersteigt (bei positivem Endwert $\ C_n $) oder 
  • unterschreitet (bei negativem Endwert $\ C_n $).

Für die Einzelentscheidung gilt damit:

Man entscheidet sich für (bzw. gegen) eine Investition, wenn der Endwert größer (bzw. wenn er kleiner) als null ist:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  • $\ C_n > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft 
  • $\ C_n < 0 \ldots$ Investition unvorteilhaft
Für die Auswahlentscheidung unter mehreren Alternativen gilt:
Wähle jene Investition, die den höheren Endwert besitzt
  •  $ C^A_n > C^B_n $ ,daraus folgt:  A ist besser als B