Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

Bei konstanter Kapitalbindung, also bei konstanten Zahlungsrückflüssen, wird der interne Zinsfuß wie folgt errechnet:

Konstante Kapitalbindung 

i* bei einer Normalinvestition unter folgenden Prämissen:

Anfangsauszahlung bei n=0. Des Weiteren müssen in jeder Periode die gleichen Einzahlungsüberschüsse generiert werden.

Rückflüsse in jeder Periode in Höhe von 3.600 €.

In der letzten Periode ist dies auch der Fall, da hier die anfänglichen 6.000€ (welche in Form eines Kredites zur Verfügung standen) zurückgezahlt werden. 

$\ i^* = {3.600 \over 6.000} \cdot 100\ \% = 60\ \% $.

Somit ist die Verzinsung 60 %

Probe: 6000 € * 0,6 = 3.600 €

Berechnung nach der p – q - Formel 

Sind exakt zwei Perioden bei einer Investition vorhanden, kann die p - q Formel angewendet werden.

p-q-Formel
$$\ x_2 + px + q = 0 \Rightarrow x_{1,2} = -{p \over 2} \pm \sqrt{({p \over 2})^2-q} $$.

Da der Zinsfuß den Kapitalwert bzw. den Endwert gleich null setzt, kann man diesen auch über diese beiden Methoden berechnen.

Berechnung über den Kapitalwert

$ \begin{align} C_0 = 0 & \Leftrightarrow -1.200+ {2.760 \over 1+i}- {1.584 \over (1+i)^2}=0
\\ & \Leftrightarrow -{1.200 \cdot (1+i)^2} + {2.760 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)}-{1.584 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)^2}=0
\\ & \Leftrightarrow {-1.200 \cdot (1+i)^2+2.760 \cdot (1+ i)- 1.584 }=0
\\ substituieren:&  (1+i)=u
\\ & \Leftrightarrow -1.200 u^2 + 2.760u – 1.584 = 0
\\ & \Leftrightarrow u^2 - 2,3 u + 1,32 = 0
\\ & \Rightarrow u_{1,2} = - \left({-2,3 \over 2} \right )\pm \sqrt{\left({-2,3 \over 2} \right )^2-1,32}=1,15 \pm 0,05 \end{align} $.

Die Lösungen für u = 1 + i sind demnach $\ u_1 = 1,1 $ und $\ u_2 = 1,2 $.

Also betragen die beiden Lösungen für den internen Zinsfuß $\ i^*_1 = 10\ \% $ und $\ i^*_2 = 20\ \% $.

Berechnung über den Endwert

Die Berechnung kann auch über den Endwert erfolgen. Hierzu wird dieser gleich null gesetzt und die Gleichung dann aufgelöst:

$\ C_n = -1.200 \cdot (1 + i)^2 + 2.760 \cdot (1 + i) – 1.584 = 0 $.

Ein Auflösen der Gleichung erfolgt analog zu der Kapitalwertmethode

Da der interne Zinsfuß, wie bereits oben errechnet, nicht immer eindeutig bestimmbar oder aber teilweise gar nicht bestimmbar ist, besitzt auch diese Methode ihre Schwierigkeiten und ist nicht in allen Fällen anwendbar.

Beispiel:

Abb1: keine Eindeutigkeit des internen Zinsfußes

Kapitalwertkurve mit zwei internen Zinsfüßen

bei diesem Beispiel existieren zwei Zinsfüße, an denen der Kapital- oder Endwert gleich null entspricht.

Dies ist bei 10 % und 20 % der Fall.

Abb2: Grafische Darstellung der zwei internen Zinsfüße

Ersichtlich wird hier, dass der interne Zinsfuß nicht eindeutig bestimmt ist. Auch sieht man, dass die vorige Regel interne Zinsfuß > Kalkulationszins nicht immer richtig ist.

Interner Zinsfuß und Rentabilität

Durch die fehlende Präzision bei der Bestimmung des internen Zinsfußes, ist dieser nur bedingt als Rentabilitätskennzahl zu verwenden. Die Problematik setzt sich auch bei längeren Laufzeiten als zwei Perioden fort, da ab dann nur noch approximativ an eine Lösung herangegangen wird. 

Schlussfolgernd ist der interne Zinsfuß vielmehr als Vorteilhaftigkeitsmaßstab zu verwenden und nicht als absoluter.

Wird dieser bei Normalinvestitionen mit dem Kalkulationszins verglichen, kann jedoch durchaus eine valide Aussage über die Vorteilhaftigkeit der Investition getroffen werden.

bei einer Laufzeit von 2 Perioden gibt es das exakte Lösungsverfahren der p-q-Formel bzw. der quadratischen Ergänzung. Übersteigt die Laufzeit jedoch zwei Perioden, müssen anderen Verfahren angewendet werden.

Achtung:

• Sind die Lösungen für Laufzeiten von ein oder zwei Perioden (n=1, n=2) noch exakt, werden die Ergebnisse bei Laufzeiten über zwei Perioden nur noch approximativ bestimmt. Hierzu gibt es zwei Methoden:
  
  • lineare Interpolation
  • Newtonsche Näherungsverfahren