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Investitionsrechnung - Newtonsches Näherungsverfahren

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Investitionsrechnung

Newtonsches Näherungsverfahren

Das Newtonschen Näherungsverfahren hat das Ziel, sich einer Nullstelle anzunähern.

So wird in unserem Fall ein Punkt bei der Kapitalwertkurve erfasst und es wird die Tangente am Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ angelegt. Dann wird der Schnittpunkt der Tangente mit der Abszisse abgelesen, um hieraus eine Näherung für den internen Zinsfuß zu ermitteln.

Um die Steigung zu bestimmen, wird folgende Formel verwendet: $\ \alpha = {C_0(i_1) \over i_2-i_1} $

Schlussfolgernd ist es noch wichtig zu erwähnen, dass die Steigung der Tangente und der Kapitalwertkurve am Punkt identisch sind, da hier die Tangente angelegt wird. Somit lässt sich die Formel auch wie folgt darstellen:

$\ C_0´(i_1) = {{C_0(i_1) \cdot P} \over i_2-i_1} $

 

Für eine bessere Verständlichkeit ist die Vorgehensweise auf folgendem Bild veranschaulicht.

Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens
Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens

Formel zur Berechnung

Diese Formel wird nun nach $\ i_2 $ aufgelöst und man erhält das Newtonsche Näherungsverfahren.

Hierbei gilt es die Ableitung im Nenner zu beachten.

Merke

Hier klicken zum AusklappenNewtonsches Näherungsverfahren: $$\ i_2 = i_1 - {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$

Schema zum Newtonverfahren

 

Zur besseren Handhabbarkeit auch hier ein Schema:

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Newtonsches Näherungsverfahren:

1. Herausfinden eines Punktes $\ i_1 $ an dem der Kapitalwert sich 0 nähert oder bereits nahe an 0 liegt. 
Dieser Kapitalwert wird notiert und $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ genannt.
2. Erstellung der Kapitalwertfunktion mit i als variable
3. Ableitung der Kapitalwertfunktion nach i
4. Einsetzen des Kalkulationszinses $\ i_1 $ -> Bilde $\ C_0´(i_1) $
5. Einsetzen der Werte von 1. und 4. in die Formel: $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$
Das Ergebnis ist die Approximation für den internen Zinsfuß

Beispiel zum Newtonverfahren

Seien folgende Werte gegeben: 

$A_0$ = 6.000 €, $E_1$ = 2.400 €, $E_2$ = 3.600 €, $E_3$ = 1.200 €.

$\ i_1 $ = 10 %

Kapitalwert: $\ C_0(i_1) $ = +58,6026€ 

Somit ist der Wert relativ nah bei null. Die allgemeine Kapitalwertfunktion sieht folgendermaßen aus:

$$\ C_0(i) = - 6.000 + {2.400 \over 1+i} + {3.600 \over (1+i)^2} + {1.200 \over (1+i)^3} $$

Diese wird nun nach i abgeleitet:

$$\ C_0(i) = {-2.400 \over (1+i)^2} - {7.200 \over (1+i)^3} - {3.600 \over (1+i)^4} $$

An der Stelle $\ i_1 = 0,1 $ ergibt sich: $$\ C_0´(0,1) = - 9.851,79 $$

Nun werden die Werte noch eingesetzt:

$$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,1 – ({58,6026\over -9.851,79}) = 0,1059 = 10,59\ \% $$

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas Ergebnis des Newtonschen Verfahrens wird umso genauer, desto näher der anfänglich gesucht Punkt (P) an der Abszisse liegt. Ist es möglich hier einen genauen Punkt zu finden, der nahe an der Abszisse liegt, ist das newtonsche Verfahren der im nächsten Kapitel vorgestellten linearen Interpolation vorzuziehen.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 19:
Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe-96036120-602.400

Approximiere den internen Zinsfuß der folgenden Investition mit dem Newton-Verfahren. Mit dem Newton-Verfahren rechnet man folgendermaßen: Bei $\ i_1 = 25 $ % hat man  $\ C_0 = 97,92€$. Der Kapitalwert ist allgemein $$\ C_0 = -960+ {36 \over (1+i)} +{120 \over (1+i)^2} + -60 \cdot {1 \over (1+i)^3} +2.400 \cdot {1 \over (1+i)^4} $$ Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion ist $$\ C_0 = {-36 \over (1+i)^2}- {240 \over (1+i)^3}+ {180 \over (1+i)^4}-{9.600 \over (1+i)^5} $$ An der Stelle $\ i_1 = 0,25 $ erhält man $\ C_0'(0,25) = -3.217,92$. Also setzt man ein:

$$\ i_2 = i_1 -{C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,25 - {97,92\over (-3.217,92)} = 0,2804 = 28,04\ \% $$