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Kapitalwertmethode

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Im Gegensatz zu der Endwertmethode werden hier die Einzahlungsüberschüsse auf den Endzeitpunkt der Laufzeit abgezinst. Somit werden die Beträge heruntergerechnet und nicht raufgerechnet.

Merke

Hier klicken zum AusklappenIn dem Fall der Kapitalwertmethode stellt sich also die Frage. Wie viel sind die erwirtschafteten Gewinne am Anfang der Laufzeit Wert?

Errechnet wird durch diese Methode der Kapitalwert

Formel zur Berechnung des Kapitalwerts

Merke

Hier klicken zum AusklappenKapitalwert $$\ C_0 = \sum_{t=0}^{n}{E_t-A_t \over (1+i)^t}= \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{-t} $$


Beispiel zur Berechnung des Kapitalwerts

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 10:


Folgende Investition ist gegeben: Anfangsauszahlung: 1000 €
Einzahlung nach 1. Jahr: 2000 €
Auszahlung zum Ende: 1000 €

Der Kalkulationszins beträgt 6%

Berechnung des Kapitalwerts:

Rechnung:

$\ C_0 = -1000+ 2.000 \cdot 1,06^-1 – 1000 \cdot 1,06^-2 = -3,20 $.

 

Man entscheidet sich für (bzw. gegen) eine Investition, wenn der Endwert größer (bzw. wenn er kleiner) als null ist:

$\ C_n > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft 

$\ C_n < 0 \ldots$ Investition unvorteilhaft

Sofern es mehrere Alternativen gibt, wird die Investition mit dem höchsten Endwert bevorzugt.

 $ C^A_0 > C^B_0 $ in diesem Falle ist A besser als B

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 11:

Kapitalwertberechnung der Investitionen $\ I_1,\ I_2 $ und $\ I_3 $. Kalkulationszins 11%

Die unten stehende Tabelle enthält die errechneten Kapitalwerte. Die bereits berechneten Endwerte wurden vom vorigen Kapitel übernommen.

Hier sehen wir die Interdependenz des Kapital- und Endwerts, da beide dasselbe Vorzeichen haben

Investition Kapitalwert $\ C_0 $ Endwert $\ C_n $
$\ I_1 $-897,10- 1.105,32
$\ I_2 $279,74382,58
$\ I_3 $-5,41-6

Tabelle 8: Endwert und Kapitalwert

 

Zinseszinsformel

Zu erklären ist das mit der Zinseszinsformel:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen$\ C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n $

Somit ist der Endwert nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert und hat demzufolge immer dasselbe Vorzeichen.

Berechnung:

 

Investition 1: $\ -897,10 \cdot 1,11^2 = - 1.105,32 $,

Investition 2: $\ 279,74 \cdot 1,11^3 = 382,58 $ und

Investition 3: $\ -5,41 \cdot 1,11^1 = -6 $.

Somit lassen sich Endwerte aus Kapitalwerten berechnen und Vice versa.

Merke

Hier klicken zum AusklappenSomit sind die Vorteilhaftigkeitsaussagen der beiden errechneten Werte gleich. So sind die Vorzeichen bei beiden Berechnungen gleich und die aus den berechneten Ergebnissen gezogene Aussage wird dementsprechend auch identisch sein.

Es macht also keinen Unterschied, ob die Investitionen auf einen Zeitpunkt $t = 0$ abgezinst werden,
oder dass sie auf einen Zeitpunkt $t = n$ aufgezinst werden.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 12: Berechnung der Folgenden Investitionsalternativen.
Der Zins beträgt 9%
Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe A-1200960360480
Zahlungsreihe B-1200360960240

Vergleiche die beiden Investitionen anhand ihrer Kapitalwerte!

Berechnung:

$\ C^A_0 = -1.200 + {960 \over 1,09}+ {360 \over 1,09^2}+ {480 \over 1,09^3}=354,38$


$\ C^B_0 = -1.200 + {360 \over 1,09}+{960 \over 1,09^2}+{240 \over 1,09^3}=123,61 $.

Ergebnis:

Investition A weist einen höheren Kapitalwert auf. Da hier die hohen Zahlungsrückflüsse zu einem früheren Zeitpunkt erfolgen und die Rückflüsse an sich bei beiden Investitionen gleich sind, ist dieses Ergebnis auch durch ein simples Ablesen schon voraussehbar.

 

Schlussfolgernd lässt sich also aus den Zahlungsreichen an sich auch schon eine Aussage treffen. Hierbei spricht man von Differenzinvestitionen. In diesem Falle wird zwischen den Investitionen A und B differenziert, wobei B die Basisinvestition ist.

Zahlungsreihe der Differenzinvestition 

Berechnung der Zahlungsreihe von A - B:

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B0600-600240


Tabelle 9: Zahlungsreihe der Differenzinvestition A und B

Berechnung des Kapitalwerts: 230,77 €

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Dies ist schlichtweg und einfach die Differenz der beiden Investitionen: 354,38 - 123,61 = 230,77 €


Kapitalwert der Differenzinvestition

Der Kapitalwert der Differenzinvestition A-B, also $\ C_0^{A - B} $, ist gleich der Differenz der einzelnen Kapitalwerte $\ C^A_0 $ und $\ C^B_0 $, d.h. es gilt $\ C_0^{A – B} = C^A_0 - C^B_0 $.

Benötigt:

Begriff der Normalinvestition. Besondere Inbetrachtnahme beim internen Zinsfuß.

Diese Normalinvestition liegt vor, wenn nach den Anfangsauszahlungen über den Zeitraum der Investition nur noch Einzahlungen generiert werden. Somit existiert hier einmalig ein Vorzeichenwechsel.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBeispiel 13:

Jahr 0 1 2 3 4 5 Normalinvestition?
I1-600-36012120606ja
I2-360123648--ja
I3-1201,2-2412036-nein
I4-60150120120120-12nein


Tabelle 10: Normalinvestitionen und Nicht-Normalinvestitionen

Die beiden ersten Investitionen (I1 und I2) sind die oben angesprochenen Normalinvestitionen.

Weiterführend existieren in der Kostenrechnung noch reguläre Investitionen.

Diese Zeichnen sich dadurch aus, dass bei einer kumulierten Betrachtungsweise exakt ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Dies wird an folgendem Beispiel deutlich:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 14:
Regulärinvestition:
Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-180110-60240-36
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-180-60-12012084

Hier sieht man deutlich, dass die normale Zahlungsreihe der Einzahlungsüberschüsse mehrere Vorzeichenwechsel aufweist, es sich also nicht um eine Normalinvestition handeln kann.

Die kumulierten Werte haben jedoch exakt einen Vorzeichenwechsel, wie es Voraussetzung einer Regulärinvestition ist.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Verfügt die normale Zahlungsreihe über lediglich einen Vorzeichenwechsel, wird die kumulierte Zahlungsreihe auch über lediglich einen Vorzeichenwechsel aufweisen.

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-180-12060360120
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-180-300-240120240

Tabelle 11: Unkumulierte und kumulierte Zahlungsreihe bei Normalinvestition

Auch ist es möglich, dass gar kein Vorzeichenwechsel stattfindet:

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-24024364872
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-240-216-180-132-60


Tabelle 12: kein Vorzeichenwechsel

Hinweis

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Nicht jede reguläre Investition ist eine Normalinvestition, jedoch ist jede Normalinvestition regulär oder besitzt gar keinen Vorzeichenwechsel.

Videos zur Kapitalwertmethode

 

Video: Kapitalwertmethode

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