Inhaltsverzeichnis
Im Gegensatz zu der Endwertmethode werden hier die Einzahlungsüberschüsse auf den Endzeitpunkt der Laufzeit abgezinst. Somit werden die Beträge heruntergerechnet und nicht raufgerechnet.
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Errechnet wird durch diese Methode der Kapitalwert
Formel zur Berechnung des Kapitalwerts
Merke
$$\ C_0 = \sum_{t=0}^{n}{E_t-A_t \over (1+i)^t}= \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{-t} $$
Berechnung des Kapitalwerts
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Folgende Investition ist gegeben: Anfangsauszahlung: 1000 €
Einzahlung nach 1. Jahr: 2000 €
Auszahlung zum Ende: 1000 €
Der Kalkulationszins beträgt 6%
Berechnung des Kapitalwerts:
Rechnung:
$\ C_0 = -1000+ 2.000 \cdot 1,06^-1 – 1000 \cdot 1,06^-2 = -3,20 $.
Man entscheidet sich für (bzw. gegen) eine Investition, wenn der Endwert größer (bzw. wenn er kleiner) als null ist:
$\ C_n > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft
$\ C_n < 0 \ldots$ Investition unvorteilhaft
Sofern es mehrere Alternativen gibt, wird die Investition mit dem höchsten Endwert bevorzugt.
$ C^A_0 > C^B_0 $ in diesem Falle ist A besser als B
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Kapitalwertberechnung der Investitionen $\ I_1,\ I_2 $ und $\ I_3 $. Kalkulationszins 11%
Die untenstehende Tabelle enthält die errechneten Kapitalwerte. Die bereits berechneten Endwerte wurden vom vorigen Kapitel übernommen.
Hier sehen wir die Interdependenz des Kapital- und Endwerts, da beide dasselbe Vorzeichen haben
| Investition | Kapitalwert $\ C_0 $ | Endwert $\ C_n $ |
| $\ I_1 $ | -897,10 | - 1.105,32 |
| $\ I_2 $ | 279,74 | 382,58 |
| $\ I_3 $ | -5,41 | -6 |
Tab 8: Endwert und Kapitalwert
Zinseszinsformel
Zu erklären ist das mit der Zinseszinsformel:
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Somit ist der Endwert nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert und hat demzufolge immer dasselbe Vorzeichen.
Berechnung:
Investition 1: $\ -897,10 \cdot 1,11^2 = - 1.105,32 $,
Investition 2: $\ 279,74 \cdot 1,11^3 = 382,58 $ und
Investition 3: $\ -5,41 \cdot 1,11^1 = -6 $.
Somit lassen sich Endwerte aus Kapitalwerten berechnen und Vice versa.
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Es macht also keinen Unterschied, ob die Investitionen auf einen Zeitpunkt $t = 0$ abgezinst werden,
oder dass sie auf einen Zeitpunkt $t = n$ aufgezinst werden.
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Berechnung der Folgenden Investitionsalternativen. Der Zins beträgt 9%
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zahlungsreihe A | -1200 | 960 | 360 | 480 |
| Zahlungsreihe B | -1200 | 360 | 960 | 240 |
Vergleiche die beiden Investitionen anhand ihrer Kapitalwerte!
Berechnung:
$\ C^A_0 = -1.200 + {960 \over 1,09}+ {360 \over 1,09^2}+ {480 \over 1,09^3}=354,38$
$\ C^B_0 = -1.200 + {360 \over 1,09}+{960 \over 1,09^2}+{240 \over 1,09^3}=123,61 $.
Ergebnis:
Investition A weist einen höheren Kapitalwert auf. Da hier die hohen Zahlungsrückflüsse zu einem früheren Zeitpunkt erfolgen und die Rückflüsse an sich bei beiden Investitionen gleich sind, ist dieses Ergebnis auch durch ein simples Ablesen schon voraussehbar.
Schlussfolgernd lässt sich also aus den Zahlungsreichen an sich auch schon eine Aussage treffen. Hierbei spricht man von Differenzinvestitionen. In diesem Falle wird zwischen den Investitionen A und B differenziert, wobei B die Basisinvestition ist.
Zahlungsreihe der Differenzinvestition
Berechnung der Zahlungsreihe von A - B:
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B | 0 | 600 | -600 | 240 |
Tab 9: Zahlungsreihe der Differenzinvestition A und B
Berechnung des Kapitalwerts: 230,77 €
Merke
Dies ist schlichtweg und einfach die Differenz der beiden Investitionen: 354,38 - 123,61 = 230,77 €
Kapitalwert der Differenzinvestition
Benötigt:
Begriff der Normalinvestition. Besondere Inbetrachtnahme beim internen Zinsfuß.
Diese Normalinvestition liegt vor, wenn nach den Anfangsauszahlungen über den Zeitraum der Investition nur noch Einzahlungen generiert werden. Somit existiert hier einmalig ein Vorzeichenwechsel.
Beispiel
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Normalinvestition? |
| I1 | -600 | -360 | 12 | 120 | 60 | 6 | ja |
| I2 | -360 | 12 | 36 | 48 | - | - | ja |
| I3 | -120 | 1,2 | -24 | 120 | 36 | - | nein |
| I4 | -60 | 150 | 120 | 120 | 120 | -12 | nein |
Tab 10: Normalinvestitionen und Nicht-Normalinvestitionen
Die beiden ersten Investitionen (I1 und I2) sind die oben angesprochenen Normalinvestitionen.
Weiterführend existieren in der Kostenrechnung noch reguläre Investitionen.
Diese zeichnen sich dadurch aus, dass bei einer kumulierten Betrachtungsweise exakt ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Dies wird an folgendem Beispiel deutlich:
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Regulärinvestition:
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Einzahlungsüberschuss | - 180 | 110 | - 60 | 240 | - 36 |
| Kumulierte Einzahlungsüberschüsse | - 180 | - 60 | -120 | 120 | 84 |
Hier sieht man deutlich, dass die normale Zahlungsreihe der Einzahlungsüberschüsse mehrere Vorzeichenwechsel aufweist, es sich also nicht um eine Normalinvestition handeln kann.
Die kumulierten Werte haben jedoch exakt einen Vorzeichenwechsel, wie es Voraussetzung einer Regulärinvestition ist.
Merke
Verfügt die normale Zahlungsreihe über lediglich einen Vorzeichenwechsel, wird die kumulierte Zahlungsreihe auch über lediglich einen Vorzeichenwechsel aufweisen.
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Einzahlungsüberschuss | - 180 | - 120 | 60 | 360 | 120 |
| Kumulierte Einzahlungsüberschüsse | - 180 | -300 | - 240 | 120 | 240 |
Tab 11: Unkumulierte und kumulierte Zahlungsreihe bei Normalinvestition
Auch ist es möglich, dass gar kein Vorzeichenwechsel stattfindet:
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Einzahlungsüberschuss | - 240 | 24 | 36 | 48 | 72 |
| Kumulierte Einzahlungsüberschüsse | - 240 | - 216 | - 180 | - 132 | - 60 |
Tab 12: kein Vorzeichenwechsel
Hinweis
Nicht jede reguläre Investition ist eine Normalinvestition, jedoch ist jede Normalinvestition regulär oder besitzt gar keinen Vorzeichenwechsel.
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