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Das Newtonschen Näherungsverfahren hat das Ziel, sich einer Nullstelle anzunähern.
So wird in unserem Fall ein Punkt bei der Kapitalwertkurve erfasst und es wird die Tangente am Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ angelegt. Dann wird der Schnittpunkt der Tangente mit der Abszisse abgelesen, um hieraus eine Näherung für den internen Zinsfuß zu ermitteln.
Um die Steigung zu bestimmen, wird folgende Formel verwendet: $\ \alpha = {C_0(i_1) \over i_2-i_1} $
Schlussfolgernd ist es noch wichtig zu erwähnen, dass die Steigung der Tangente und der Kapitalwertkurve am Punkt P identisch sind, da hier die Tangente angelegt wird. Somit lässt sich die Formel auch wie folgt darstellen:
$\ C_0´(i_1) = {{C_0(i_1) \cdot P} \over i_2-i_1} $
Für eine bessere Verständlichkeit ist die Vorgehensweise auf folgendem Bild veranschaulicht.
Formel zur Berechnung
Diese Formel wird nun nach $\ i_2 $ aufgelöst und man erhält das Newtonsche Näherungsverfahren.
Hierbei gilt es die Ableitung im Nenner zu beachten.
Merke
Schema zum Newtonverfahren
Zur besseren Handhabbarkeit auch hier ein Schema:
-
1. Herausfinden eines Punktes $\ i_1 $ an dem der Kapitalwert sich 0 nähert oder bereits nahe an 0 liegt.
Dieser Kapitalwert wird notiert und $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ genannt.
2. Erstellung der Kapitalwertfunktion mit i als variable
3. Ableitung der Kapitalwertfunktion nach i
4. Einsetzen des Kalkulationszinses $\ i_1 $ -> Bilde $\ C_0´(i_1) $
5. Einsetzen der Werte von 1. und 4. in die Formel: $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$
Das Ergebnis ist die Approximation für den internen Zinsfuß
Beispiel zum Newtonverfahren
Seien folgende Werte gegeben:
$A_0$ = 6.000 €, $E_1$ = 2.400 €, $E_2$ = 3.600 €, $E_3$ = 1.200 €.
$\ i_1 $ = 10 %
Kapitalwert: $\ C_0(i_1) $ = +58,6026€
Somit ist der Wert relativ nah bei null. Die allgemeine Kapitalwertfunktion sieht folgendermaßen aus:
$$\ C_0(i) = - 6.000 + {2.400 \over 1+i} + {3.600 \over (1+i)^2} + {1.200 \over (1+i)^3} $$
Diese wird nun nach i abgeleitet:
$$\ C_0(i) = {-2.400 \over (1+i)^2} - {7.200 \over (1+i)^3} - {3.600 \over (1+i)^4} $$
An der Stelle $\ i_1 = 0,1 $ ergibt sich: $$\ C_0´(0,1) = - 9.851,79 $$
Nun werden die Werte noch eingesetzt:
$$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,1 – ({58,6026\over -9.851,79}) = 0,1059 = 10,59\ \% $$
-
Beispiel
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Zahlungsreihe | - 960 | 36 | 120 | - 60 | 2.400 |
Approximiere den internen Zinsfuß der folgenden Investition mit dem Newton-Verfahren. Mit dem Newton-Verfahren rechnet man folgendermaßen: Bei $\ i_1 = 25 $ % hat man $\ C_0 = 97,92€$.
Der Kapitalwert ist allgemein $$\ C_0 = -960+ {36 \over (1+i)} +{120 \over (1+i)^2} + -60 \cdot {1 \over (1+i)^3} +2.400 \cdot {1 \over (1+i)^4} $$
Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion ist $$\ C_0 = {-36 \over (1+i)^2}- {240 \over (1+i)^3}+ {180 \over (1+i)^4}-{9.600 \over (1+i)^5} $$
An der Stelle $\ i_1 = 0,25 $ erhält man $\ C_0'(0,25) = -3.217,92$.
Also setzt man ein: $$\ i_2 = i_1 -{C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,25 - {97,92\over (-3.217,92)} = 0,2804 = 28,04\ \% $$
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